2023年吉林省长春市德惠市中考数学质检试卷（一）（含解析）

这是一份2023年吉林省长春市德惠市中考数学质检试卷（一）（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年吉林省长春市德惠市中考数学质检试卷（一）一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  如图是某个几何体的展开图，该几何体是(    )A. 长方体
B. 正方体
C. 三棱柱
D. 圆柱2.  年月日时分，“天宫课堂”第一课开始，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站进行太空授课，全国超过万中小学生观看授课直播，其中万用科学记数法表示为(    )A.  B.  C.  D. 3.  实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是(    )
A.  B.  C.  D. 4.  如图，某校数学兴趣小组探究活动中要测量河的宽度，该小组同学在河岸一边上选定一点，再在河岸另一边选定点和点，使河的两岸平行若利用测量工具测得为米，，根据测量数据可计算得到小河宽度为(    )A. 米 B. 米 C. 米 D. 米5.  下列运算正确的是(    )A.  B.
C.  D. 6.  如图，在中，，用无刻度的直尺和圆规在边上找一点，使，则符合要求的作图是(    )A.  B.
C.  D. 7.  如图，为的内接三角形，为的直径，切于点，交的延长线于点若，则的度数为(    )A.
B.
C.
D. 8.  如图，在平面直角坐标系中，的顶点、在轴的正半轴上，，点在边上，且，函数的图象经过点若点、的坐标分别为、，则的值为(    )A.
B.
C.
D. 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.  分解因式： ______ ．10.  不等式组的解集为______．11.  方程术是九章算术最高的数学成就，其中“盈不足”一章中曾记载“今有大器五小器一容三斛“斛”是古代的一种容量单位，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何？”
译文：有大小两种盛酒的桶，已知个大桶加上个小桶可以盛酒斛，个大桶加上个小桶可以盛酒斛，问个大桶和个小桶分别可以盛酒多少斛？
设个大桶可以盛酒斛，个小桶可以盛酒斛，依题意，可列二元一次方程组为          ．

 12.  如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，得到当点的对应点落在边上时，连接，则线段的长为______ ．13.  如图，菱形的对角线与相交于点，分别以点、为圆心，长为半径作、交于点、于点若，，则阴影部分图形的面积为______结果保留
 14.  点均在抛物线、为常数上，若，则的取值范围为______ ．三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.  本小题分
先化简，再求值：，其中．16.  本小题分
随着互联网经济的发展，人们在购物时的付款方式也发生了改变，比如：微信记为、支付宝记为、现金记为等，在一次购物中，甲乙两人想从这三种方式中选择一种进行支付，请你用画树状图或列表的方法，求两人恰好选择同一种支付方式的概率．17.  本小题分
按照疫情防控的要求，某校计划在学生返校前对学校个相同大小的教室进行全面清扫和消毒，在实际进行消毒时，每天消毒的教室数量是原计划的倍，使得完成全部教室消毒的时间缩短了天求原计划每天可以清扫和消毒的教室个数．18.  本小题分
图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹．

在图中以为边画一个面积为的等腰三角形；
在图中以为边画一个面积为的钝角三角形；
在图中以为边画一个面积为的．19.  本小题分
如图，在四边形中，对角线与相交于点，，，平分．
求证：四边形为菱形；
若，，求四边形的面积．
20.  本小题分
空气质量分为六个级别：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气如图是市从年到年的空气质量级别天数的统计图表．
年市空气质量级别天数统计表： 天数空气质量级别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染年市空气质量为“达标”和“优”的大数折线统计图：
根据上面的统计图表回答下列问题：
市从年到年空气质量为“优”的天数最多的是______ 年；
市从年到年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为______ 天，平均数为______ 天；
市从年到年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是______ 年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为______ 精确到．
结合质量达标和质量为优的天数，你认为市从年到年哪一年的空气质量好？请说明理由．21.  本小题分
有甲、乙两个港口，一艘客船从甲港口出发，顺流航行到乙港口再立刻逆流航行返回甲港口，已知客船在甲、乙两个港口之间顺流航行的速度是每小时千米，客船距乙港口的距离千米与客船行驶的时间小时之间的函数关系如图所示．
甲、乙两个港口的距离是______ 千米．
求与之间的函数关系式．
甲、乙两个港口之间有一个灯塔，若客船这次航行时两次经过灯塔的时间间隔为小时，求出灯塔与甲港口之间的距离．
22.  本小题分
【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第页的部分内容如图，在正方形中，．
求证：．
结合图，写出证明过程．
【结论应用】如图，设，相交于点若，图中阴影部分的面积和与正方形的面积之比为：，则的面积为______ ，的长为______ ．
23.  本小题分
如图，在中，添加，，，动点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动，点为线段的中点，过点作，点在上方，且，以、为边作▱设点的运动时间为秒．
线段的长为______ ，线段的长为______ ．
求▱的面积用含的代数式表示
当线段与边有公共点时，求的取值范围．
当点到任意两边所在直线的距离相等时，直接写出的值．
24.  本小题分
在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点和．
求的值，并用含的代数式表示．
当时，
求此函数的表达式，并写出函数值随的增大而增大时的取值范围．
当时，求的最大值和最小值．
若线段的端点、的坐标分别为、，此二次函数的图象与线段只有一个公共点，直接写出的取值范围．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由图可知，这个几何体是长方体．
故选：．
根据四棱柱的展开图解答．
本题考查了展开图折叠成几何体，熟记四棱柱的展开图的形状是解题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：由题知：，，，
，，，，
符合题意．
故选：．
由题知：，，，进而解决此题．
本题主要考查数轴上的点表示的实数以及绝对值，熟练掌握数轴上的点表示的实数以及绝对值是解决本题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：，
．
在中，
，
米．
故选：．
在中利用直角三角形的边角间关系得结论．
本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：、，无法合并，故此选项错误；
B、，故此选项正确；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误；
故选：．
直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则分别化简得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 6.【答案】 【解析】解：由作图可知，，
，故本选项不符合题意；
B.由作图可知，是的平分线，
，故本选项不符合题意；
C.由作图可知，，
，
，故本选项符合题意；
D.由作图可知，所作图形是线段的垂直平分线，
，
，故本选项不符合题意；
故选：．
由作图可知，，可判断；由作图可知，是的平分线，可判断；由作图可知，，根据同角的与角相等，可判断；由作图可知，所作图形是线段的垂直平分线，可判断．
本题主要考查作图基本作图，熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：连结，则，
，
，
切于点，
，
，
，
故选：．
连结，则，所以，可求得，由切线的性质得，则，所以，于是得到问题的答案．
此题重点考查切线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：作轴于，
的顶点、在轴的正半轴上，，
，
，
、，，
，，，，
，
，
，，
，
，
函数的图象经过点．
，
故选：．
作轴于，即可得出，根据平行线分线段成比例定理即可求得，代入即可求得．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求出点的坐标是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：

．
故答案为：．
先提公因式，再运用平方差公式．
本题考查因式分解，掌握基本方法是关键．
 10.【答案】 【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 11.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
设个大桶可以盛酒斛，个小桶可以盛酒斛，根据“个大桶加上个小桶可以盛酒斛，个大桶加上个小桶可以盛酒斛”列方程组即可．
【解答】
解：设个大桶可以盛酒斛，个小桶可以盛酒斛，
依题意，可列二元一次方程组，
故答案为：．  12.【答案】 【解析】解：在中，，
由勾股定理得，，
将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在上，
，，，
，
在中，由勾股定理得，
，
故答案为：．
由旋转知，，，则，再利用勾股定理可得的长．
本题主要考查了旋转的性质，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：四边形是菱形，
，，
，
图中阴影部分的面积为：
故答案为：
由图可知，阴影部分的面积是扇形和扇形的面积之和．
本题考查扇形面积的计算、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 14.【答案】或 【解析】解：由抛物线、为常数可知，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，
点均在抛物线、为常数上，且，
或，
或．
故答案为：或．
先利用二次函数的性质得到抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质解决问题．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 15.【答案】解：

，
当时，原式． 【解析】根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是整式的化简求值，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
 16.【答案】解：列表如下：  由表知，共有种等可能结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有种结果，
所以两人恰好选择同一种支付方式的概率为． 【解析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 17.【答案】解：设原计划每天可以清扫和消毒个教室，则实际每天可以清扫和消毒个教室，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：原计划每天可以清扫和消毒个教室． 【解析】设原计划每天可以清扫和消毒个教室，则实际每天可以清扫和消毒个教室，利用工作时间工作总量工作效率，结合实际比原计划完成全部教室消毒的时间缩短了天，可得出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 18.【答案】解：如图中，即为所求；
如图中，即为所求；
如图中，即为所求．
 【解析】画一个底为，高为的等腰三角形即可；
画一个底为，高为的钝角三角形即可；
画一个底为，高为的三角形即可．
本题考查作图应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 19.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
，
平分，
，
平行四边形是菱形．
解：四边形是菱形，
，，，
，
在中，，
，
，
菱形的面积． 【解析】证明四边形是平行四边形，再由，即可得出结论；
由锐角三角函数定义求出的长，得的长，再由菱形面积公式求解即可．
此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识；证明四边形为菱形是解题的关键．
 20.【答案】         【解析】解：由题意可知，市从年到年空气质量为“优”的天数最多的是年．
故答案为：；
由题意可知，市从年到年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为，
平均数为：．
故答案为：；；
市从年到年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为．
故答案为：；；
的空气质量好，理由如下：
年空气质量达标数为天，所占比例最高，质量为优的天数的比例也比较高，所以的空气质量好．
根据折线统计图数据解答即可；
根据中位数和加权平均数的定义解答即可；
根据折线统计图数据解答即可；
根据质量达标和质量为优的天数解答即可．
本题考查折线统计图，加权平均数、中位数以及用样本估计总体，理解中位数、加权平均数的意义和计算方法是正确解答的前提．
 21.【答案】 【解析】解：根据题意，甲、乙两个港口的距离是千米，
故答案为：；
当时，设，
把，代入解析式得：，
解得，
；
当时，设，
把，代入解析式得：，
解得，
．
综上，与之间的函数关系式为；
设灯塔与甲港口之间的距离为千米，
根据题意得：，
解得．
答：灯塔与甲港口之间的距离千米．
根据图象得出答案；
用待定系数法分段求出函数解析式即可；
设灯塔与甲港口之间的距离为千米，根据往返时时间之和列出方程，解方程即可．
本题考查一次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式以及路程、速度、时间的关系的应用．
 22.【答案】  【解析】【教材呈现】证明：设、交于点，

，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
；
【结论应用】由【教材呈现】知，，
四边形的面积的面积的面积的面积，
即四边形的面积的面积，
设的面积为，
则阴影部分的面积为：，
即，
解得，
设，，
，
，，
，
即，
，
故答案为：，．
【教材呈现】根据证≌即可得证；
【结论应用】设三角形的面积为，根据题意列出方程求解即可得出的面积，设，，根据数量关系推出的值，即可得出的长．
本题主要考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
 23.【答案】   【解析】解：，
由勾股定理得，
故答案为：，；
作于点，
，点为线段中点，
，
，
．
▱；
如图，当点落在边上时，作于点，
由问得，
，
为等腰三角形，，
，
解得．

当点落在边上时，作于点，
同理可得，，
解得．

当线段与边有公共点时，的取值范围为；
当点在的角平分线上时，如图：

点到，的距离相等，即与为等高三角形，
：：，
又：：，
，
即，
，
，
，
，
解得．
当在角平分线上时，如图：

，
，
，
，
解得．
当点在外角平分线上时，以点为原点建立平面直角坐标系，
，，交于点，

点，点，
点坐标为，
，
，，
，
解得．
、或．
由，求解；
作于点，▱；
分别求出点与点落在上的时间；
点经过三角形内角及外角平分线满足题意．
本题考查图形动点问题，熟练掌握三角形与平行四边形的性质与添加辅助线的方法是解题关键．
 24.【答案】解：把代入，得．
把代入，得，
．
当时，此函数表达式为．
，
当时，随的增大而增大．
，
当时，的最小值为．
当时，的最大值为．
当时，若抛物线与线段只有一个公共点如图，
，当时，，
则抛物线上的点在点的上方，

．
解得．
；
当时，若抛物线的顶点在线段上，
则抛物线与线段只有一个公共点，
即．
解得舍去或舍去．
综上，的取值范围是． 【解析】把、的坐标分别代入解析式即可求解；
把解析式化成顶点式即可求得结论；根据图象上点的坐标特征即可求得；
当时，若抛物线与线段只有一个公共点，则抛物线上的点在点的上方，即可求解；当时，若抛物线的顶点在线段上，则抛物线与线段只有一个公共点，即可求解．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，数形结合是解题的关键．