2023年山东省潍坊市潍城区中考数学二模试卷（含解析）

2023年山东省潍坊市潍城区中考数学二模试卷

一、选择题（本题共7小题，共28分）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  据文化和旅游部数据中心测算，年“五一”假期期间国内旅游收入亿元，同比增长，其中亿用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，是一个机器零件的实物图，则其俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  若、是关于的一元二次方程的两根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，在边长为的小正方形组成的网格中，，，，四个点均在格点上，与相交于点，连接，，则与的周长比为(    )

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

6.  如图，在矩形中，，，连接，点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿向终点运动；过点作交或于点设点运动的时间为秒，的面积为，则下列关于的函数图象正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  下列各式运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

二、多选题（本题共3小题，共12分）

8.  如图是近一年来某企业产值增长率的折线统计图，下列信息正确的是(    )

A. 年月份该企业产值最低
B. 年月份是该企业产值最大的月份
C. 年月份比年月份产值低
D. 年月至年月该企业产值一直在增大

9.  如图，内切于四边形，，分别连接，下列结论正确的是(    )

A.
B.
C.
D. ，，三点共线

10.  如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的顶点为下列结论正确的是(    )

A. 若，则
B. 当时，且的最小值为
C. 抛物线上有两点和，若，且，则
D. 当时，对于抛物线上两点、，若，则
三、填空题（本题共4小题，共16分）

11.  分解因式： ______ ．

12.  如图，在数轴上以宽为个单位长度，长为个单位长度画一个矩形，以原点为圆心，以矩形对角线的长为半径画弧，与正半轴交于点在点的左侧截取，则点表示的数为______ ．

13.  如图，点为的内心，连接，分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线，交的垂直平分线于点，连接，，若，则 ______

14.  如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，双曲线经过的中点，轴于点，且交双曲线于点，连接，则四边形的面积为______ ．

四、解答题（本题共8小题，共94分）

15.  计算：；
先化简，再求值：，其中是的平方根．

16.  如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴，垂足为，且．
求一次函数与反比例函数的表达式；
根据函数图象，直接写出时自变量的取值范围．

17.  为贯彻落实“五育并举”的教育方针，某校开设了五个社团活动：传统国学、科技兴趣、民族体育、艺术鉴赏、劳技实践，每个学生每个学期只参加一个社团活动为了了解本学期学生参加社团活动的情况，学校随机抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图表．

请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
图表中 ______ ， ______ ， ______ ；
已知名劳技实践社团成员中有名女生和名男生，现准备从这名同学中随机抽取两名参加社会公益活动，请用画树状图或列表的方法求恰好抽取出一男一女的概率；
根据调查的各社团人数分布情况，你认为该校应加强哪些方面的发展？

18.  如图，灯塔在港口的东北方向，一艘巡逻艇接到指令，从出发以速度前往正东方向的灯塔执行紧急任务完成任务后，巡逻艇再以速度由出发，沿的路线返回港口已知灯塔在灯塔的北偏西方向，巡逻艇由到再返回港口所用时间是它由到所用时间的倍，求结果用含的代数式表示．

19.  年国际风筝会期间，某经销商准备采购一批风筝，已知用元采购型风筝的只数是用元采购型风筝的只数的倍，一只型风筝的进价比一只型风筝的进价多元．
求一只，型风筝的进价分别为多少元？
经市场调查发现：型风筝售价的一半与型风筝销量的和总是等于，型风筝的售价为元只该经销商计划购进，型风筝共只，其中型风筝只，若两种风筝能全部售出，求销售这批风筝的最大利润，并写出此时的采购方案．

20.  如图，为的直径，点为圆周上一点不与，重合，点为的中点，连接并延长至点，连接，，恰有平分．
求证：为的切线；
作，，垂足分别为点，，若，，求的长．

21.  已知抛物线交轴于点和点，交轴于点．
求抛物线的解析式；
如图，点是抛物线上位于直线下方的动点，过点分别作轴、轴的平行线，交直线于点，交轴于点，当取最大值时，求点的坐标．

22.  综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，进行如下操作．
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部点处，把纸片展平，连接，，并延长交于点，连接．
操作判断
根据以上操作，当点在上时，如图，请回答下列问题：
写出图中一个的角；
______ ， ______
迁移探究
改变点在上的位置点不与点，重合，如图，判断与的数量关系，并说明理由．
拓展应用
已知正方形纸片的边长为，随着点在上的位置变化，当时，求出的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
所以的相反数是，
故选：．
这类题是易错题，首先要看清楚是哪个数，再求哪个数的相反数．细心才行．
本题考查的是相反数，解题关键是看清楚是哪个数的相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图所示，俯视图为：
．
故选：．
直接利用俯视图即从物体的上面观察得到视图即可．
此题主要考查了简单几何体的三视图，正确掌握观察角度是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、是关于的一元二次方程的两根，
，，
．
故选：．
根据根与系数的关系可得，，代入即可得出答案．
此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程，若方程有解时，设方程的两解分别为、，则有，．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图所示，

由网格图可知：，，，，
，
．
，
．
在中，
，
在中，
，
，
，
，，
，
，
∽，
与的周长比．
故选：．
利用网格图，勾股定理求得，的长，利用直角三角形的边角关系定理得出，进而得到，则，再利用相似三角形的判定与性质解答即可．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，平行线的判定与性质，充分利用网格图的特征是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
，
∽，
，
，
当点和点重合时，，
此时，
当时，如图所示：

；
当时，如图所示：

．
故选：．
先根据已知确定出和的关系，再分段求出与对应的函数解析式即可．
本题考查动点问题的函数图象，关键是分段求出对应函数解析式．
 

7.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据分式的基本性质，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了分式的基本性质，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由折线统计图可知，该企业业产值始终在增长，
所以年月份该企业产值最低，故选项A不符合题意；
年月份是该企业产值最大的月份，故选项B不符合题意；
年月份比年月份产值高，故选项C不符合题意；
年月至年月该企业产值一直在增大，说法正确，故选项D符合题意．
故选：．
根据折线图的意义得出，近一年来该企业产值始终在增长分别分析得出答案即可．
本题考查了折线统计图，根据折线统计图准确获取信息是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：内切于四边形，设切点为、、、，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故B正确；
，，，
平分，
，
，
同理：，平分，
、、三点共线，
．
故C、D正确．
四边形内角大小不确定，
不一定等于，
故A错误．
故选：．
根据切线长定理推出，，，而，即可证明；由角平分线性质定理的逆定理证明平分，由等腰三角形的性质得到，同理，即可证明、、三点共线；从而得到．
主要考查了切线的性质定理，切线长定理，等腰三角形的性质．关键是掌握切线长定理，等腰三角形的性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，点坐标为，
点坐标为，
，
故A错误，不符合题意；
，抛物线开口向上，抛物线与轴的交点为点和，
当时，的取值范围为，且最小值为，
故B正确，符合题意；
对称轴为直线，，且，
到轴的距离小于到轴的距离，
，
故C错误．不符合题意；
当时，，
令，则，
解得，，
，，
若，则，
，
，
故D正确，符合题意．
故选：．
先根据抛物线解析式求出抛物线的对称轴和顶点坐标，当时，点坐标为，根据对称性可求出点坐标，从而判断；根据函数的图象可判断；根据抛物线的对称轴和二次函数的性质可判断；当时求出函数解析式，再求出，坐标，根据的取值范围得出的取值范围，从而判断．
本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，关键是对二次函数性质的掌握．
 

11.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
 

12.【答案】 

【解析】解；由勾股定理得：，
，
，
，
点表示的数为．
故答案为：．
由勾股定理求出的长，得到的长，即可求出长，从而得到点表示的数．
本题考查勾股定理，实数与数轴，关键是由勾股定理求出的长．
 

13.【答案】 

【解析】解：过点作的垂线，
点是的边、垂直平分线的交点，
过点作的垂线是线段的垂直平分线，
，
，，
，
，
，
，
，
点为的内心，
平分，平分，
，
．
故答案为：．
过点作的垂线，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，，根据角平分线的定义和三角形内角和定理即可得到结论．
本题考查了作图基本作图，直线垂直平分线的性质，三角形内切圆的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：的中点为，点的坐标为，
，
双曲线为：，
轴于点，且交双曲线于点，
，
四边形的面积为：，
故答案为：．
先根据中点公式求出的坐标，再求出双曲线及的坐标，最后利用割补法求解．
本题考查了反比例函数的系数的几何意义，掌握中点公式及割补法求面积是解题的关键．
 

15.【答案】解：


；





．
是的平方根，
．
由于时，原分式没有意义，
所以．
当时，
原式． 

【解析】先计算负整数指数幂和乘方，再代入特殊角的函数值算乘法，最后算加减；
先利用分式的运算法则化简分式，再根据平方根的意义及分式有意义的条件确定的值，最后代入求值．
本题考查了实数和分式的混合运算，掌握零指数幂的意义，特殊角的函数值及实数、分式的运算法则和运算顺序是解决本题的关键．
 

16.【答案】解：反比例函数的图象点，轴，垂足为，且，
，
，
，
反比例函数的图象过，两点，
，
，，
，，
把、点的坐标代入得，
解得，
一次函数为，反比例函数为；
观察图象，时自变量的取值范围是或． 

【解析】利用反比例函数系数的几何意义即可求得，由反比例函数解析式求得、的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
根据图象即可求得．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，函数与表达式的关系，数形结合是解题的关键．
 

17.【答案】     

【解析】解：被调查的总人数为人，
，
，即，
，
故答案为：，，；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好抽到名男生和名女生的结果有种，
恰好抽到名男生和名女生的概率为；
样本中劳动实践人数最少，所以应加强学生劳动实践方面的教育与引导．
先求出被调查的总人数，再用总人数乘以社团对应百分比求出的值，用社团人数除以总人数可得的值，根据各社团人数之和等于总人数可得的值；
画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可；
根据扇形图中各社团人数分布求解即可．
此题主要考查了树状图法求概率以及频数分布表和频数分布直方图，树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

18.【答案】解：过作于，
，
根据题意得，，，
，
设，
，，，
，
，
巡逻艇由到再返回港口所用时间是它由到所用时间的倍，
，
 

【解析】过作于，得到，根据题意得到，，设，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
 

19.【答案】解：设一只型风筝的进价是元，则一只型风筝的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：一只型风筝的进价是元，一只型风筝的进价是元；
设销售这批风筝的利润为元，
根据题意得：，
即，
，且，
随的增长而减小，
当时，取得最大值，最大值，此时．
答：当购进只型风筝，只型风筝时，销售这批风筝的利润最大，最大利润为元． 

【解析】设一只型风筝的进价是元，则一只型风筝的进价是元，利用数量总价单价，结合用元采购型风筝的只数是用元采购型风筝的只数的倍，可得出关于的分式方程，解之经检验后，可得出一只型风筝的进价，再将其代入中，即可求出一只型风筝的进价；
设销售这批风筝的利润为元，利用总利润每只的销售利润销售数量，可得出关于的二次函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

20.【答案】证明：点为的中点，
，
，
，
，
．
平分，
，
．
为的直径，
，
，
，
，
即，
为的半径，
为的切线；
解：过点作于点，如图，
则．
，，，
四边形为矩形，
，
．
，
．
．
由知：，
，
∽，
，
，
． 

【解析】利用等弧对等弦，等腰三角形的性质，圆周角定理，角平分线的定义得到，即，利用圆的切线的判定定理解答即可；
过点作于点，利用矩形的判定与性质和垂径定理得到的长，利用等腰三角形的性质和勾股定理求得的长度，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，等弧对等弦，等腰三角形的性质，垂径定理，圆的切线的判定定理，矩形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，过点作于点，是解决此类问题常添加的辅助线．
 

21.【答案】解：把点和点代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
由知，点坐标为，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
设，，
则，，
，
，
当时，有最大值，最大值为．
点坐标为 

【解析】把点和点代入，解方程组求出，即可；
先用待定系数法求出直线的解析式，再设，，则，，然后求出，由函数的性质求出取最大值时的值，即可求出的坐标．
本题主要考查了抛物线与轴的交点，关键是用待定系数法确定函数解析式．
 

22.【答案】   

【解析】解：．
理由：四边形是正方形，
，
由折叠得垂直平分，垂直平分，，，
，，
点在上，
，
，
，
，，
，
，
．
注：答案不唯一，如：，，．
，，
，
，，
，
，
，
，
≌，
，
故答案为：，．
，理由如下：
四边形是正方形，
，，
由折叠得垂直平分，，，
，，
，
≌，
．
正方形纸片的边长为，，
，
，
由折叠得，
≌，
，
设，则，
，
，
当点在上，如图，则，，
，
解得；
当在上，如图，则，，
，
解得，
综上所述，的长是或．
由正方形的性质得，由折叠得垂直平分，垂直平分，，，则，，所以，则，，，可求得，则，可知图中等于的角有个，写出其中一个即可；
先证明，再证明，即可证明≌，得，于是得到问题的答案；
由正方形的性质得，，由折叠得垂直平分，，，再证明≌，得；
设，则，由，得，再分两种情况求的长，一是点在上，则，，于是得，求得；二是在上，则，，于是得，求得，所以的长是或．
此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．