2022-2023学年浙江省杭州市萧山区钱江片区七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省杭州市萧山区钱江片区七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若方程是二元一次方程，则表示的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  “”表示此类型的口罩能过滤空气中的粒径约为米的非油性颗粒．其中，用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  小马虎在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若式子有意义，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  用加减法解方程组时，若要求消去，则应(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若，，，，则它们的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，直线分别交射线，于点，，则下列条件中能判定的是(    )
；；；．

A.  B.  C.  D.

9.  若定义表示，表示，则运算的结果为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  在矩形内，将两张边长分别为和的正方形纸片按图，图两种方式放置图，图中两张正方形纸片均有部分重叠，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图中阴影部分的周长与图中阴影部分的周长的差为，若要知道的值，只要测量图中哪条线段的长(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  请你写出一个有一解为的二元一次方程：          ．

12.  与的公因式是______ ．

13.  若关于的多项式是完全平方式，则常数 ______ ．

14.  若的结果中不含有项，则、的关系是______ ．

15.  如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移得到三角形，且与相交于点，连接，则阴影部分的周长为______ ．

16.  如图，将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，再沿边将折叠到处，已知，则 ______ ， ______

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解方程组：
；
．

18.  本小题分
计算：；
分解因式：．

19.  本小题分
化简：；
若满足条件，求中代数式的值．

20.  本小题分
如图，已知，射线平分，．
与平行吗？请说明理由；
若，求的度数．

21.  本小题分
观察下列式子，定义一种新运算：
；；；
这种新运算是： ______ 用含，的代数式表示；
如果，求的值；
若，为整数，试判断是否能被整除．

22.  本小题分
下表是某校七年级小朋友小敏这学期第一周和第二周做家务事的时间统计表，已知小敏每次在做家务事中洗碗的时间相同，扫地的时间也相同．

求小敏每次洗碗的时间和扫地的时间各是多少？
为鼓励小敏做家务，小敏的家长准备洗碗一次付元，扫地一次付元，总费用不超过元．请问小敏如何安排洗碗与扫地的次数，既能够让花费的总时间最少，又能够全部拿到元？

23.  本小题分
经过薄凸透镜光心的光线，其传播方向不变．如图，光线从空气中射入薄凸透镜，再经过凸透镜的光心，射入到空气中，形成光线，根据光学知识有，，请判断光线与光线是否平行？并说明理由．
光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等．如图有一口井，已知入射光线与水平线的夹角为，问如何放置平面镜，可使反射光线正好垂直照射到井底？即求与水平线的夹角
如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，，射线、分别绕点、点以度秒和度秒的速度同时顺时针转动．设时间为，在射线转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得与平行？若存在，求出所有满足条件的时间．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：方程是二元一次方程，
表示的数是．
故选：．
根据二元一次方程的定义：两个未知数，含未知数的项的次数为次的整式方程即可得出结果．
本题考查二元一次方程的定义．熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【解答】
解：．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、与不属于同类项，不能合并，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

4.【答案】 

【解析】解：式子有意义，
实数的取值范围是：，
解得：．
故选：．
直接利用零指数幂的定义分析得出答案．
此题主要考查了零指数幂的定义，正确把握相关定义是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、该式子的左边不是多项式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、该式子是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、该式子是整式的除法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、该式子是把一个多项式转化成几个整式积的形式，属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：．
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
本题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．
 

6.【答案】 

【解析】解：用加减法解方程组时，若要求消去，则应．
故选：．
根据中的系数是，中的系数是，判断出要求消去，则应怎么做即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，，，
．
故选：．
直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、有理数的乘方运算法则分别计算，进而得出答案．
此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、有理数的乘方运算，正确化简各数是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：当时，不能判定，故不符合题意；
当时，由内错角相等，两直线平行得，故符合题意；
当时，由同旁内角互补，两直线平行得，故符合题意；
当时，由同位角相等，两直线平行得，故符合题意．
则符合题意的有．
故选：．
利用平行线的判定定理进行分析即可．
本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定定理并灵活运用．
 

9.【答案】 

【解析】解：


．
故选：．
把相应的式子代入，再利用相应的运算法则进行运算即可．
本题主要考查积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

10.【答案】 

【解析】解：图中阴影部分的周长，
图中阴影部分的周长，
．
故若要知道的值，只要测量图中线段的长．
故选：．
根据平移的知识和周长的定义，列出算式，再去括号，合并同类项即可求解．
考查了整式的加减，周长的定义，关键是得到图中阴影部分的周长与图中阴影部分的周长．
 

11.【答案】答案不唯一 

【解析】

解：根据题意，得
，即；答案不唯一
故答案为：答案不唯一．
【分析】根据与的数量关系可得：，答案不唯一．
本题考查二元一次方程的解，理解方程的解的概念是解题的关键．  

12.【答案】 

【解析】解：，，
与的公因式是，
故答案为：
运用公因式的定义提取两个多项式的公因式进行求解．
此题考查了整式提取公因式的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
 

13.【答案】 

【解析】，是完全平方式，
，
故答案为．
利用，结合是完全平方式，即可求出的值．
本题考查了完全平方式，掌握完全平方式的特点是解决问题的关键．
 

14.【答案】互为相反数 

【解析】解：

，
的结果中不含有项，
，
、的关系是互为相反数．
故答案为：互为相反数．
直接利用多项式乘多项式运算法则计算，再利用项的系数为零，得出答案．
此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：沿方向平移得到，
，，
，
阴影部分的周长为，
故答案为：．
先利用平移的性质得到，，则，然后计算阴影部分的周长．
本题考查的平移的性质，熟知图形平移后新图形与原图形的形状和大小完全相同是解题的关键．
 

16.【答案】   

【解析】解：由折叠可知：，，，
，，
，
四边形是长方形，
，
，
，
过点作，如图，

，
，
，
四边形是长方形，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：；．
由折叠可知：，，，由三角形的内角和定理结合平行线的性质可求解的度数，过点作，则，结合平行线的性质，易求的度数，即可得的度数，由直角三角形的性质可求解的度数，即可求得的度数．
本题主要考查了折叠的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理等知识的综合运用，作适当的辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
把代入，得，
解得：，
把代入，得，
所以方程组的解是；

整理得：，
，得，
把代入，得，
解得：，
所以方程组的解是． 

【解析】把代入得出，求出，再把代入求出即可；
整理后求出，把代入求出即可．
本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，解二元一次方程组的方法有代入消元法和加减消元法两种．
 

18.【答案】解：原式

；
原式
． 

【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值；
原式变形后，提取公因式即可．
此题考查了因式分解提公因式法，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则及因式分解的方法是解本题的关键．
 

19.【答案】解：

；
，
，


． 

【解析】根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类即可；
根据，可以得到，然后整体代入中的结果计算即可．
本题考查整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键，注意完全平方公式和平方差公式的应用．
 

20.【答案】解：，
理由：，
，
射线平分，
，
，
，
，
；
，
，
，
，
，
的度数为． 

【解析】先利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义可得，从而可得，然后利用等量代换可得，从而利用同位角相等，两直线平行即可解答；
利用的结论可得，然后利用平角定义可得，从而可得，最后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答．
本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：；；；
这种新运算是：
故答案为：．
如果，则

．
若，为整数，则







，为整数，
为整数
能被整除．
根据所给的三个等式，观察规律，可得答案；
将等式按照中所得公式化简计算，即可解得；
先将按照中所得公式化简，再将结果与按照中公式再进行化简，最后提取公因数，结合，为整数，可得答案．
本题考查了定义新运算在整式计算中的应用，读懂定义，按照定义所给公式化简计算是解题的关键．
 

22.【答案】解：设小敏每次洗碗的时间为分钟，每次扫地的时间为分钟，
根据题意得：，
解得：．
答：小敏每次洗碗的时间为分钟，每次扫地的时间为分钟．
设小敏安排次洗碗，次扫地，
根据题意得：，
化简得：．
，为非负整数，
，，，，
对应的时间分别为：分钟；分钟；分钟；分钟．
小敏应该安排次洗碗次扫地． 

【解析】设小敏每次洗碗的时间为分钟，每次扫地的时间为分钟，根据小敏这学期第一周和第二周做家务事的时间统计表中数据，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设小敏安排次洗碗，次扫地，根据每次洗碗的时间洗碗的次数每次扫地的时间扫地的次数，即可得出关于，的二元一次方程，由，为非负整数即可得出，的值，再求出各组解所需时间，取所需时间最少的那组即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程．
 

23.【答案】解：，
；
入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，
，
入射光线与水平线的夹角为，垂直照射到井底，
，
，
与水平线的夹角为：；
解：存在，分三种情况
如图，与在的两侧时，，，
，，
要使，
则，
，
解得舍去；
如图，旋转到都在的右侧时，
，，，，
要使，则，
即，
解得，
此时，
；
如图，旋转到都在的左侧时，
，，
；
；
要使，则，
即；
解得，
此时，
，
此情况不存在．
综上所述，为秒时，与平行． 

【解析】根据内错角相等，两直线平行即可判定；
根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等可得，然后根据平角等于求出的度数，再加上即可得解；
分与在的两侧，分别表示出与，然后根据两直线平行，内错角相等列式计算即可得解；
旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得解；
旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得解．
本题考查了平行线的判定与性质，光学原理，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法与性质是解题的关键，要注意分情况讨论．