天津市部分区2022-2023学年高一下学期期中练习数学试卷(含答案)

天津市部分区2022-2023学年高一下学期期中练习数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知向量，，则(   )

A. B. C. D.

2、已知棱长为2的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积为(   )

A. B. C. D.

3、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，，则(   )

A. B. C. D.

4、已知点，，向量，若，则实数的值为(   )

A. B. C.2 D.1

5、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c。若，，，则 (   )

A. B. C. D.或

6、已知向量，，则在上的投影向量为(   )

A. B. C. D.

7、陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，也称陀罗，图l是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中A是圆锥的顶点A，B，C分别是圆柱的上、下底面圆的圆心，且，，底面圆的半径为1，则该陀螺的体积是(   )

A. B. C. D.

8、已知向量，，若与方向相反，则(   )

A.  B.

C.  D.

9、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知的面积为S，，，，则的最小值为(   )

A.2 B. C.3 D.

二、填空题

10、i是虚数单位，复数______

11、直线l上所有点都在平面内，可以用符号表示为______

12、若、、三点共线，则______

13、在长方体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______

14、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，则______，若，则外接圆的半径为______．

15、如图，在边长为1的正方形ABCD中，，则______；若F为线段BD上的动点，则的最小值为______．

三、解答题

16、已知向量，满足，，与的夹角为．

（1）求的值；

（2）若，求实数k的值．

17、如图，三棱锥的底面ABC的侧面SAB都是边长为2的等边三角形，D、E分别是AB、AC的中点，．

（1）证明：平面SDE；

（2）求三棱锥的体积．

18、在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c。已知，，．

（1）求C的值；

（2）求b值．

19、如图，在长方形中，，．

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

20、在中，角A、B、C所对的分别为a、b、c．向量，，且．

（1）求B的值；

（2）若，，求的面积

参考答案

1、答案：C

解析：，故选C

2、答案：D

解析：设该球的半径为R，由题意可知，该球的直径为棱长为2的正方体的体对角线，则，所以，则该球的表面积，故选D

3、答案：A

解析：由余弦定理可得，

由于，故，故选A

4、答案：C

解析：由，，可得，又，

所以，所以，故选C

5、答案：A

解析：∵，，

∴由正弦定理可得：，

，，，故选A

6、答案：D

解析：由题意向量，，故，

则在上的投影向量为，故选D

7、答案：C

解析：已知底面圆的半径，由，，则，

故该陀螺的体积，故选C

8、答案：B

解析：由题意向量，，与方向相反，

则且，故，

所以，，所以，故选B

9、答案：D

解析：，，

由正弦定理得，

，，

，

，

，，当且仅当时取等号

，

，.故选D

10、答案：

解析：复数，故答案为：

11、答案：

解析：由题意直线l上所有点都在平面内，则直线l在平面内，

故用符号表示为，故答案为：

12、答案：3

解析：因为、、三点共线，则，

且，，所以，，整理可得

故答案为：3

13、答案：

解析：

如图，以点D为坐标原点，DA、DC、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

则、、、，

则，，，

因此，异面直线与所成角的余弦值为.

故答案为：.

14、答案：

解析：因为，在中，由余弦定理可得，

，因为，所以；

若，设外接圆的半径为R，

在中，由正弦定理可得，，解得，

故答案为：；.

15、答案：

解析：如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，

则，，，

，

E是对角线AC上一点，且，可得，

，，

；

因为点F为线段BD（含端点）上的动点，则设，

故，

所以，，

故，

由于，所以时，取到最小值，

即的最小值为，

故答案为：；

16、答案：（1）

（2）

解析：（1），

.

（2）由得

，

解得：.

17、答案：（1）证明见解析

（2）1

解析：（1）因为D、E分别是AB、AC的中点，所以，

因为平面SDE，平面SDE，

所以平面SDE；

（2）因为是等边三角形，D是AB的中点，

所以，

因为，

又，AB，平面ABC，

所以平面ABC，

因为底面ABC和侧面SAB都是边长为2的等边三角形，

所以，，

所以.

18、答案：（1）

（2）

解析：（1）解：在中，，，，

由正弦定理可得，

因，则C为锐角，故.

（2）解：由（1）可知，，

所以，

由正弦定理可得.

19、答案：（1）证明过程见详解

（2）

解析：（1）在长方体中， ，，，平面，

平面，平面，，

又，可得，，平面，

平面.

平面，.

（2）记交于点O，连接AO，

由（1）得平面，

所以AO为斜线在平面上的射影，

为与平面所成的角.

在长方体中，，，

在中，，，

.

直线与平面所成角的正弦值为.

20、答案：（1）

（2）

（1）因为，，且，

所以，

由正弦定理，得，

又，，，从而，

因为，所以

（2）因为，，，由余弦定理可得，，解得或（不合题意，舍去），所以的面积.