2023届江苏省无锡市中考数学阶段性适应模拟试题（3月）含解析

这是一份2023届江苏省无锡市中考数学阶段性适应模拟试题（3月）含解析，共46页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 2023届江苏省无锡市中考数学阶段性适应模拟试题（3月）

一、选择题：（本大题共有10小题，每题3分，共30分）
1．﹣3的倒数为（　　）
A．﹣ B． C．3 D．﹣3
2．函数中自变量的取值范围是（　　）
A．x≥1 B．x≤1 C．x＜1 D．x＞1
3．下列运算正确的是（　　）
A．5ab﹣ab＝4 B．+＝
C．a6÷a2＝a4 D．（a2b）3＝a5b3
4．一组数据12，8，10，7，13的平均数和中位数分别是（　　）
A．9，10 B．9，8.5 C．10，8.5 D．10，10
5．如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根A到刮断点P的长度是4m，折断部分PB与地面成40°的夹角，那么原来树的长度是（　　）

A．4+米 B．4+米
C．4+4sin40°米 D．4+4cot40°米
6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'．当点A'与点C重合时，点A与点B'之间的距离为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
7．如图，半径为5的⊙O与正五边形ABCDE相切于点B、E，则弧BE的长为（　　）

A．4π B．10π C．15π D．20π
8．已知m，n（m＜n）是关于x的方程（x﹣a）（x﹣b）＝﹣3的两根，若a＜b，则下列判断正确的是（　　）
A．a＜m＜b＜n B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜n＜b D．m＜a＜b＜n
9．在矩形ABCD中，点E为AD中点，点F为CD中点，连接BF、CE交于点G，若AB＝4，∠DCE＝2∠CBF，则线段BG的长为（　　）

A． B． C．4 D．
10．已知线段AB，⊙M经过A、B两点，若90°≤∠AMB≤120°，则称点M是线段AB的“好心”；⊙M上的点称作线段AB的“闪光点”．已知A（2，0），B（6，0）．
①点M（4，2）是线段AB的“好心”；
②若反比例函数y＝上存在线段AB的“好心”，则≤k≤8；
③线段AB的“闪光点”组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；
④若直线y＝x+b上存在线段AB的“闪光点”，则﹣10≤b≤2．
上述说法中正确的有（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①②
二、填空题：（本大题共8小题，每题3分，共24分）
11．分解因式：a2b﹣b3＝　 　．
12．2022年江苏省约有359000名考生报名参加普通高考，数据“359000”用科学记数法可表示为 　 　．
13．反比例函数y＝与一次函数y＝x+2的图象交于点A（﹣1，a），则k＝　 　．
14．关于x的方程x2﹣3x+k＝0．
（1）若该方程有一个根为x＝1，则k＝　 　；
（2）若该方程有两个实数根，则k的取值范围是 　 　．
15．请举反例说明命题“对于任意实数x，x2+5x+5的值总是正数”是假命题，你举的反例是x＝　 　（写出一个x的值即可）．
16．如图，在△ABC中，AB＝6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是⊙O上一点（不与G、E重合），∠CDE＝18°，则∠GFE的度数是 　 　．

17．如图，在边长为1的正方形ABCD中放入四个小正方形后形成一个中心对称图形，其中两顶点E、F公别在边BC、AD上，则放入的四个小正方形的面积之和为 　 　．

18．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（12，0），B（8，6），C（0，6）．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．设运动的时间为t秒，则＝　 　；作AG⊥PQ于点G，AG的最大值是 　 　．

三、解答题：（本大题共有10小题，共96分）
19．（8分）（1）计算：﹣|﹣|+（﹣2）﹣1﹣3tan45°；
（2）化简：（a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）．
20．（8分）（1）解方程：2x2+4x﹣1＝0；
（2）解不等式组．
21．（10分）如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．

22．（10分）为弘扬中华传统文化，黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．
（1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？
（2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．
23．（10分）某区组织学生参加党史知识竞赛，从中抽取了200名学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计，根据成绩分成如下5组：
A.50.5～60.5
B.60.5～70.5
C.70.5～80.5
D.80.5～90.5
E.90.5～100.5
并绘制成两个统计图．

（1）a＝　 　；b＝　 　；n＝　 　．
（2）求E组共有多少人？
（3）该区共有1200名学生参加党史知识竞赛，如果设定一等奖的分数不低于91分，那么请你估计全区获得一等奖的人数是多少？
24．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D在BC延长线上，且满足∠CAD＝∠B．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AC是∠BAD的平分线，sinB＝，BC＝4，求⊙O的半径．

25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，动点E在∠ABC外部，且∠ABC＝2∠AEC．
（1）利用尺规作图在图1中作出一个符合题意的点E；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）如图2，若F是AC的中点，线段BE与线段EF的长度存在怎样的等量关系？请说明理由．

26．（10分）某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价x为整数，且该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价x（元/件）、月销售量y（件）、月销售利润w（元）的部分对应值如表：
售价x（元/件）
40
45
月销售量y（件）
300
250
月销售利润w（元）
3000
3750
注：月销售利润＝月销售量×（售价﹣进价）
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润；
（3）现公司决定每销售1件商品就捐赠m元利润（m≤6）给“精准扶贫”对象，要求：在售价不超过52元时，每天扣除捐赠后的日销售利润随售价x的增大而增大，求m的取值范围．
27．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+c与x轴交于原点O，点B，顶点A在第一象限，且满足OA＝OB．
（1）求二次函数表达式；
（2）过点O作AB的平行线OT，在边AB右侧的抛物线上有一点C，过点C作y轴的平行线，交AB于点D，交x轴于点E，交OT于F，过点C作CG⊥AB于点G，当时，求点C的坐标；
（3）点P是线段OA的中点，点Q是线段AB上一动点，连接PQ，将线段PQ绕点P顺时针旋转60°得到PR，设R（m，n），请直接写出m与n满足的函数关系式．


28．（10分）在△ABC中，AC＝BC＝5，tanB＝，点D、点E分别是AB、BC边上的动点．
（1）连接DE，作△BDE关于DE的对称图形△B'DE．
①如图1，当点B'恰好与点C重合，求DE的长；
②如图2，当点B'落在AC的延长线上，且B'E⊥AB，求BD的长；
（2）在点D、E运动过程中，满足CD2＝CE•CB，过点C作CF⊥CD交射线DE于点F，是否存在某个位置，使得FD＝FB？若存在，求出此时AD的长；若不存在，请说明理由．

答案与试题解析
一、选择题（共30分）
1．﹣3的倒数为（　　）
A．﹣ B． C．3 D．﹣3
【分析】根据倒数的定义进行解答即可．
解：∵（﹣3）×（﹣）＝1，
∴﹣3的倒数是﹣．
故选：A．
【点评】本题考查的是倒数的定义，即如果两个数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数．
2．函数中自变量的取值范围是（　　）
A．x≥1 B．x≤1 C．x＜1 D．x＞1
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．
解：依题意，得1﹣x≥0，
解得x≤1．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的性质：二次根式的被开方数是非负数．
3．下列运算正确的是（　　）
A．5ab﹣ab＝4 B．+＝
C．a6÷a2＝a4 D．（a2b）3＝a5b3
【分析】A、原式合并同类项得到结果，即可做出判断；
B、原式通分并利用同分母分式的加法法则计算得到结果，即可做出判断；
C、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断．
解：A、原式＝4ab，故A选项错误；
B、原式＝，故B选项错误；
C、原式＝a4，故C选项正确；
D、原式＝a6b3，故D选项错误．
故选：C．
【点评】此题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
4．一组数据12，8，10，7，13的平均数和中位数分别是（　　）
A．9，10 B．9，8.5 C．10，8.5 D．10，10
【分析】根据平均数的计算公式和中位数的定义分别进行解答即可．
解：这组数据的平均数是：×（12+8+10+7+13）＝10；
把这组数据从小到大排列为：7、8、10、12、13，最中间的数是10，则中位数是10；
故选：D．
【点评】此题考查了平均数和中位数，掌握平均数的计算公式和中位数的定义是本题的关键；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
5．如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根A到刮断点P的长度是4m，折断部分PB与地面成40°的夹角，那么原来树的长度是（　　）

A．4+米 B．4+米
C．4+4sin40°米 D．4+4cot40°米
【分析】原来树的长度是（PB+PA）的长．已知了PA的值，可在Rt△PAB中，根据∠PBA的度数，通过解直角三角形求出PB的长．
解：Rt△PAB中，∠PBA＝40°，PA＝4；
∴PB＝PA÷sin40°＝；
∴PA+PB＝4+．
故选：B．
【点评】此题主要考查的是解直角三角形的实际应用，能够熟练运用三角形边角关系进行求解是解答此类题的关键．
6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'．当点A'与点C重合时，点A与点B'之间的距离为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】由菱形的性质得出AC⊥BD，AO＝OC＝AC＝2，OB＝OD＝BD＝8，由平移的性质得出O'C＝OA＝2，O'B'＝OB＝8，∠CO'B'＝90°，得出AO'＝AC+O'C＝6，由勾股定理即可得出答案．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC＝2，OB＝OD＝BD＝8，
∵△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'，点A'与点C重合，
∴O'C＝OA＝2，O'B'＝OB＝8，∠CO'B'＝90°，
∴AO'＝AC+O'C＝6，
∴AB'＝＝＝10；
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质、平移的性质、勾股定理；熟练掌握菱形的性质和平移的性质是解题的关键．
7．如图，半径为5的⊙O与正五边形ABCDE相切于点B、E，则弧BE的长为（　　）

A．4π B．10π C．15π D．20π
【分析】连接OB，OE，根据正五边形的性质得到∠D＝∠C＝180°﹣＝108°．根据弧长公式即可得到结论．
解：连接OB，OE，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠D＝∠C＝180°﹣＝108°．
∵BC、DE与⊙O相切，
∴∠OED＝∠OBC＝90°，
∴∠BOE＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，
∴劣弧BE的长为＝4π，
故选：A．

【点评】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的关键．
8．已知m，n（m＜n）是关于x的方程（x﹣a）（x﹣b）＝﹣3的两根，若a＜b，则下列判断正确的是（　　）
A．a＜m＜b＜n B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜n＜b D．m＜a＜b＜n
【分析】画出抛物线y＝（x﹣a）（x﹣b）的图象，根据m、n可看作抛物线y＝（x﹣a）（x﹣b）与直线y＝﹣3的两交点的横坐标解答即可．
解：∵m，n是关于x的方程（x﹣a）（x﹣b）＝﹣3的两根，
∴m、n可看作抛物线y＝（x﹣a）（x﹣b）与直线y＝﹣3的两交点的横坐标，
∵抛物线y＝（x﹣a）（x﹣b）与x轴的两交点坐标为（a，0），（b，0），
∴a＜m＜n＜b，
故选：C．

【点评】本题考查的是一元二次方程根的分布、抛物线与x轴的交点，根据题意得出m、n可看作抛物线y＝（x﹣a）（x﹣b）与直线y＝﹣3的两交点的横坐标是解决问题的关键．
9．在矩形ABCD中，点E为AD中点，点F为CD中点，连接BF、CE交于点G，若AB＝4，∠DCE＝2∠CBF，则线段BG的长为（　　）

A． B． C．4 D．
【分析】延长BF交AD的延长线于T，设AE＝ED＝a，则BC＝DT＝2a，证明CG＝CF＝2，利用勾股定理求出BT，即可解决问题．
解：延长BF交AD的延长线于T，设AE＝ED＝a，

∵点F为CD的中点，
∴CF＝DF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥DT，
∴∠CBF＝∠T，∠BCF＝∠FDT，
∴△BCF≌△TDF（AAS），
∴DT＝BC＝2a，
设∠CBF＝α，则∠ECD＝2α，∠BCG＝90°﹣2α，
∴∠CGF＝∠GBC+∠GCB＝90°﹣α，
∵∠CFB＝90°﹣α，
∴CF＝CG＝DF＝2，
∵BC∥ET，
∴EG：GC＝ET：BC＝3：2，
∴EG＝3，
∴CE＝5，DE＝＝3，
∴AT＝4a＝12，
∴BT＝，
∵，
∴BG＝BT＝，
故选：A．
【点评】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．
10．已知线段AB，⊙M经过A、B两点，若90°≤∠AMB≤120°，则称点M是线段AB的“好心”；⊙M上的点称作线段AB的“闪光点”．已知A（2，0），B（6，0）．
①点M（4，2）是线段AB的“好心”；
②若反比例函数y＝上存在线段AB的“好心”，则≤k≤8；
③线段AB的“闪光点”组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；
④若直线y＝x+b上存在线段AB的“闪光点”，则﹣10≤b≤2．
上述说法中正确的有（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①②
【分析】①先根据“好心”的定义进行判断即可；
②在①中的“好心”的坐标，代入反比例函数解析式，可得出k的值是8，当∠AMB＝120°时，可得点M的坐标，分情况计算当M在x轴上方和下方两种情况，由此可得k的取值范围；
③作出图形可作判断；
④根据③中的图形作两个大圆的切线，计算切点的坐标，可得b的取值，从而作判断．
解：①如图1，

∵A（2，0），B（6，0），点M（4，2），
∴AM＝BM，AC＝CM＝BC＝2，∠ACM＝90°，
∴圆M经过A、B两点，且∠AMB＝90°，
∴点M（4，2）是线段AB的“好心”，
故①正确；
②若反比例函数y＝上存在线段AB的“好心”，
∴90°≤∠AMB≤120°，
i）点M在x轴上方时，当∠AMB＝90°时，如图1，此时点M（4，2），即M在反比例函数y＝图象上，
∴k＝2×4＝8；
当∠AMB＝120°时，如图2，过点M作MC⊥AB于C，

∵AM＝MB，
∴∠BAM＝30°，
∵AC＝2，
∴CM＝＝，
∴M（4，），
∵M在反比例函数y＝图象上，
∴k＝4×＝，
∴≤k≤8；
ii）点M在x轴的下方时，同理可得﹣8≤k≤﹣，
故②不正确；
③线段AB的闪光点组成的图形如图3所示：
所以线段AB的“闪光点”组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；
故③正确；

④当直线y＝x+b与上述两个大圆相切时属于临界状态，在两条切线范围内存在“闪光点”，如图4，

设直线y＝kx+b与圆M相切于点P，则MP与之垂直，且线段BM是直径，
∵B（6，0），M（4，2），
∴P（2，4），
代入y＝x+b得，2+b＝4，
∴b＝2；
设直线y＝kx+b与圆M′相切于点H，则M′H与之垂直，且线段AH是直径，
∵A（2，0），M′（4，﹣2），
∴P（6，﹣4），
代入y＝x+b′得，6+b′＝﹣4，
∴b′＝﹣10；
综上可知，b的取值范围是﹣10≤b≤2，
故④正确；
所以上述说法中正确的有①③④．
故选：B．
【点评】本题是新定义理解题，考查了圆周角定理及其推论，圆的切线性质，待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是理解题干中“好心”及“闪光点”的定义．
二、填空题（共24分）
11．分解因式：a2b﹣b3＝　b（a+b）（a﹣b）　．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
解：原式＝b（a2﹣b2）＝b（a+b）（a﹣b），
故b（a+b）（a﹣b）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．2022年江苏省约有359000名考生报名参加普通高考，数据“359000”用科学记数法可表示为 　3.59×105　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：359000＝3.59×105．
故3.59×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．反比例函数y＝与一次函数y＝x+2的图象交于点A（﹣1，a），则k＝　﹣1　．
【分析】两个函数交点的坐标满足这两个函数关系式，因此将交点的坐标分别代入反比例函数关系式和一次函数关系式即可求得待定的系数．
解：由题意，
解得k＝﹣1．
故﹣1．
【点评】本题综合考查反比例函数与方程组的相关知识点．由点的坐标列方程组可求出函数解析式待定的系数．
14．关于x的方程x2﹣3x+k＝0．
（1）若该方程有一个根为x＝1，则k＝　2　；
（2）若该方程有两个实数根，则k的取值范围是 　k≤　．
【分析】（1）将x＝1代入方程中，得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值；
（2）由方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．
解：（1）将x＝1代入方程得：12﹣3+k＝0，
解得k＝2．
故2；
（2）∵x2﹣3x+k＝0有两个实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4k＝9﹣4k≥0，
解得：k≤．
故k的取值范围是k≤．
故k≤．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0时，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0时，方程无实数根．
15．请举反例说明命题“对于任意实数x，x2+5x+5的值总是正数”是假命题，你举的反例是x＝　﹣　（写出一个x的值即可）．
【分析】先进行配方得到x2+5x+5＝x2+5x+﹣＝（x+）2﹣，当x＝﹣时，则有x2+5x+5＝﹣＜0．
解：x2+5x+5＝x2+5x+﹣＝（x+）2﹣，
当x＝﹣时，x2+5x+5＝﹣＜0，
∴是假命题．
故﹣．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，在判断一个命题为假命题时，可以举出反例．
16．如图，在△ABC中，AB＝6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是⊙O上一点（不与G、E重合），∠CDE＝18°，则∠GFE的度数是 　48°或132°　．

【分析】连接DG，先由BC与⊙A相切于点D，证明∠ADB＝∠ADC＝90°，再证明△ADG是等边三角形，则∠DAG＝60°，由∠ADE＝∠AED＝90°﹣18°＝72°得∠CAE＝36°，于是∠GAE＝60°+36°＝96°，当点F在⊙O上且在△ABC的外部时，则∠GFE＝∠GAE＝48°；当点F′在⊙O上且在△ABC的内部时，则∠GF′E＝180°﹣∠GFE＝132°．
解：如图，连接DG，
∵BC与⊙A相切于点D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AB＝6，AG＝AD＝3，
∴BG＝AG＝3，
∴DG＝AB＝AG＝AD，
∴△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE，
∴∠CDE＝18°，
∴∠AED＝∠ADE＝90°﹣18°＝72°，
∴∠CAE＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
∴∠GAE＝60°+36°＝96°，
当点F在⊙O上且在△ABC的外部时，则∠GFE＝∠GAE＝×96°＝48°；
当点F′在⊙O上且在△ABC的内部时，则∠GF′E＝180°﹣∠GFE＝180°﹣48°＝132°，
故48°或132°．

【点评】此题考查圆的切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
17．如图，在边长为1的正方形ABCD中放入四个小正方形后形成一个中心对称图形，其中两顶点E、F公别在边BC、AD上，则放入的四个小正方形的面积之和为 　　．

【分析】作GH⊥BC，证明△GHE∽△EMN，根据相似三角形的性质得到GH＝2EM，HE＝2MN，根据正方形的性质列方程求出MN，根据勾股定理、正方形的面积公式计算，得到答案．
解：如图，过G作GH⊥BC于H，
则∠HGE+∠HEG＝∠HEG+∠MEN＝90°，
∴∠HGE＝∠MEN，
∵∠GHE＝∠EMN＝90°，
∴△GHE∽△EMN，
∴，
∴GH＝2EM，HE＝2MN，
设MN＝x，则HE＝2x，
∴EM＝1﹣4x，
∴GH＝2EM＝2（1﹣4x），
∴2（1﹣4x）+x＝1，
解得：x＝，
∴EM＝1﹣4x＝，
∴EN＝，
∴GE＝2EN＝，
∴四个小正方形的面积之和＝2×（）2+×＝，
故．

【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、中心对称图形的概念，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键．
18．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（12，0），B（8，6），C（0，6）．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．设运动的时间为t秒，则＝　　；作AG⊥PQ于点G，AG的最大值是 　　．

【分析】连接OB交PQ于F，过F点作FH⊥OC于H，如图，BQ＝2t，OP＝3t，证明△BFQ∽△OFP得到，则可判断PQ恒过定点F，再证明△OFH∽△OBC，利用相似比计算出OH＝，FH＝，则F，利用两点间的距离公式计算出AF＝，然后根据垂线段最短可确定AG的最大值．
解：连接OB交PQ于F，过F点作FH⊥OC于H，如图，BQ＝2t，OA＝3t

∴，
∵B（8，6），C（0，6）．
∴BQ∥OP，
∴△BFQ∽△OFP，
∴，
∴PQ恒过定点F，
∵FH∥BC，
∴△OFH∽△OBC，
∴，即，
∴OH＝，FH＝，
∴F，
∴AF＝＝，
∵PQ恒过定点F，
而AG⊥PQ，
∴AG≤AF，
∴AG的最大值为．
故，．
【点评】本题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，利用相似比求线段的长．确定PQ过定点是解决问题的关键．
三、解答题（共96分）
19．（8分）（1）计算：﹣|﹣|+（﹣2）﹣1﹣3tan45°；
（2）化简：（a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先去括号，再合并同类项，即可解答．
解：（1）﹣|﹣|+（﹣2）﹣1﹣3tan45°
＝﹣+（﹣）﹣3×1
＝﹣1﹣3
＝﹣4；
（2）（a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）
＝a2+2ab+b2﹣4a2+b2
＝﹣3a2+2ab+2b2．
【点评】本题考查了绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，实数的运算，整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．（8分）（1）解方程：2x2+4x﹣1＝0；
（2）解不等式组．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、小小无解了确定不等式组的解集．
解：（1）2x2+4x﹣1＝0，
x2+2x＝，
，
（x+1）2＝，
x+1＝，
x＝﹣1，
∴，；
（2），
由①得：x＞，
由②得：x≤4，
所以不等式组的解集为＜x≤4．
【点评】本题考查了解一元二次方程以及一元一次不等式组，掌握配方法和正确求出每一个不等式解集是解答本题的关键．
21．（10分）如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．

【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；
（2）根据平行线的性质，可得∠DFA＝∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF＝∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∵BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠DFA＝∠FAB．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
BC＝＝5，
∴AD＝BC＝DF＝5，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴∠DAF＝∠FAB，
即AF平分∠DAB．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF＝∠DFA是解题关键．
22．（10分）为弘扬中华传统文化，黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．
（1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？
（2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数，然后根据概率公式求解．
解：（1）她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率＝；
（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数为1，
所以恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
23．（10分）某区组织学生参加党史知识竞赛，从中抽取了200名学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计，根据成绩分成如下5组：
A.50.5～60.5
B.60.5～70.5
C.70.5～80.5
D.80.5～90.5
E.90.5～100.5
并绘制成两个统计图．

（1）a＝　16　；b＝　20%　；n＝　126　．
（2）求E组共有多少人？
（3）该区共有1200名学生参加党史知识竞赛，如果设定一等奖的分数不低于91分，那么请你估计全区获得一等奖的人数是多少？
【分析】（1）分别用总人数乘以A、B等级对应百分比即可得出a、b的值；用360乘以D组人数占被调查人数的比例即可得出n的值；
（2）根据各分组人数之和等于被调查人数求解即可；
（3）用总人数乘以样本中不低于91分的人数所占比例即可．
解：（1）a＝200×8%＝16，b＝200×20%＝40，n＝360×＝126；
故16；20%；126；
（2）200﹣16﹣40﹣200×25%﹣70＝24（人），
答：E组有24人；
（3）1200×＝144（人），
答：估计全区获得一等奖的人数是144人．
【点评】此题考查的是读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
24．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D在BC延长线上，且满足∠CAD＝∠B．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AC是∠BAD的平分线，sinB＝，BC＝4，求⊙O的半径．

【分析】（1）连接OA，OC与AB相交于点E，如图，由OA＝OC，可得∠OAC＝∠OCA，根据圆周角定理可得，由已知∠CAD＝∠B，可得∠AOC＝2∠CAD，根据三角形内角和定理可得∠OCA+∠CAO+∠AOC＝180°，等量代换可得∠CAO+∠CAD＝90°，即可得出答案；
（2）根据角平分线的定义可得∠BAC＝∠DAC，由已知可得∠BAC＝∠B，根据垂径定理可得，OC⊥AB，BE＝AE，在Rt△BEC中，根据正弦定理可得sinB＝＝＝，即可算出CE的长度，根据勾股定理可算出BE＝的长度，设⊙O的半径为r，则CE＝OC﹣CE＝r﹣，在Rt△AOE中，OA2＝OE2+AE2，代入计算即可得出答案．
证明：（1）连接OA，OC与AB相交于点E，如图，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵，
∴，
∵∠CAD＝∠B，
∴∠AOC＝2∠CAD，
∵∠OCA+∠CAO+∠AOC＝180°，
∴2∠CAO+2∠CAD＝180°，
∴∠CAO+∠CAD＝90°，
∴∠OAD＝90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
解：（2）∵AC是∠BAD的平分线，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵∠CAD＝∠B，
∴∠BAC＝∠B，
∴OC⊥AB，BE＝AE，
在Rt△BEC中，
∵BC＝4，
∴sinB＝＝＝，
∴CE＝，
∴BE＝＝＝，
设⊙O的半径为r，则CE＝OC﹣CE＝r﹣，
在Rt△AOE中，
OA2＝OE2+AE2，
r2＝（r﹣）2+，
解得：r＝．

【点评】本题主要考查了切线的性质与判定，垂径定理及解直角三角形，熟练掌握切线的性质与判定，垂径定理及解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．
25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，动点E在∠ABC外部，且∠ABC＝2∠AEC．
（1）利用尺规作图在图1中作出一个符合题意的点E；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）如图2，若F是AC的中点，线段BE与线段EF的长度存在怎样的等量关系？请说明理由．

【分析】（1）作线段AC的垂直平分线BP，交AC于点D；在线段BD的延长线上截取DO＝BD；以点O为圆心，OA为半径画圆，在优弧AEC上任意取一点（不含端点）即为所求作的一个符合题意的点E；
（2）结合（1）的图形连接OE，OB，根据正方形的性质证明△EOF∽△BOE，进而可以解决问题．
解：（1）作线段AC的垂直平分线BP，交AC于点D；
在线段BD的延长线上截取DO＝BD；
以点O为圆心，OA为半径画圆，在优弧AEC上任意取一点（不含端点）即为所求作的一个符合题意的点E；
理由如下：
如图，连接OA，OC，

由作法可知：AC，OB互相垂直平分，
∴四边形ABCO是菱形，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCO是正方形，
∴∠AOC＝90°＝∠ABC，OA＝OC，
∴点C在圆O上，
∵∠AOC＝2∠AEC，
∴∠ACB＝2∠AEC；
（2）BE＝EF，理由如下：
如图，连接OE，OB，

∵四边形ABCO是正方形，F是AC的中点，OA＝OC，
∴OB经过点F，∠BCO＝90°，∠CBO＝∠OCA＝45°，OF⊥AC，
在Rt△OBC中，
＝sin∠OBC＝，
在Rt△OFC中，
＝sin∠OCA＝，
∴＝＝，
∵OE＝OC，
∴＝＝，
∵∠EOF＝∠BOE，
∴△EOF∽△BOE，
∴＝＝，
∴BE＝EF．
【点评】本题属于几何综合题，考查了作图﹣复杂作图，相似三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，正方形的判定与学习者，勾股定理，解直角三角形，解决本题的关键是得到△EOF∽△BOE．
26．（10分）某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价x为整数，且该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价x（元/件）、月销售量y（件）、月销售利润w（元）的部分对应值如表：
售价x（元/件）
40
45
月销售量y（件）
300
250
月销售利润w（元）
3000
3750
注：月销售利润＝月销售量×（售价﹣进价）
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润；
（3）现公司决定每销售1件商品就捐赠m元利润（m≤6）给“精准扶贫”对象，要求：在售价不超过52元时，每天扣除捐赠后的日销售利润随售价x的增大而增大，求m的取值范围．
【分析】（1）设出函数解析式，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据表中数据可以求出每件进价，设该商品的月销售利润为w元，根据利润＝单件利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求出函数最值；
（3）根据总利润＝（单件利润﹣m）×销售量列出函数解析式，再根据x≤52时，每天扣除捐赠后的日销售利润随售价x的增大而增大，利用函数性质求m的取值范围．
解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，
根据题意，得
，
解得：，
所以y与x的函数表达式为y＝﹣10x+700；
（2）由表中数据知，每件商品进价为＝30（元），
设该商品的月销售利润为w元，
则w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，
∵﹣10＜0，
∴当x＝50时，w最大，最大值为4000，
∴当该商品的售价是50元时，月销售利润最大，最大利润为4000元；
（3）根据题意得：w＝（x﹣30﹣m）（﹣10x+700）＝﹣10x2+（1000+10m）x﹣21000﹣700m，
对称轴为直线x＝﹣＝50+，
∵﹣10＜0，
∴当x≤50+时，w随x的增大而增大，
∵x≤52时，每天扣除捐赠后的日销售利润随售价x的增大而增大，
∴50+＞52，
解得：m≥4，
∵4≤m≤6，
∴m的取值范围为4≤m≤6．
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．
27．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+c与x轴交于原点O，点B，顶点A在第一象限，且满足OA＝OB．
（1）求二次函数表达式；
（2）过点O作AB的平行线OT，在边AB右侧的抛物线上有一点C，过点C作y轴的平行线，交AB于点D，交x轴于点E，交OT于F，过点C作CG⊥AB于点G，当时，求点C的坐标；
（3）点P是线段OA的中点，点Q是线段AB上一动点，连接PQ，将线段PQ绕点P顺时针旋转60°得到PR，设R（m，n），请直接写出m与n满足的函数关系式．


【分析】（1）利用配方法可得y＝ax2﹣4ax＝a（x﹣2）2﹣4a，可得顶点A（2，﹣4a），对称轴为直线x＝2，令y＝0，可得B（4，0），故OA＝4，运用勾股定理可得AH＝2，可得A（2，2），由﹣4a＝2，即可求得答案；
（2）利用待定系数法可得直线AB的解析式为y＝﹣x+4，由OT∥AB，可得直线OT的解析式为y＝﹣x，设C（t，﹣t2+2t）（2＜t＜4），则D（t，﹣t+4），E（t，0），F（t，﹣t），根据，建立方程求解即可得出答案；
（3）分两种情况：①当点R在x轴下方时，如图2，过点R作x轴的平行线交直线OA于点T，交直线AB于点K，交y轴于点L，证明△TPR≌△AQP（AAS），得出TR＝AP，即可求得m与n的关系式；②当点R在x轴上方时，如图3，过点R作x轴的平行线交直线OA于点T，交直线AB于点K，交y轴于点L，同理可得m与n的关系式．
解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣4ax+c与x轴交于原点O，
∴c＝0，
∵y＝ax2﹣4ax＝a（x﹣2）2﹣4a，
∴顶点A（2，﹣4a），对称轴为直线x＝2，设对称轴交x轴于点H，
则H（2，0），
∴OH＝2，
当y＝0时，ax2﹣4ax＝0，
解得：x＝0或4，
∴B（4，0），
∴OB＝4，
∵OA＝OB，
∴OA＝4，
在Rt△AOH中，AH＝＝＝2，
∴A（2，2），
∴﹣4a＝2，
解得：a＝﹣，
∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4，
∵OT∥AB，
直线OT的解析式为y＝﹣x，
设C（t，﹣t2+2t）（2＜t＜4），
则D（t，﹣t+4），E（t，0），F（t，﹣t），
∴CD＝﹣t2+2t﹣（﹣t+4）＝﹣t2+3t﹣4，OE＝t，EF＝t，
∵tan∠ABH＝＝＝，
∴∠ABH＝60°，
∴∠BAH＝30°，
∵CD∥y轴，AH∥y轴，
∴CD∥AH，
∴∠CDG＝∠BAH＝30°，
∵CG⊥AB，
∴CG＝CD•sin30°＝CD，DG＝CD•cos30°＝CD，
∴S△CGD＝CG•DG＝×CD×CD＝CD2＝（﹣t2+3t﹣4）2，
S△OEF＝OE•EF＝×t×t＝t2，
∵，
∴48S△CGD＝S△OEF，
∴48×（﹣t2+3t﹣4）2＝t2，
∴（3t2﹣17t+24）（3t2﹣19t+24）＝0，
解得：t＝3或或，
∵2＜t＜4，
∴t＝3或，
∴点C的坐标为（3，）或；
（3）①当点R在x轴下方时，如图2，过点R作x轴的平行线交直线OA于点T，交直线AB于点K，交y轴于点L，
则∠T＝∠AOB，∠K＝∠ABO，
由（2）知：∠ABO＝60°，OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠K＝∠T＝60°，
∴∠TPR+∠TRP＝120°，
∵将线段PQ绕点P顺时针旋转60°得到PR，
∴∠RPQ＝60°，PR＝PQ，
∴△PRQ是等边三角形，
∴∠TPR+∠APQ＝120°，
∴∠TRP＝∠APQ，
∵∠T＝∠PAQ＝60°，PR＝PQ，
∴△TPR≌△AQP（AAS），
∴TR＝AP，
∵R（m，n），
∴L（0，n），
∴OL＝﹣n，
∵＝tan∠T＝tan60°＝，
∴TL＝＝＝﹣n，
∴TR＝LR+TL＝m﹣n，
∵点P是线段OA的中点，OA＝4，
∴AP＝OA＝2，
∴m﹣n＝2；
②当点R在x轴上方时，如图3，过点R作x轴的平行线交直线OA于点T，交直线AB于点K，交y轴于点L，
则∠ATK＝∠AOB，∠K＝∠ABO，
同理可得：△TPR≌△AQP（AAS），
∴TR＝AP，
∵R（m，n），
∴L（0，n），
∴OL＝n，
∵∠TOL＝90°﹣60°＝30°，
∴LT＝OL•tan30°＝n，
∴TR＝LR﹣LT＝m﹣n，
∴m﹣n＝2；
综上所述，m与n满足的函数关系式为m﹣n＝2．



【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角函数，三角形面积，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，解题关键是添加辅助线构造全等三角形．
28．（10分）在△ABC中，AC＝BC＝5，tanB＝，点D、点E分别是AB、BC边上的动点．
（1）连接DE，作△BDE关于DE的对称图形△B'DE．
①如图1，当点B'恰好与点C重合，求DE的长；
②如图2，当点B'落在AC的延长线上，且B'E⊥AB，求BD的长；
（2）在点D、E运动过程中，满足CD2＝CE•CB，过点C作CF⊥CD交射线DE于点F，是否存在某个位置，使得FD＝FB？若存在，求出此时AD的长；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）①证明DE垂直平分线段BC，可得结论；
②如图2中，延长B′E交AB于点H，过点C作CJ⊥AB于点J．设EH＝3k，BH＝4k，EB＝5k，则EB′＝5k，B′H＝8k，在Rt△AB′H中，利用参数构建方程求解．
（2）点D在AB边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝BF．作FH⊥AB于H，CM⊥AB于M，CN⊥FH于N．则∠NHM＝∠CMH＝∠CNH＝90°，证明△CFN∽△CDM，推出＝＝tan∠CDF＝tanB＝，可得CN＝CM＝，由此即可解决问题．
解：（1）①如图1中，

当点B'恰好与点C重合，DE垂直平分线段BC，
∴EB＝EC＝，
∴DE＝BE•tanB＝×＝；

②如图2中，延长B′E交AB于点H，过点C作CJ⊥AB于点J．

∵CA＝CB＝5，CJ⊥AB，
∴AJ＝BJ，
∵tanB＝＝，
∴CJ＝3，BJ＝AJ＝4，
∴AB＝8，
∵B′E⊥AB，
∴tanB＝＝，
∴EH：BH：EB＝3：4：5，
设EH＝3k，BH＝4k，EB＝5k，则EB′＝5k，B′H＝8k，
∴AH＝8﹣4k，
在Rt△AB′H中，tanA＝＝，
∴＝，
∴k＝，
经检验k＝是分式方程的解，
∴B′H＝，BH＝
∵∠B＝∠DB′H，
∴tan∠DB′H＝tanB＝＝，
∴DH＝×＝，
∴BD＝DH+BH＝+＝；

（2）点D在AB边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝BF．
理由：作FH⊥AB于H，CM⊥AB于M，CN⊥FH于N．则∠NHM＝∠CMH＝∠CNH＝90°，

∴四边形CMHN为矩形，
∴∠MCN＝90°，MH＝CN，
∵CN⊥FH，CM⊥AB，
∴∠CNF＝90°＝∠CMD，
∵∠DCF＝90°＝∠MCN，
∴∠NCF＝∠MCD，
∴△CFN∽△CDM，
∴＝＝tan∠CDF＝tanB＝，
∴CN＝CM＝，
∴BH＝BM﹣MH＝BM﹣CN＝4﹣＝，
当DF＝BF时，由点D不与点B重合，可知△DFB为等腰三角形，
∵FH⊥DB，
∴BD＝2BH＝，
∴AD＝AB﹣BD＝8﹣＝，
∴点D在AB边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝BF，此时AD＝．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了新三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数等，等腰三角形的判定和性质知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．