2023年广东省茂名市高州市第一中学附属实验中学中考二模数学试题(含答案)

2023年高州一中中考二模考试数学试题

一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中只有一个选项是最符合题意的）

1．的相反数是（    ）

A． B．2 C． D．

2．把科学记数法表示，结果是（    ）

A． B． C． D．

3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝6，则AB的长是（　　）.

A．8 B．1 C．12 D．4

4．一个暗箱中放有个除颜色外其他完全相同的球，这个球中只有个红球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在，那么可以估算的值是（ ）

A．15  B．10   C．4   D．3

5．下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

6．点P在一次函数y＝3x+4的图象上，则点P不可能在（　　）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

7．如图，△ABC≌△DEF，AC∥DF，则∠C的对应角为(     )

A．∠F B．∠AGE C．∠AEF D．∠D

8．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

A．1 B．2 C． D．4

9．如图，有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（　　）

A． B． C． D．

10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，图象经过（3，0），下列结论中，正确的一项是（　　）

A．abc＜0 B．2a+b＜0    C．a﹣b+c＜0 D．4ac﹣b2＜0

第7题图          第8题图            第9题图            第10题图

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

11．函数中自变量的取值范围是________．

12．不等式的解集是 ________．

13．若，则的值为__________.

14．如图，以半圆O的半径OA为直径作一个半圆，点C为小半圆上一点，射线AC交半圆O于点D，已知 的长为3，则 的长为________．  

15．如图，在矩形中，，，P是矩形内一点，沿、、、把这个矩形剪开，然后把两个阴影三角形拼成一个四边形，则这个四边形的面积数值为a；这个四边形周长的最小值为b,则a+b=________.

三、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

16．先化简，再求值：，其中

17．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E．

（1）作CF平分∠BCD交AD于点F（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在（1）的条件下，求证：△ABE≌△CDF．

18．2022年3月23日“天宫课堂”第二课在中国空间站正式开讲，“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富再次给大家带来一堂精彩的太空科普课．某校组织全校学生同步观看，直播结束后，教务处随机抽取了名学生，将他们最喜欢的太空实验分成四组，组：太空“冰雪”实验；B组：液桥演示实验；C组：水油分离实验；D组：太空抛物实验，并得到如下不完整的统计图表．请利用统计图表提供的信息回答下列问题：

学生最喜欢的太空实验人数统计表

(1)________，________，________；

(2)补全条形统计图；

(3)若全校同步观看直播的学生共有800人，请估计该校最喜欢太空抛物实验的人数．

四、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）

19．一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：）

（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．

（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．

20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于两点，一次函数的图像与y轴交于点C．

(1)求一次函数的解析式：

(2)点P是x轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标．

(3)根据函数的图像，直接写出不等式的解集；

21．甘蔗富含大量铁、钙、锌等人体必需的微量元素，素有“补血果”的美称，是冬季热销的水果之一，为此，某水果商家12月份第一次用600元购进云南甘蔗若干千克，销售完后，他第二次又用600元购进该甘蔗，但这次每千克的进价比第一次的进价提高了20%，所购进甘蔗的数量比第一次少了25千克．

（1）求该商家第一次购买云南甘蔗的进价是每千克多少元？

（2）假设商家两次购进的云南甘蔗按同一价格销售，要使销售后获利不低于1000元，则每千克的售价至少为多少元？

五、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）

22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD⊥OC，连接AD，∠ADO＝∠BOC，AC与OD相交于点E．

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若tan∠OAC＝，AD＝，求⊙O的半径．

23．如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．

（1）直接写出该抛物线的函数解析式；

（2）P是抛物线在第一象限上的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若抛物线上有一点D（点D位于直线AC的上方且不与点B重合）使得S△DCA＝S△ABC，直接写出点D的坐标．

高州一中数学二模参考答案

一、单选题

1．的相反数是（    ）

A． B．2  C．  D．

【答案】A

【详解】∵=2，

∴的相反数是-2，

2．把科学记数法表示，结果是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

解：=；

3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝6，则AB的长是（　　）.

A．8 B．1 C．12 D．4

【答案】C

解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝6，

∴AB的长是12．

4．一个暗箱中放有个除颜色外其他完全相同的球，这个球中只有个红球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在，那么可以估算的值是（ ）

A．1.5  B．10  C．4   D．3

【答案】B

解：根据题意得：

2÷20%=10（个），

答：可以估算a的值是10；

5．下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

解：A、不是同类项不能加减，故A不符合题意；

B、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故B符合题意；

C、，故C不符合题意；

D、，故D不符合题意

6．解：∵k＝3＞0，b＝4＞0，

∴一次函数y＝3x+4的图象经过第一、二、三象限，

又∵点P在一次函数y＝3x+4的图象上，

∴点P不可能在第四象限．

故选：D．

7．如图，△ABC≌△DEF，AC∥DF，则∠C的对应角为(     )

A．∠F  B．∠AGE  C．∠AEF   D．∠D

【答案】A

【详解】试题分析：根据△ABC≌△DEF可得：∠B的对应角为∠DEF，∠BAC的对应角为∠D，∠C的对应角为∠F.

8．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

A．1 B．2 C． D．4

【答案】B

解：由三视图可确定此几何体为底面是一个等腰直角三角形的直三棱柱，等腰直角三角形的直角边长为1，高为2，

则，等腰直角三角形的底面积，

体积=底面积×高，

9．解：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．

∵S△ABC＝•AB•BC＝•AC•BP，

∴BP＝＝＝．

∵DE∥AC，

∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，

∴△BDE∽△BAC，

∴＝．

设DE＝x，则有：＝，

解得x＝，

故选：D．

10．解：A、根据图示知，抛物线开口方向向上，则a＞0．

抛物线的对称轴x＝﹣＝1＞0，则b＜0．

抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0，

所以abc＞0．

故A选项错误；

B、∵x＝﹣＝1，

∴b＝﹣2a，

∴2a+b＝0．

故B选项错误；

C、∵对称轴为直线x＝1，图象经过（3，0），

∴该抛物线与x轴的另一交点的坐标是（﹣1，0），

∴当x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0．

故C选项错误；

D、根据图示知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，则Δ＝b2﹣4ac＞0，则4ac﹣b2＜0．

故D选项正确；

故选：D．

三、填空题

11．函数中自变量的取值范围是________．

【答案】且

解：由二次根式的性质得：x≥0，

由分式的分母不能为零的：x≠3，

∴x≥0且x≠3，

12．不等式的解集是 ________．

【答案】x＜4

解：,

去分母得：3（x+1）<18-(x-1),

去括号得：3x+3<18-x+1,

移项合并得：4x<16,

解得：x<4．

13．若，则的值为__________.

【答案】1949

解：∵

∴x-9=0,y-4=0

∴x=9,y=4

将x=9,y=4代入得：

9+4+（4×9+2×4）2=1949

14．如图，以半圆O的半径OA为直径作一个半圆，点C为小半圆上一点，射线AC交半圆O于点D，已知 的长为3，则 的长为________．  

【答案】6

解：如图，连接OC，OD，O'C，

∵OA为的直径，

∴∠ACO=90°，

∵OA=OD，

∴AC=CD，

∵O'A=O'O，

∴O'C是△AOD的中位线，

∴O'C∥OD，

∴，

∴ 的长 = ，

∴ 弧的长= ．

15．如图，在矩形中，，，P是矩形内一点，沿、、、把这个矩形剪开，然后把两个阴影三角形拼成一个四边形，则这个四边形的面积为_________；这个四边形周长的最小值为________.

【答案】    56

【详解】如解图①，过点P作于点E，延长交于点F，

∵四边形是矩形，

∴，.

∴四边形是矩形.

∴.

又∵，

∴；

当点P在对角线交点处时，周长有最小值为26.

a+b=56

三、解答题（

16．先化简，再求值：，其中

【答案】，

解：

当时，原式．

17．【详解】（1）如图所示：CF即为所求作；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，∠B=∠D，∠BAD=∠BCD，

∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，

∴∠BAE=∠DCF，

在△ABE和△CDF中

，

∴△ABE≌△CDF．

18．2022年3月23日“天宫课堂”第二课在中国空间站正式开讲，“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富再次给大家带来一堂精彩的太空科普课．某校组织全校学生同步观看，直播结束后，教务处随机抽取了名学生，将他们最喜欢的太空实验分成四组，组：太空“冰雪”实验；B组：液桥演示实验；C组：水油分离实验；D组：太空抛物实验，并得到如下不完整的统计图表．请利用统计图表提供的信息回答下列问题：

学生最喜欢的太空实验人数统计表

(1)________，________，________；

(2)补全条形统计图；

(3)若全校同步观看直播的学生共有800人，请估计该校最喜欢太空抛物实验的人数．

【详解】（1）解：根据题意，；

；；

故答案为：50；5；10；

（2）解：补全条形图如下：

（3）解：该校最喜欢太空抛物实验的人数为：

（人）；

四、解答题

19．一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：）

（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．

（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．

解：（1）过A点作于点D，

∴，

由题意可得，

∴在中，，

∴渔船在航行过程中没有触礁的危险；

（2）在中，，

∵，

∴，

在中，，

即A，C之间的距离为79.50海里.

20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于两点，一次函数的图像与y轴交于点C．

(1)求一次函数的解析式：

(2)根据函数的图像，直接写出不等式的解集；

(3)点P是x轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标．

【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，

∴，

解得，

∴，

把A、B的坐标代入得，解得，

∴一次函数的解析式为；

（2）解：连接，由题意，

，

设，

由题意，解得，

∴或．

（3）解：观察图象，不等式的解集为：或；

21．解：（1）设该商家第一次购买云南甘蔗的进价是每千克x元，

根据题意可知：＝﹣25，x＝4，

经检验，x＝4是原方程的解，

答：该商家第一次购买云南甘蔗的进价是每千克4元；

（2）设每千克的售价为y元，

第一次销售了＝150千克，第二次销售了125千克，

根据题意可知：150（y﹣4）+125（y﹣4.8）≥1000，

解得：y≥8，

答：每千克的售价至少为8元．

五、解答题

22.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD⊥OC，连接AD，∠ADO＝∠BOC，AC与OD相交于点E．

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若tan∠OAC＝，AD＝，求⊙O的半径．

（1）证明：∵OD⊥OC， ∴∠COD＝90°，

∴∠BOC+∠AOD＝180°﹣90°＝90°，

又∵∠ADO＝∠BOC，  ∴∠ADO+∠AOD＝90°，

∴∠OAD＝180°﹣90°＝90°，

即OA⊥AD，

∵OA是半径，

∴AD是⊙O的切线；

（2）解：∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∴tan∠OAC＝＝tan∠OCA＝，

∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°＝∠OAD，即∠OCB+∠OCA＝90°＝∠OAC+∠DAE，

∴∠DAE＝∠OCB，

又∵∠ADO＝∠BOC，

∴∠DEA＝∠B，

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

∴∠DAE＝∠DEA，

∴AD＝DE＝，

设半径为r，则OE＝r，OD＝r+，

在Rt△AOD中，由勾股定理得，

AD2+OA2＝OD2，

即（）2+r2＝（r+）2，

解得r＝2或r＝0（舍去），

即半径为2．

23． 解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，

将A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c，

∴，解得，

∴y＝﹣x2+x﹣2；

（2）存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似，理由如下：

设P（t，﹣t2+t﹣2），则M（t，0），1＜t＜4，

∴PM＝﹣t2+t﹣2，

∵A（4，0），∴AM＝4﹣t，∴tan∠MAP＝，

∵C（0，﹣2），∴OC＝2，OA＝4，∴tan∠OAC＝，

①当∠PAM＝∠OAC时，＝，

解得t＝2或t＝4（舍），

∴P（2，1）；

②当∠PAM＝∠OCA时，＝2，

解得t＝4（舍）或t＝5（舍），

∴此时P不存在；

综上所述：P点坐标为（2，1）；

（3）设直线AC的解析式为y＝kx+b，

∴，∴，

∴直线AC的解析式为y＝x﹣2，

过点B作直线AC的平行线y＝x+m，

∴+m＝0，∴m＝﹣，∴y＝x﹣，

联立方程组，解得（舍）或，

∴D（3，1）．