2023年湖南省长沙市长郡教育集团中考二模数学试题(含答案)

2023年上学期初三年级第二次模拟测试

数学

注意事项：

1．答题前，请考生先将自己的姓名准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；

2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；

3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；

4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；

5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；

6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1．4的算术平方根是（    ）

A．2            B．            C．8            D．16

2．某种粒子的质量为，将0.00000081用科学记数法表示为（    ）

A．        B．       C．       D．

3．下列运算中，计算结果正确的是（    ）

A．    B．    C．    D．

4．我们根据一些简单的方程式，就可以在坐标系中绘制出形状优美、寓意美妙的曲线．下列平面直角坐标系内的曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（    ）

A．三叶玫瑰线        B．四叶玫瑰线          C．心形线         D．笛卡尔叶形线

5．如图，直线，则等于（    ）

A．         B．          C．         D．

6．我市某一周的最高气温统计如下表：

则这组数据的中位数与众数分别是（    ）

A．28，27        B．27.5，28         C．27，28           D．26.5，27

7．如图，在中，，将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点C，A，在同一条直线上，那么旋转角的度数为（    ）

A．         B．        C．          D．

8．如图，是一个几何体的三视图，那么这个几何体的侧面积是（    ）

A．         B．          C．        D．

9．如图，直线经过点，则关于x的不等式的解集是（    ）

A．           B．          C．          D．

10．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若，则的面积是（    ）

A．1          B．         C．2       D．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．因式分解：____________．

12．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围是____________．

13．反比例函数的图象如图所示，点M是该函数图象上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，若，则k的值为____________．

14．如图，AB为直径，C，D是圆上两点，，则____________．

15．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将放大后得到，若，则与的面积比为____________．

16．如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点，，连接MN，OM．①是等边三角形；②MN的最小值是；③当MN最小时，；④当时，．其中正确的结论有____________（填写所有正确结论的序号）

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22，23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分）

17．（6分）计算：．

18．（6分）先化简，再求值：，其中．

19．（6分）在某海域，一艘海监船在P处检测到南偏西方向的B处有一艘不明船只，正沿正西方向航行，海监船立即沿南偏西方向以40海里/小时的速度去截获不明船只，经过1.5小时，刚好在A处截获不明船只，求不明船只的航行速度．（，，结果保留整数）

20．（8分）据报道，“国际剪刀石头布协会”提议将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目．某校学生会想知道学生对这个提议的了解程度，随机抽取部分学生进行了一次问卷调查，并根据收集到的信息进行了统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题．

（1）接受问卷调查的学生共有____________名，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为____________，请补全条形统计图；

（2）若该校共有学生1200人，请根据上述调查结果，估计该校学生中对将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目的提议达到“了解”和“基本了解”程度的总人数；

（3）“剪刀石头布”比赛时双方每次任意出“剪刀”、“石头”、“布”这三种手势中的一种，规则为：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀，若双方出现相同手势，则算打平．若小刚和小明两人只比赛一局，请用树状图或列表法求两人打平的概率．

21．（8分）如图，在中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作交ED的延长线于点F．

（1）求证：；

（2）当时，求AC的长．

22．（9分）某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜2个、乙种书柜1个，共需资金600元；若购买甲种书柜1个，乙种书柜2个，共需资金660元．

（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？

（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择．

23．（9分）如图，AB为的直径，直线CD与相切于点C，于点D，交于点E．

（1）求证：AC平分；

（2）求证：；

（3）若，求的值．

24．（10分）在初中学习中，我们知道：点到直线的距离是直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，最短的线段（即垂线段）的长度．类比，我们给出点到某一个图形的距离的定义：点P与图形l上各点连接的所有线段中，若线段最短，则线段的长度称为点P到图形l的距离，记为d（P，图形l）．特别地，若点P在图形上，则点P到图形的距离为0，即d（P，图形）=0．

（1）①若点P是内一点，的半径是5，，则___________；

②如图1，在平面直角坐标系中，，B在x轴上方．若，则___________，____________；

（2）在正方形OABC中，点，如图2，若点P在直线上，且，求点P的坐标；

（3）已知点，记抛物线（a为常数）的图象为l，若的最小值为，求a的值．

25．（10分）如图1，已知抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，直线经过点B，与y轴负半轴交于点D．

（1）若，且，求a的值；

（2）如图2，若点D为的内心，且的内切圆半径为3，直线BD上是否存在点P（不与点D重合），使得与相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图3，点E是抛物线与直线l的另一个交点，已知，且的面积为9．此时，对于在抛物线上且介于点E与点B之间（含B与E）的动点，总能使不等式及不等式恒成立，求m的取值范围．

2023年上学期初三年级第二次模拟测试

数学参考答案

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．   12．   13．       4．      15．      16．①②④

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分）

17．【解析】原式                               4分

.                              6分

18．【解析】原式

，                                                4分

当时，

原式。                                                   6分

19．【解析】解：作PQ垂直于AB的延长线于点Q，

由题意得：海里，

∴在中，海里，海里，               2分

在中，，

海里，

海里，                                       4分

速度海里/小时，

答：不明船只的航行速度约是14海里/小时．                                      6分

20．【解析】（1）60     ．                               3分

（2）根据题意得：（人），

则估计该校学生中对将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目的提议达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为400人．                                       5分

（3）列表如下：

所有等可能的情况有9种，其中两人打平的情况有3种，

则两人打平的概率为                                         8分

21．【解析】（1）证明：，

，

是BC边上的中线，

，

．                                   4分

（2）解：，

，

，

，

．                                    8分

22．【解析】（1）解：设甲种书柜每个的价格为x元，乙种书柜每个的价格为y元，

依题意，得：                                      2分

解得：

答：甲种书柜每个的价格为180元，乙种书柜每个的价格为240元．            4分

（2）设购买甲种书柜m个，则购买乙种书柜个，

依题意，得：                                              6分

解得：．

为整数，

可以取的值为：8，9，10．

学校的购买方案有以下三种：

方案一：甲种书柜8个，乙种书柜12个；

方案二：甲种书柜9个，乙种书柜11个；

方案三：甲种书柜10个，乙种书柜10个．

23．【解析】（1）证明：连接OC，如图1，

为的切线，．

，

,

。

又，

，

平分．                                             3分

（2）连接EC、CB，如图2，

，且，

，

而，

又，

，

。                                           6分

（3）如图2，设，则，

，

∴在中，，

是的直径，，

．

，

，

，

，

。                                        9分

24．【解析】（1）①3        ②1，1．                          3分

（2），

直线OB的解析式为，

①当点P在直线上方时，

由知，点P在上，

而

，

；

②当P在直线下方时，，

设，

，

或（舍），

（答案一分一个，解答过程一分）

（3）设，

依题：，消m得，

在直线上，                               7分

又抛物线过和，

，

最小值为，

将向上平移个单位长度至，此时与抛物线只有一个交点，    8分

联立得，

，

解得或。                                                         10分

25．【解析】（1）在，令，得：，

解得：，

．                                                     1分

在中，，

，                                         2分

．抛物线与y轴交于点C，

，

，

。                                       3分

（2）由（1）知：，

由勾股定理得：，

点D为的内心，且的内切圆半径为3，

，

，

，                              4分

即，

整理，得，

两边平方，化简得：，

，                                 5分

（利用相似或角平分线比例定理解都给分）

，

当P在x轴上方时，与的三个角都不会相等，此时不存在与相似；

当P在x轴下方时，此时存在，则，解得，

进而解得。                                          6分

（3）由（1）知：，

，

，

直线经过点B，与y轴负半轴交于点D，

解得：

∴直线l解析式为：，

点E是抛物线与直线l的另一个交点，

解得：（舍去）或

，                               7分

，

解得：，                                                  8分

，

又动点在点E与点B之间（含B与E），

，

当时，，

当时，，

又及，

。                                             10分

（范围对一半给一分）