北京市海淀区2022-2023学年高三下学期5月月考模拟数学试题及答案

这是一份北京市海淀区2022-2023学年高三下学期5月月考模拟数学试题及答案，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
北京市海淀区2022-2023学年下学期5月月考高三数学模拟试题

一
二
三
四
总分
得分









(考试时间：120分钟 试卷满分：120分)
一、选择题（本大题共4小题 每小题4分，满分16分）
1. 方程在区间[0，4π）上的解的个数为（　　）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
2. 已知直线l平行于平面α，平面β垂直于平面α，则以下关于直线l与平面β的位置关系的表述，正确的是（　　）
A. l与β不平行
B. l与β不相交
C. l不在平面β上
D. l在β上，与β平行，与β相交都有可能
3. 设三角形ABC是位于平面直角坐标系xOy的第一象限中的一个不等边三角形，该平面上的动点P满足：|PA|2+|PB|2+|PC|2=|OA|2+|OB|2+|OC|2，已知动点P的轨迹是一个圆，则该圆的圆心位于三角形ABC的（　　）
A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心
4. 已知y=f（x）与y=g（x）皆是定义域、值域均为R的函数，若对任意x∈R，f（x）＞g（x）恒成立，且y=f（x）与y=g（x）的反函数y=f-1（x）、y=g-1（x）均存在，命题P：“对任意x∈R，f-1（x）＜g-1（x）恒成立”，命题Q：“函数y=f（x）+g（x）的反函数一定存在”，以下关于这两个命题的真假判断，正确的是（　　）
A. 命题P真，命题Q真 B. 命题P真，命题Q假
C. 命题P假，命题Q真 D. 命假P假，命题Q假
二、填空题（本大题共12小题 每小题5分，满分60分）
5. 函数y=log2（x-2）的定义域是______．
6. 已知一个圆锥的底面圆的半径为1，体积为π，则该圆锥的侧面积为______．
7. 等差数列{an}中，a3+a10=25，则其前12项之和S12的值为______
8. 幂函数y=xk的图象经过点，则它的单调减区间为______
9. 三角形ABC中，A=45°，B=75°，AB边的长为，则BC边的长为______
10. 已知a是实数，方程x2+2x+a=0的两根在复平面上对应的点分别为P和Q，若三角形POQ是等腰直角三角形，则a=______
11. 设实数x、y满足|x|+|y|≤1，则2x+y的最大值为______
12. 已知偶函数y=f（x）的定义域为R，且当x≥0时，f（x）=x-4，则不等式xf（x）≤5的解为______
13. 等比数列{an}的首项为1，公比为3，则极限的值为______
14. 甲乙两人分别投掷两颗骰子与一颗骰子，设甲的两颗骰子的点数分别为a与b，乙的骰子的点数为c，则掷出的点数满足|a﹣b|＝c的概率为          ​（用最简分数表示）
15. 已知a是实数，在（1+ax）8的二项展开式中，第k+1项的系数为（k=0，1，2，3，…，8），若c1＜c2＜c3＜…＜c9，则a的取值范围为______
16. 设P1，P2，P3，…，P8是平面直角坐标系中的一个正八边形，点Pi的坐标为（xi，yi）（i=1，2，…，8），集合A={y|存在i∈{1，2，…，8}，使得y=yi}，则集合A的元素个数可能为______（写出所有可能的值）.
三、解答题（本大题共5小题 每小题4-12分，满分44分）
17.(6分)如图，空间几何体由两部分构成，上部是一个底面半径为1，高为2的圆锥，下部是一个底面半径为1，高为2的圆柱，圆锥和圆柱的轴在同一直线上，圆锥的下底面与圆柱的上底面重合，点P是圆锥的顶点，AB是圆柱下底面的一条直径，AA1、BB1是圆柱的两条母线，C是弧AB的中点．
（1）求异面直线PA1与BC所成的角的大小；
（2）求点B1到平面PAC的距离．



18.(8分)已知α、λ是实常数，f（x）=．
（1）当λ=1，α=时，求函数y=f（x）的最小正周期、单调增区间与最大值；
（2）是否存在λ，使得f（x）是与α有关的常数函数（即f（x）的值与x的取值无关）？若存在，求出所有满足条件的λ，若不存在，说明理由．







19.(8分)已知a是实常数，a＞0，．
（1）当a=2时，判断函数y=f（x）在区间[1，+∞）上的单调性，并说明理由；
（2）写出一个a的值，使得f（x）=0在区间（0，+∞）上有至少两个不同的解，并严格证明你的结论．







20.(10分)设抛物线Γ的方程为y2=2px，其中常数p＞0，F是抛物线Γ的焦点．
（1）若直线x=3被抛物线Γ所截得的弦长为6，求p的值；
（2）设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线Γ上的动点，求的最大值；
（3）设p=2，l1，l2是两条互相垂直，且均经过点F的直线，l1与抛物线Γ交于点A，B，l2与抛物线Γ交于点C，D，若点G满足4=+++，求点G的轨迹方程．







21.(12分)设各项均为整数的无穷数列{an}满足：a1=1，且对所有n∈N*，|an+1-an|=n均成立．
（1）写出a4的所有可能值（不需要写计算过程）；
（2）若{a2n-1}是公差为1的等差数列，求{an}的通项公式；
（3）证明：存在满足条件的数列{an}，使得在该数列中，有无穷多项为2019．







-------- 答案与解析 --------
1.答案：D

解析：解：求方程在区间[0，4π）上的解；
则有：sin（2x+）=，
即：2x+=+2kπ，k∈Z，或2x+=+2kπ，k∈Z，
所以：x=-+kπ，k∈Z，或x=+kπ，k∈Z，当x在区间[0，4π）上时．讨论k∈Z的值即可：
x的个数为：，5，9；13，11，23，35，47；8个
故选：D．
利用三角函数值对应三角函数的图象中的角度即可求解．
本题考查三角函数的图象和性质，三角函数值求在区间的角度，是中档题．
2.答案：D

解析：解：正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD⊥平面CDD1C1，
A1B1∥平面ABCD，A1B1∥平面CDD1C1；
A1D1∥平面ABCD，A1D1与平面CDD1C1相交；
C1D1∥平面ABCD，C1D1⊂平面CDD1C1．
∵直线l平行于平面α，平面β垂直于平面α，
∴l与β相交、平行或l⊂β，
故选：D．
以正方体为载体能推导出直线l平行于平面α，平面β垂直于平面α，从而l与β相交、平行或l⊂β．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
3.答案：C

解析：解：设P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），
由|PA|2+|PB|2+|PC|2=|OA|2+|OB|2+|OC|2，
得=，
展开整理，则3x2+3y2-2（x1+x2+x3）x-2（y1+y2+y3）y=0．
∴=．
∴圆的圆心坐标为（，），位于三角形ABC的重心．
故选：C．
设P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由|PA|2+|PB|2+|PC|2=|OA|2+|OB|2+|OC|2列式并整理可得P的轨迹为圆，求出圆心坐标得答案．
本题考查轨迹方程的求法，考查重心坐标公式的应用，属中档题．
4.答案：C

解析：解：已知y=f（x）与y=g（x）皆是定义域、值域均为R的函数，
若对任意x∈R，f（x）＞g（x）恒成立，且y=f（x）与y=g（x）的反函数y=f-1（x）、y=g-1（x）均存在，
则函数设y=f（x）的图象在y=g（x）图象的上方，由图象均关于y=x直线对称，其反函数y=f-1（x）、y=g-1（x）均存在，
命题p：对任意x∈R，f（x）＞g（x）恒成立，f-1（x）＜g-1（x）不一定恒成立”由图象关于y=x直线对称可知p是错误的．
命题Q：因为对任意x∈R，f（x）＞g（x）恒成立，所以f（x）+g（x）＞2g（x），
因为y=g（x）的反函数y=g-1（x）存在，y=2g（x）的反函数也存在，其图象存在，“函数y=f（x）+g（x）的反函数一定存在”Q正确的．
故选：C．
利用反函数的定义和图象关于直线y=x对称．可举例说明得答案．
本题主要考查了命题真假的判断，考查反函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5.答案：（2，+∞）

解析：解：要使函数有意义，则x-2＞0，
即x＞2，
∴函数的定义域为（2，+∞），
故答案为：（2，+∞）．
根据对数函数成立的条件求函数的定义域．
本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．
6.答案：3π

解析：解：设圆锥的高为h，底面半径为r，
∵圆锥的底面半径为1，体积是π，
∴π×h=πh=π，
即h=2，
∴圆锥的母线长l==3，
∴圆锥的侧面积S=πrl=3×π=3π，
故答案为：3π．
根据圆锥的体积计算出圆锥的高，以及圆锥的母线，进而求出圆锥的侧面积．
本题主要考查圆锥的体积和侧面积的计算，要求熟练掌握圆锥的体积和侧面积公式．
7.答案：150

解析：解：∵等差数列{an}中，a3+a10=25，
∴其前12项之和S12==6（a3+a10）=6×25=150．
故答案为：150．
利用等差数列的通项公式、前n项和公式直接求解．
本题考查等差数列的前12项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.答案：（0，+∞）

解析：解：∵幂函数y=xk的图象经过点，
∴4k=，解得k=-，
∴幂函数y=，∴它的单调减区间为（0，+∞）．
故答案为：（0，+∞）．
由幂函数y=xk的图象经过点，得k=-，从而幂函数y=，由此能求出它的单调减区间．
本题考查函数的减区间的求法，考查幂函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.答案：4

解析：解：∵∠A=45°，∠B=75°，
∴∠C=180°-∠A-∠C=60°，
又∵AB=2，
由正弦定理：，可知：BC===4．
故答案为：4．
利用三角形内角和定理可求C的值，进而根据正弦定理求得BC得值．
本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
10.答案：2

解析：解：根据题意设方程x2+2x+a=0的两复根为x1=-1+bi，x2=-1-bi，b为实数，
∵方程的两根在复平面上对应的点分别为P和Q，三角形POQ是等腰直角三角形，
∴，∴，
∴b2=1，∴a=，
∴a的值为2．
故答案为：2．
设方程x2+2x+a=0的两复根为x1=-1+bi，x2=-1-bi，根据条件可得，然后列方程求解即可．
本题考查了复数的代数表示法及其几何意义和向量的数量积与垂直的关系，属基础题．
11.答案：2

解析：解：先根据约束条件画出可行域，
设z=2x+y，
将z的值转化为直线z=2x+y在y轴上的截距，
当直线z=2x+y经过点（1，0）时，z最大，
最大值为：2．
故答案为：2．
根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的角点时，从而得到z=2x+y的最大值最小值即可．
本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．
12.答案：（-∞，5]

解析：解：∵偶函数y=f（x）的定义域为R，且当x≥0时，f（x）=x-4，
∴当x＜0时，-x＞0，f（-x）=f（x）=-x-4，
∵xf（x）≤5，
当x≥0时，原不等式可化为x（x-4）≤5，
解可得，-1≤x≤5，
故有0≤x≤5；
当x＜0时，原不等式可化为x（-x-4）≤5，
此时可得x＜0，
综上可得，x≤5，
故答案为：（-∞，5]
先由x≥0时，f（x）=x-4，求出x＜0时的f（x），然后根据二次不等式的求解方法可求．
本题主要考查了偶函数对称区间上解析式的求解，解题的关键是利用偶函数关于y轴对称，还考查了二次不等式的求解，体现了分类讨论思想的应用．
13.答案：

解析：解：∵等比数列{an}的首项为1，公比为3，
∴，∴=，
∴a1a2+a2a3+…+anan+1=，
a1+a2+a3+…+a2n-1=，
∴==．
故答案为：．
根据条件可得a1a2+a2a3+…+anan+1=，a1+a2+a3+…+a2n-1=，然后其化简求极限．
本题考查了等比数列的前n项和数列的极限的求法，属基础题．
14.答案：

解析：解：甲乙两人分别投掷两颗骰子与一颗骰子，
设甲的两颗骰子的点数分别为a与b，乙的骰子的点数为c，
基本事件总数n=6×6×6=216，
掷出的点数满足|a-b|=c包含的基本事件（a，b，c）有：
（1，2，1），（2，1，1），（2，3，1），（3，2，1），（3，4，1），（4，3，1），
（4，5，1），（5，4，1），（5，6，1），（6，5，1），（1，3，2），（3，1，2），
（2，4，2），（4，2，2），（3，5，2），（5，3，2），（6，4，2），（4，6，2），
（1，4，3），（4，1，3），（2，5，3），（5，2，3），（3，6，3），（6，3，3），
（1，5，4），（5，1，4），（2，6，4），（6，2，4），（1，6，5），（6，1，5），
共30个，
∴掷出的点数满足|a-b|=c的概率为p==．
故答案为：．
设甲的两颗骰子的点数分别为a与b，乙的骰子的点数为c，基本事件总数n=6×6×6=216，利用列举法求出掷出的点数满足|a-b|=c包含的基本事件（a，b，c）有30个，由此能求出掷出的点数满足|a-b|=c的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.答案：a＞8

解析：解：由已知有Ck+1＞Ck，
所以＞，
所以a＞=，（k=0.1.2…8）
又（）max==8，
故a的取值范围为a＞8，
故答案为：a＞8．
由二项式定理及不等式恒成立问题得：由已知有Ck+1＞Ck，所以＞，所以a＞=，（k=0.1.2…8）又（）max==8，即a＞8，得解．
本题考查了二项式定理及不等式恒成立问题，属中档题．
16.答案：4或5或8

解析：解：如图所示，
①如果P1P2∥x轴时，可得集合A={y1，y3，y4，y5}，此时A的元素个数为4．
②如果P8P2∥x轴时，可得集合A={y1，y2，y3，y4，y5}，此时A的元素个数为5．
③如果P8P2与x轴不平行时，可得集合A={y1，y2，y3，y4，y5，y6，y7，y8}，此时A的元素个数为8．
综上可得：集合A的元素个数可能为4或5或8．
故答案为：4或5或8．
分类讨论可得：①如果P1P2∥x轴时，②如果P8P2∥x轴时，③如果P8P2与x轴不平行时，可得集合A的元素个数．
本题考查了集合元素、正八边形、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17.答案：解：（1）由题意以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
则P（0，0，4），A1（0，-1，2），B（0，1，0），C（1，0，0），
=（0，-1，-2），=（1，-1，0），
cos＜，＞===．
∴异面直线PA1与BC所成的角的大小为．
（2）B1（0，1，2），A（0，-1，0），
=（0，1，-2），=（0，-1，-4），=（1，0，-4），
设平面PAC的法向量=（x，y，z），
则，取z=1，得=（4，-4，1），
∴点B1到平面PAC的距离为：
d===．

解析：（1）以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PA1与BC所成的角的大小．
（2）求出平面PAC的法向量，利用向量法能求出点B1到平面PAC的距离．
本题考查异面直线所成角的大小、点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
18.答案：解：f（x）=||
=λcos2x-（sin2xcos2α-cos2xsin2α）
=（λ+sin2α）cos2x-cos2
=，
（1）当λ=1，α=时，f（x）=cos2x+，
∴f（x）的周期T=，当从cos2x=1时，最大值为，
由-π+2kπ≤2x≤2kπ（k∈Z），得
-+kπ≤x≤kπ（k∈Z），
∴f（x）的单调增区间为[-]（k∈Z），
（2）∵f（x）=，
显然当=0，即λ=-1时，f（x）的值与x的取值无关，
∴存在λ=-1，使得f（x）是与α有关的常数函数．

解析：（1）将λ=1，α=代入化简后的f（x）中，求出周期、单调区间和最大值即可；
（2）根据f（x）的解析式知，只需，即可．
本题考查了行列式的计算和三角函数的化简求值以及三角函数的图象与性质，属基础题．
19.答案：解：（1）当a=2时，f（x）=2x-1+，
∴f′（x）=2-=，
∵x≥1，
∴f′（x）≥0，
∴y=f（x）在区间[1，+∞）上的单调递增；
（2）当a=时，f（x）=0在区间（0，+∞）上有至少两个不同的解，
理由如下：
∵f（x）=x-1+，
∴f′（x）=-=，
令f′（x）=0，解得x=2，
∴当0＜x＜2时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x＞2时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
∴f（x）min=f（2）=-1+=-＜0，
当x→0时，f（x）→+∞，当x→+∞时，f（x）→+∞，
∴f（x）=0在区间（0，+∞）上有至少两个不同的解．

解析：（1）先求导，再根据导数和函数单调性的关系即可证明，
（2）当a=时，f（x）=0在区间（0，+∞）上有至少两个不同的解，利用导数求出函数的最值，只要最小值小于零即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.答案：解：（1）由x=3可得y=±，可得2=6，解得p=；
（2）A是点F（，0）关于顶点O的对称点，可得A（-，0），
设过A的直线为y=k（x+），k=tanα，
联立抛物线方程可得k2x2+（k2p-2p）x+=0，
由直线和抛物线相切可得△=（k2p-2p）2-k4p2=0，解得k=±1，
可取k=1，可得切线的倾斜角为45°，
由抛物线的定义可得==，而α的最小值为45°，
的最大值为；
（3）由y2=4x，可得F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），G（x，y），
设l1：y=k（x-1），联立抛物线y2=4x，可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，
即有x1+x2=2+，y1+y2=k（x1+x2）-2k=，
由两直线垂直的条件，可将k换为-，可得
x3+x4=2+4k2，y3+y4=-4k，
点G满足4=+++，
可得4（x，y）=（x1+x2+x3+x4-4，y1+y2+y3+y4），
即为4x=x1+x2+x3+x4-4=4k2+，
4y=y1+y2+y3+y4=-4k+，
可得y2=（k-）2=k2+-2=x-2，
则G的轨迹方程为y2=x-2．

解析：（1）可令x=3，代入抛物线方程，求得y，可得弦长，解方程可得p；
（2）求得A的坐标，设出过A的直线为y=k（x+），k=tanα，联立抛物线方程，运用判别式为0，求得倾斜角，可得所求最大值；
（3）求得F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），G（x，y），设l1：y=k（x-1），联立抛物线方程，运用韦达定理，以及两直线垂直的条件：斜率之积为-1，结合向量的坐标表示，以及消元上下，可得所求轨迹方程．
本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线方程，运用判别式和韦达定理，考查向量的坐标表示，以及化简运算能力，属于中档题．
21.答案：解：（1）-5，-3，-1，1，3，5，7；
（2）证明：∵{a2n-1}是公差为1的的等差数列，
∴数列{an}的所有奇数项为公差为1的等差数列，
∴当n=2k-1时，
当n=2k时，由|an+1-an|=n可知：，即
解得：
∴；
（3）由（2）可知存在一个数列{an}使得奇数项为从1开始的连续自然数，则易知a4037=2019，
然后自4037项开始，构造奇数项为公差为-1的等差数列，由（2）可知，
当n=2k+1，k⩾2018时，
当n=2k时，由|an+1-an|=n可知
即，解得：
则当奇数项回归至1时，重复第一段的数列，得到一个周期数列，再次周期数列中，存在无穷多项为2019
结论得证．

解析：（1）列举法（穷举）得到可能值
（2）显然能够发现{a2n-1}表示的是原数列中的奇数项，故可以快速得到奇数项的通项公式，再利用相邻两项差的绝对值的关系构造式子解出偶数项即可
（3）充分利用（2）中的数列，构造一个循环数列，则循环数列中存在无穷多项为2019
本题的前两问相对简单，是可以抓住分数的，第三问要求学生能够想到并利用第二问的演示数列，找到一个构造循环数列的方法，进而得到循环数列中存在无穷多项为2019