江苏省南京市师范大学附属中学秦淮科技高中2022-2023学年高一下五月月考数学试卷及详细解答

这是一份江苏省南京市师范大学附属中学秦淮科技高中2022-2023学年高一下五月月考数学试卷及详细解答，共21页。试卷主要包含了设复数z＝，则的虚部是，已知向量，且，则tan，下列说法正确的是，已知向量，，则下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年南京师范大学附属中学秦淮科技高中高一下
五月月考试卷
一．选择题（共8小题，每题5分，共40分）
1．设复数z＝，则的虚部是（　　）
A．i B．﹣i C．1 D．﹣1
2．在△ABC中，内角A、B满足sin2A＝sin2B，则△ABC的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若c＝4，a＝4，A＝45°，则sinC等于（　　）
A． B． C． D．
4．已知向量，且，则tan（π+α）＝（　　）
A． B． C． D．
5．下列说法正确的是（　　）
A．若与共线，则＝或者＝﹣
B．若•＝•，则＝
C．若△ABC中，点P满足2＝+，则点P为BC中点
D．若，为单位向量，则＝
6．已知直线a、b是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（　　）
A．若a⊥α，a⊥β，则α∥β
B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b
C．若a⊥b，b⊥α，a∥β，则α∥β
D．若α∥β，a与α所成角和b与β所成角相等，则a∥b
7．设a＝sin250°，b＝﹣cos50°，c＝，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b
8．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，点D是A1B1的中点，F是侧面AA1B1B（含边界）上的动点．要使AB1⊥平面C1DF，则线段C1F的长的最大值为（　　）

A． B． C． D．
二．多选题（共4小题，每题5分，共20分）
9．设z1，z2，z3为复数，z1≠0，下列命题正确的是（　　）
A．若，则z1＝z2
B．|z1z2|＝|z1||z2|
C．若，则|z1z2|＝|z1z3|
D．
10．已知向量，，则下列命题正确的是（　　）
A．的最大值为
B．若，则
C．若是与共线的单位向量，则
D．当取得最大值时，
11．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（　　）
A．斜三角形ABC中，tanAtanBtanC＝tanA+tanB+tanC
B．若A＝30°，b＝4，a＝3，则△ABC有两解
C．若acosB﹣bcosA＝c，则△ABC一定为直角三角形
D．若a＝4，b＝5，c＝6，则△ABC外接圆半径为
12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则（　　）

A．直线BD1⊥平面A1C1D
B．三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值
C．异面直线AP与A1D所成角的取值范围是
D．直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为
三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13．已知复数z满足（1+i）z＝2﹣i（i为虚数单位），则|z+i|＝　 　．
14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线DB1与平面ABCD所成角的正弦值为　 　．
15．等边△ABC中，已知AB＝1，点M在线段BC上，且满足BM＝2CM，N为线段AB的中点，CN与AM相交于点P，则cos∠MPN＝　 　．
16．已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosC＝ccosB，则＝　 　，的最小值为 　 　．
四．解答题（共6小题，共70分）
17．（10分）（1）若复数z＝（m2+2m﹣3）+（m2+5m+6）i是纯虚数，求实数m的值；
（2）若复数z满足z+（z+）i＝（1+i）（3﹣i），求复数z．
18．（12分）如图所示，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点．
（1）求证：MN∥平面PAD．
（2）求证：MN⊥CD．

19．（12分）在①b+bcosC＝csinB，②S△ABC＝，③（3b﹣a）cosC＝ccosA，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决问题．
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足_____．
（1）求cosC的值；
（2）若点E在AB上，且＝2，CE＝，BC＝3，求sinB．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点．
（1）若PA＝PD，求证：AD⊥平面PQB；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝3MC，求三棱锥P﹣QBM的体积．

21．（12分）某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角△ABC和以BC为直径的半圆拼接而成，点P为半圈上一点（异于B，C），点H在线段AB上，且满足CH⊥AB．已知∠ACB＝90°，AB＝1dm，设∠ABC＝θ．
（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足∠ABC＝∠PCB，且CA+CP达到最大．当θ为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；
（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足∠PBA＝60°，且CH+CP达到最大．当θ为何值时，CH+CP取得最大值，并求该最大值．

22．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求的值；
（2）若，求cosA．

2022-2023学年南京师范大学附属中学秦淮科技高中高一下五月月考试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．设复数z＝，则的虚部是（　　）
A．i B．﹣i C．1 D．﹣1
【解答】解：z＝＝＝i，
故＝﹣i，其的虚部是﹣1，
故选：D．
2．在△ABC中，内角A、B满足sin2A＝sin2B，则△ABC的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【解答】解：法1：∵sin2A＝sin2B，
∴sin2A﹣sin2B＝cos（A+B）sin（A﹣B）＝0，
∴cos（A+B）＝0或sin（A﹣B）＝0，
∴A+B＝90°或A＝B，
则△ABC一定是直角三角形或等腰三角形．
法2：∵sin2A＝sin2B，且A和B为三角形的内角，
∴2A＝2B或2A+2B＝180°，即A＝B或A+B＝90°，
则△ABC一定是等腰或直角三角形．
故选：D．
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若c＝4，a＝4，A＝45°，则sinC等于（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵c＝4，a＝4，A＝45°，
∴由正弦定理，可得：sinC＝＝＝．
故选：A．
4．已知向量，且，则tan（π+α）＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵，
∴3cosα﹣4sinα＝0，
可得tanα＝，
则tan（π+α）＝tanα＝，
故选：D．
5．下列说法正确的是（　　）
A．若与共线，则＝或者＝﹣
B．若•＝•，则＝
C．若△ABC中，点P满足2＝+，则点P为BC中点
D．若，为单位向量，则＝
【解答】解：对于A，根据共线向量的定义显然不成立，
对于B，令＝，显然不成立，
对于C，根据向量的运算性质，成立，
对于D，根据单位向量的定义，显然不成立，
故选：C．
6．已知直线a、b是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（　　）
A．若a⊥α，a⊥β，则α∥β
B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b
C．若a⊥b，b⊥α，a∥β，则α∥β
D．若α∥β，a与α所成角和b与β所成角相等，则a∥b
【解答】解：若a⊥α，a⊥β，由直线与平面垂直的性质可得α∥β，故A正确；
若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b或a与b相交或a与b异面，故B错误；
若a⊥b，b⊥α，则a∥α或a⊂α，又a∥β，则α∥β或α与β相交，故C错误；
若α∥β，a与α所成的角和b与β所成的角相等，可得a与α所成的角和b与α所成的角相等，
则a与b的位置关系可能平行、可能相交、也可能异面，故D错误．
故选：A．
7．设a＝sin250°，b＝﹣cos50°，c＝，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b
【解答】解：对于＝，
所以b﹣a＝＝，
故：b＞a，
由于，
a﹣c＝sin50°（sin50°﹣cos50°）＞0，故a＞c，
故：b＞a＞c．
故选：B．
8．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，点D是A1B1的中点，F是侧面AA1B1B（含边界）上的动点．要使AB1⊥平面C1DF，则线段C1F的长的最大值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：取BB1上靠近B1的四等分点为E，连接DE，当点F在DE上时，AB1⊥平面C1DF．
证明如下：
∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，
点D是A1B1的中点，∴C1D⊥平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1，
以C1为坐标原点，C1A1，C1B1，C1C分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

∴A（1，0，2），B1（0，1，0），D（，0），E（0，1，），
∴＝（﹣1，1，﹣2），＝（﹣），
此时•＝0，∴AB1⊥DE，∴AB1⊥平面C1DF，
由题意得当E，F为重合时，线段C1F最大，此时C1F＝．
故选：A．
二．多选题（共4小题）
9．设z1，z2，z3为复数，z1≠0，下列命题正确的是（　　）
A．若，则z1＝z2
B．|z1z2|＝|z1||z2|
C．若，则|z1z2|＝|z1z3|
D．
【解答】解：对于A：•z1＝|z1|2，知z1z2＝•z1，∴z1（z2﹣）＝0，又z1≠0，∴z2＝，故A不正确；
对于B：由复数模的定义可知|z1z2|＝|z1||z2|，故B正确；
对于C：∵，z1≠0，∴z1••z1，∴|z1|＝|z1z3|，
∵|z1|＝||z1|||＝|z1|z2|＝|z1z2|，∴|z1z2|＝|z1z3|，故C正确；
对于D：设z1＝a+bi，z2＝c+di，a，b，c，d∈R，∴z1z2＝ac﹣bd+（ad+cb）i，∴＝ac﹣bd﹣（ad+cb）i，
＝a﹣bi，＝c﹣di，＝（a﹣bi）（c﹣di）＝ac﹣bd﹣（ad+bc）i，故＝．故D正确．
故选：BCD．
10．已知向量，，则下列命题正确的是（　　）
A．的最大值为
B．若，则
C．若是与共线的单位向量，则
D．当取得最大值时，
【解答】解：对A选项，||＝|（cosα﹣2，sinα﹣1）|
＝＝
＝，其中tanβ＝2，α∈R，
∴当sin（α+β）＝﹣1时，||取得最大值，
∴A选项正确；
对B选项，若，等式两边平方整理得，
∴2cosα+sinα＝0，∴tanα＝﹣2，∴B选项错误；
对C选项，与共线的单位向量＝±
＝＝或，∴C选项错误；
对D选项，∵f（α）＝＝2cosα+sinα＝，其中tanθ＝2，α∈R，
∴当，（k∈Z）时，sin（α+θ）＝1，f（α）取得最大值，
此时，k∈Z，其中tanθ＝2，
∴tanα＝＝，∴D选项正确．
故选：AD．
11．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（　　）
A．斜三角形ABC中，tanAtanBtanC＝tanA+tanB+tanC
B．若A＝30°，b＝4，a＝3，则△ABC有两解
C．若acosB﹣bcosA＝c，则△ABC一定为直角三角形
D．若a＝4，b＝5，c＝6，则△ABC外接圆半径为
【解答】解：对于A，在斜△ABC中，tanA+tanB+tanC＝tanA+tanB﹣tan（A+B）
＝
＝
＝，选项A正确；
对于B，由于A为锐角，且，则△ABC有两解，选项B正确；
对于C，由于acosB﹣bcosA＝c，则sinAcosB﹣sinBcosA＝sinC，即sin（A﹣B）＝sin（A+B），
∴2cosAsinB＝0，
又A，B为△ABC内角，则cosA＝0，即，选项C正确；
对于D，由余弦定理可得，，
在△ABC中，有，
∴△ABC外接圆半径为，选项D错误．
故选：ABC．
12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则（　　）

A．直线BD1⊥平面A1C1D
B．三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值
C．异面直线AP与A1D所成角的取值范围是
D．直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为
【解答】解：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设AB＝1，如图，

B（1，1，0），D1（0，0，1），A1（1，0，1），C1（0，1，1），
D（0，0，0），B1（1，1，1），C（0，1，0），A（0，1，1），
设P（x，y，z），设＝＝（x﹣1，y﹣1，z﹣1）＝λ（﹣1，0，﹣1），λ∈[0，1]，
解得，∴P（1﹣λ，1，1﹣λ），
对于A，＝（﹣1，﹣1，1），＝（1，0，1），＝（0，1，1），
∵•＝﹣1×1+1×1＝0，＝﹣1×1+1×1＝0，
∴，，∴BD1⊥DA1，BD1⊥DC1，
∵DA1∩DC1＝D，∴直线BD1⊥平面A1C1D，故A正确；
对于B，侧面BCC1B1的对角线交于点O，∴CB1⊥OC1，＝，
∵A1B1⊥平面BCC1B1，OC1⊂平面BCC1B1，∴A1B1⊥OC1，
∵A1B1∩CB1＝B1，∴OC1⊥平面A1B1CD，
＝＝＝为定值，故B正确；
对于C，＝（﹣λ，1，1﹣λ），＝（1，0，1），
设异面直线AP与A1D所成角为θ（），
则cosθ＝＝＝，
当时，cosθ＝0，解得，
当时，cosθ＝＝，
∵λ∈[0，）∪（]，∴（2λ﹣1）2∈（0，1]，
∴≥1，∴，∴1+≥4，
∴≥2，∴0＜，
∴0，∴θ∈[），
综上，θ∈[]，故C错误；
对于D，设平面A1C1D的法向量为＝（x0，y0，z0），＝（1﹣λ，0，2﹣λ），
∴，∴，解得＝（﹣1，﹣1，1），
线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值为：
＝＝＝，
∵λ∈[0，1]，∴λ＝1时，有最小值为，
∴直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为＝，故D错误．
故选：AB．
三．填空题（共4小题）
13．已知复数z满足（1+i）z＝2﹣i（i为虚数单位），则|z+i|＝　　．
【解答】解：由（1+i）z＝2﹣i得，z＝＝＝，
故|z+i|＝＝＝，
故答案为：．
14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线DB1与平面ABCD所成角的正弦值为　　．
【解答】解：连接BD，则
∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1⊥面ABCD，
∴∠D1BD是直线DB1与平面ABCD所成角
设棱长为1，则DB1＝，
∴直线DB1与平面ABCD所成角的正弦值为．
故答案为：．

15．等边△ABC中，已知AB＝1，点M在线段BC上，且满足BM＝2CM，N为线段AB的中点，CN与AM相交于点P，则cos∠MPN＝　﹣　．
【解答】解：以BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴，建立如图所示的坐标系，

∵AB＝1，∴B（﹣，0），C（，0），A（0，），
∵点M在线段BC上，且满足BM＝2CM，N为线段AB的中点，
∴M（，0），N（﹣，），
∴＝（，﹣），＝（﹣，），
∴cos∠MPN＝＝＝﹣，
故答案为：﹣．

16．已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosC＝ccosB，则＝　2　，的最小值为 　　．
【解答】解：因为2bcosC＝ccosB，
所以2sinBcosC＝sinCcosB，
即2tanB＝tanC，∴＝2，
又因为A+B+C＝π，
所以tanA＝tan[π﹣（B+C）]＝﹣tan（B+C）＝﹣＝，
所以
＝++
＝+
＝
＝tanB+
≥2＝（当且仅当tanB＝，即tanB＝，取“＝”）．
故答案为：2；．
四．解答题（共6小题）
17．（1）若复数z＝（m2+2m﹣3）+（m2+5m+6）i是纯虚数，求实数m的值；
（2）若复数z满足z+（z+）i＝（1+i）（3﹣i），求复数z．
【解答】解：（1）∵z＝（m2+2m﹣3）+（m2+5m+6）i是纯虚数，
∴，解得m＝1．
（2）设z＝a+bi，a，b∈R，
∵z+（z+）i＝（1+i）（3﹣i），
∴a2+b2+2ai＝4+2i，
∴，解得a＝1，b＝或a＝1，b＝﹣，
故z＝或z＝1﹣．
18．如图所示，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点．
（1）求证：MN∥平面PAD．
（2）求证：MN⊥CD．

【解答】证明：（1）取PD的中点E，连接AE，EN．
∵E，N分别是C，D中点，∴ENCD，
又∵CD∥AB，M是AB中点，
∴AMCD，∴AMEN，
∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE．
∵MN⊄平面PAD，AE⊂平面PAD，
∴MN∥平面PAD．…（6分）
（2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE，
又∵MN∥AE，∴CD⊥MN．…（12分）

19．在①b+bcosC＝csinB，②S△ABC＝，③（3b﹣a）cosC＝ccosA，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决问题．
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足_____．
（1）求cosC的值；
（2）若点E在AB上，且＝2，CE＝，BC＝3，求sinB．
【解答】解：（1）若选①：
因为b+bcosC＝csinB，由正弦定理可得sinB+sinBcosC＝sinCsinB，
因为sinB≠0，所以1+cosC＝sinC，
联立，解得cosC＝，sinC＝，
故cosC＝．
若选②：
因为S△ABC＝，所以absinC＝bacosC，
即sinC＝2cosC＞0，联立sin²C+cos²C＝1，
可得cosC＝．
若选③：
因为（3b﹣a）cosC＝ccosA，由正弦定理可得（3sinB﹣sinA）cosC＝sinCcosA，
所以3sinBcosC＝sinAcosC+sinCcosA＝sin（A+C）＝sinB，
因为sinB≠0，所以cosC＝．
（2）由余弦定理可得cos∠AEC＝＝
cos∠BEC＝＝，
因为cos∠AEC+cos∠BEC＝0，
所以+＝0，即2c²+9EC²﹣3b²﹣6a²＝0，
则2c²﹣3b²＝6a²﹣9EC²＝6×9﹣9×＝13，①
同时cosC＝＝，即b²﹣c²＝2b﹣9，②
联立①②可得b²+4b﹣5＝0，解得b＝1，
则c＝2，
故cosB＝＝，则sinB＝．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点．
（1）若PA＝PD，求证：AD⊥平面PQB；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝3MC，求三棱锥P﹣QBM的体积．

【解答】证明：（1）∵PA＝PD，
∴PQ⊥AD，
又∵底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，
∴BQ⊥AD，PQ∩BQ＝Q，
∴AD⊥平面PQB
解：（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PQ⊥AD，
∴PQ⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
∴PQ⊥BC，
又BC⊥BQ，QB∩QP＝Q，
∴BC⊥平面PQB，
又PM＝3MC，
∴VP﹣QBM＝VM﹣PQB＝．
21．某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角△ABC和以BC为直径的半圆拼接而成，点P为半圈上一点（异于B，C），点H在线段AB上，且满足CH⊥AB．已知∠ACB＝90°，AB＝1dm，设∠ABC＝θ．
（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足∠ABC＝∠PCB，且CA+CP达到最大．当θ为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；
（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足∠PBA＝60°，且CH+CP达到最大．当θ为何值时，CH+CP取得最大值，并求该最大值．

【解答】解：由∠ABC＝∠PCB＝θ，在直角△ABC中，AC＝sinθ，BC＝cosθ；
在直角△PBC中，PC＝BC•cosθ＝cosθ•cosθ＝cos2θ，PB＝BC•sinθ＝sinθ•cosθ＝sinθcosθ；
（1）AC+CP＝sinθ+cos2θ＝sinθ+1﹣sin2θ＝﹣sin2θ+sinθ+1＝﹣+，
所以当sinθ＝，即θ＝30°时，AC+CP的最大值为；
即θ＝30°时，工艺礼品达到最佳观赏效果；
（2）在直角△ABC中，由，
可得；
在直角△PBC中，PC＝BC•sin（60°﹣θ）＝cosθ•（sin60°cosθ﹣cos60°sinθ），
所以CH+CP＝sinθcosθ+cosθ•（cosθ﹣sinθ），θ∈（0，60°），
所以CH+CP＝sin2θ+cos2θ﹣sinθcosθ＝sin2θ+cos2θ+＝sin（2θ+60°）+，
所以当θ＝15°时，CH+CP取得最大值，且最大值为+＝．
22．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求的值；
（2）若，求cosA．
【解答】解：（1）△ABC中，因为，
结合余弦定理，得＝4×，化简可得a2+b2＝2c2，
所以．
（2）由＝，
可得，即，
即a2+c2＝3b2，又a2+b2＝2c2，
所以，，
所以．