福建省龙岩市连城县第一中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题及答案

连城一中2022—2023学年下期高一年级月考2数学试卷

满分150分 考试时间120分钟 命题人 罗道幸 审题人 黄健辉

 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知复数，则的共轭复数（    ）

A． B． C． D．

2．已知向量，若，则（    ）

A．(－2，－1) B．(3，－1) C．(2，1) D．(－3，1)

3．在边长为6的正方形ABCD中，点E为DC的中点，点F在边BC上且，则（    ）A．18   B．24   C．30                  D．42

4．已知向量满足，且，则在上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

5．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法正确的是（　）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

6.在中，角所对的边分别为，若，

则的外接圆的面积为（  ）   A．      B． C． D．

7．一度跌入低谷的中国电影市场终于在兔年春节迎来了大爆发.2023年春节档（除夕至大年初六），在《满江红》《流浪地球2》《熊出没·伴我“熊芯”》《无名》《深海》《交换人生》等电影的带动下，全国票房累计67.59亿，超越2022年同期票房成绩，仅次于2021年成为史上第二强春节档.以下是历年的观影数据，下列选项正确的是（    ）

A．2022年春节档平均每场观影人数比2023年春节档平均每场观影人数多

B．这4年中，每年春节档上映新片数量的众数为10

C．这4年中，每年春节档票房的极差为29.38亿元

D．这4年春节档中，平均每部影片的观影人数最多的是2023年

8．最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪” .其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水.已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，当盆中积水深九寸（注：1尺=10寸）时，平地的降雨量是（    ）

A．9寸 B．6寸 C．4寸 D．3寸

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)

9．在复数范围内关于的实系数一元二次方程的两根为，其中，则（    ）

A． B． C． D．

10．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点.现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，下列说法正确的是（    ）

A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFH C．HF⊥平面AEH D．HG⊥平面AEF

11．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的有（    ）

A．

B．若，且的面积为，则的最小边长为2

C．若时，是唯一的，则

D．若时，周长的范围为

12．如图，设分别是正方体的棱上两点，且，下列说法正确的是（    ）

A．异面直线与所成的角为

B．三棱锥的体积为3

C．平面与平面所成的二面角大小为

D．直线与平面所成的角为

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷对应横线上)

13.的内角，，所对的边分别为，且，，，则的值为__________.

14．如图，一个三角形在斜二测画法下的直观图是一个边长为2的正三角形．则该三角形原来的面积______________.

15.某校共有学生2000名，其中男生1200名，女生800名，现按比例分配样本进行分层抽样，从中抽取50名学生，则应抽取的女生人数是__________.

16．三棱锥中，顶点P在底面ABC的投影恰好是的内心，三个侧面的面积分别为12，16，20，且底面的面积为24，则该三棱锥的体积是________；它的外接球的表面积是________.

四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 在复平面内，复数，其中．

（1）若复数为纯虚数，求的值；

（2）若复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围．

18．设A，B，C，D为平面内的四点，且.

(1)若，求D点的坐标；

(2)设向量，若向量与平行，求实数k的值.

19. 根据移动通信协会监测，某校全体教师通讯费用（单位：元）如图所示，数据分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．

（1）若该校有200名教师，采用分层抽样的方法从这200名教师中抽取容量为20的样本，求每组应抽取的样本量；

（2）估计该校教师话费的80%分位数；

（3）估计该校教师通讯费用的众数和平均数．

20．如图，在三棱柱中，，点，分别是，的中点，平面平面．

（1）求证：；

（2）求证：//平面．

21．如图，某避暑山庄为吸引游客，准备在门前两条小路OA和OB之间修建一处弓形花园，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为M，，设.

(1)将、用含有的关系式表示出来；

(2)该山庄准备在M点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计OA、OB的长度，使得喷泉M与山庄O的距离最大？

22．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角为，，，，，，．

(1)求证：平面ADE；

(2)求直线AC与平面CDEF所成角的正弦值；

(3)求点F到平面ABCD的距离．

参考答案：

1．A    2. B    3．C    4．D    5．B  6．C   7．D    8．D

9．BD  10．BC  11．ABD   12．ABD

13.     14．    15.20    16．  , 

17.【答案】（1）；    （2）.

【解析】【小问1详解】

∵复数为纯虚数，

∴，可得.

【小问2详解】

∵对应的点在第二象限，

∴，解得，

即实数的取值范围为．

18．(1)；(2).

【详解】（1）设，因为，于是，整理得，

即有，解得，所以.

（2）因为，

所以，，

因为向量与平行，因此，解得，

所以实数k的值为.

19【答案】（1）答案见解析    （2）    （3）众数为70，平均数为

【解析】【小问1详解】

采用分层抽样的方法从这200名该校教师中抽取容量为20的样本，

即费用（单位：元）在[20，40）中抽取2位教师

在[40，60）中抽取4位教师.在[60，80）中抽取8位教师,在[80，100]中抽取6位教师.

【小问2详解】

该校教师话费在80元以下的频率为：，

该校教师话费在[80，100]的频率为0.3，

因此，该校教师话费的80%分位数在[80，100]内，

由．

可以估计该校教师话费的80%分位数为.

【小问3详解】

该校教师通讯费用的众数为70；

平均数为：

20．【分析】（1）根据平面平面，可得平面，可得结果.

（2）取的中点，根据 //，且，可得平行四边形是平行四边形，然后根据//，以及线面平行的判定定理，可得结果.

【详解】（1）因为，平面平面，

平面平面，

平面，则平面．

又因为平面，

所以．

（2）取的中点，连接，．

在中，因为，分别是，的中点，

所以//，且．

在平行四边形中，因为是的中点，

所以//，且，

所以//，且

在平行四边形是平行四边形，

所以//．

又因为平面，平面，

所以//平面．

21．(1)，.

(2)当时，的最大值.

【详解】（1）解：在中，由正弦定理得，

因为，， 所以，

所以，.

（2）解：因为，，所以，

在中，由余弦定理易知，

即

，

因为，所以，，

当，即时，取最大值，即取最大值，

此时， ，

故当时，取最大值.

22．(1)证明见解析(2)(3)

【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴，

平面BCF，平面BCF，所以平面BCF，

∵，平面BCF，平面BCF，所以平面BCF，

，∴平面平面ADE，∵平面BCF，∴平面ADE；

（2）∵，，∴即为二面角的平面角，

∴，

又，平面ADE，

所以平面ADE，作于O，因为平面ADE，

所以，又，平面CDEF，

所以平面CDEF，连结CO，

所以直线AC与平面CDEF所成角为，

，，所以．

直线AC与平面CDEF所成角的正弦值为；

（3）由（2）得平面CDEF，又，所以距离，又由已知可得，，，所以．