【全套专题】初中数学同步 8年级上册 第15课 全等三角形单元检测（一）（教师版含解析）
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第15课 全等三角形单元检测(一)一、单选题1．如图：若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，则EC的长为( )A．2 B．3 C．5 D．2.5 【答案】B【解析】试题分析：全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等．∵△ABE≌△ACF∴AC=AB=5∴EC=AC-AE=5-2=3，故选B.考点：本题考查的是全等三角形的性质点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握全等三角形的性质，即可完成．2．请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关知识，说明画出∠A′O′B′=∠AOB的依据是( )A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【答案】D【分析】由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，得到三角形全等，由全等得到角相等，是用的全等的性质，全等三角形的对应角相等．【详解】解：由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，则△COD≌△C'O'D'，即∠A'O'B'=∠AOB(全等三角形的对应角相等)．故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．3．如图,在△ABC和△DEF中,∠B＝∠DEF,AB＝DE,添加下列一个条件后,仍然不能证明△ABC≌△DEF,这个条件是：A．∠ACB＝∠F B．∠A＝∠D C．BE=CF D．AC=DF【答案】D【解析】试题解析：∵∠B=∠DEF，AB=DE，∴添加∠A=∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF；∴添加BC=EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；∴添加∠ACB=∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF；故选D．4．下列结论是正确的是( )A．全等三角形的对应角相等 B．对应角相等的两个三角形全等C．有两条边和一角对应相等的两个三角形全等 D．相等的两个角是对顶角【答案】A【分析】根据全等三角形的判定和性质以及对顶角的性质判定即可.【详解】、全等三角形的性质是全等三角形的对应角相等，正确；、对应角相等的两个三角形相似，不一定全等，故错误；、当两个三角形中两条边及一角对应相等时，其中如果这组角是两边的夹角时两三角形全等，如果不是这两边的夹角的时候不一定全等，故错误；、相等的角不一定是对顶角，故错误.故选：.【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定以及对顶角的性质.注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等.5．如图，点C、D分别在∠AOB的边OA、OB上，若在线段CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是A．线段CD的中点 B．OA与OB的中垂线的交点 C．OA与CD的中垂线的交点 D．CD与∠AOB的平分线的交点【答案】D【解析】解：根据“到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”得P点是CD与∠AOB的平分线的交点，故选D。6．在△ABC和△DEF中，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，AC=DF；④∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F.其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有( )A．1组B．2组C．3组D．4组【答案】B【解析】试题分析：要使△ABC≌△DEF的条件必须满足SSS、SAS、ASA、AAS，可据此进行判断.解：第①组满足SSS，能证明△ABC≌△DEF.第②组满足SAS，能证明△ABC≌△DEF.第③组满足ASS，不能证明△ABC≌△DEF.第④组只是AAA，不能证明△ABC≌△DEF.所以有2组能证明△ABC≌△DEF.故选B.考点：全等三角形的判定.7．如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是 ( )A．相等 B．不相等 C．互余或相等 D．互补或相等【答案】D【分析】作出图形，然后利用“HL”证明Rt△ABG和Rt△DEH全等，根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠DEH，再分∠E是锐角和钝角两种情况讨论求解．【详解】如图，△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，AG、DH分别是△ABC和△DEF的高，且AG=DH，在Rt△ABG和Rt△DEH中，，∴Rt△ABG≌Rt△DEH(HL)，∴∠B=∠DEH，∴若∠E是锐角，则∠B=∠DEF，若∠E是钝角，则∠B+∠DEF=∠DEH+∠DEF=180°，故这两个三角形的第三边所对的角的关系是：互补或相等．故选D.8．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=( )A．75° B．80° C．85° D．90°【答案】A【解析】分析：依据AD是BC边上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依据∠BAC=50°，AE平分∠BAC，即可得到∠DAE=5°，再根据△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，可得∠EAD+∠ACD=75°．详解：∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，∴∠BAD=30°，∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，∴∠BAE=25°，∴∠DAE=30°﹣25°=5°，∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，故选A．点睛：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．解决问题的关键是三角形外角性质以及角平分线的定义的运用． 二、填空题9．已知，若△ABC的面积为10 ，则的面积为________ ，若的周长为16，则△ABC的周长为________．【答案】10 16 【分析】根据全等三角形的面积相等，全等三角形的周长相等解答．【详解】∵△ABC≌△A′B′C′，△ABC的面积为10，∴△A′B′C′的面积为10；∵△ABC≌△A′B′C′，△A′B′C′的周长为16cm，∴△ABC的周长为16cm.故答案为10，16.【点睛】此题考查全等三角形的性质，解题关键在于掌握其性质定理.10．在△ABC和△ADC中，有下列三个论断：①AB=AD；②∠BAC=∠DAC；③BC=DC．将两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个正确的因果关系，则条件是__________，结论为__________．【答案】①AB=AD；②∠BAC=∠DAC，③BC=DC 或①AB=AD；③BC=DC，②∠BAC=∠DAC ．【详解】考点：全等三角形的判定与性质．分析：根据全等三角形的判定方法SAS，可知当①②为条件且AC为公共边时结论③成立；根据全等三角形的判定方法SSS，可知当①③为条件且AC为公共边时结论②立；解：方案一∵AB=AD，∠BAC=∠DAC，AC为公共边，∴△ABC≌△ADC，∴BC=DC；方案二：∵AB=AD，BC=DC，AC为公共边，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC．故答案为条件：①AB=AD；②∠BAC=∠DAC或①AB=AD；③BC=DC；结论为：③BC=DC或∠BAC=∠DAC．11．已知，如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，CD=2cm，则点D到AB的距离为__cm．【答案】2．【分析】过点作于点，根据角平分线的性质定理得出，代入求出即可．【详解】解：如图，过点作于点，则即为所求，，平分，(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)，，．故答案是：2．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．12．下列说法中：①如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA”来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等．正确的是_____.【答案】①③【解析】【分析】熟练综合运用判定定理判断，做题时要结合已知与全等的判定方法逐个验证．【详解】因为两个三角形的两个角对应相等，根据内角和定理，可知另一对对应角也相等，那么总能利用ASA来判定两个三角形全等，故选项①正确；两个全等的直角三角形都和一个等边三角形不全等，但是这两个全等的直角三角形可以全等，故选项②错误；判定两个三角形全等时，必须有边的参与，否则不会全等，故选项③正确.故选：①③【点睛】此题考查全等三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理.13．如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠CBA交AC于点D．若AB=a，CD=b，则△ADB的面积为______________ ．【答案】【详解】过点D作AB的垂线DE,因为 BD平分∠CBA所以DE="CD," △ADB的面积=ABDE=ab14．如图，AC⊥AB，AC⊥CD，要使得△ABC≌△CDA．(1)若以“SAS”为依据，需添加条件____________；(2)若以“HL”为依据，需添加条件_____________．【答案】AB=CD AD=BC 【解析】(1)若以“SAS”为依据，需添加条件：AB=CD；∵AC⊥AB，AC⊥CD，∴∠BAC=90°，∠DCA=90°，∴∠BAC=∠DCA，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA(SAS)；(2)若以“HL”为依据，需添加条件：AD=BC；在Rt△ABC和Rt△CDA中，∴Rt△ABC≌Rt△CDA(HL).故答案为：(1)AB=CD；AD=BC.15．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为 ． 【答案】4【解析】试题分析：由∠ABC=45°，AD是高，得出BD=AD后，证△ADC≌△BDH后求解．BH=AC=4．考点：全等三角形的判定与性质．16．已知如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC，AD平分∠BAC，DE⊥AC于E．若AC=10，可求得△DEC的周长为________．【答案】10【分析】根据角平分线的性质可得DB=DE，然后根据HL可证明Rt△ABD≌Rt△AED，进而可得AB=AE，再根据线段的和差关系即可得出△DEC的周长=AC，从而可得答案．【详解】解：∵AD平分∠BAC，∠B=90°，DE⊥AC于E，∴DB=DE，在Rt△ABD和Rt△AED中，∵AD=AD，DB=DE，∴Rt△ABD≌Rt△AED(HL)，∴AB=AE，∵AB=BC，∴BC=AE，∴△DEC的周长=DE+DC+EC=DB+DC+EC=BC+EC=AE+EC=AC=10．故答案为：10．【点睛】本题考查了角平分线的性质、直角三角形全等的判定和性质以及三角形的周长计算等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键． 三、解答题17．已知：如图，CB=DE，∠B=∠E，∠BAE=∠CAD．求证：∠ACD=∠ADC．【答案】．证明：∵∠BAE=∠CAD，∴∠BAE∠CAE =∠CAD∠CAE，即∠BAC=∠EAD． --------------------------1分在△ABC和△AED中， ∠BAC=∠EAD， ∠B=∠E， BC=ED，∴△ABC≌△AED． ------------------------------4分∴AC=AD． ----------------------------------------5分∴∠ACD=∠ADC． 【解析】略18．已知：△ABC中，AC⊥BC，CE⊥AB于E，AF平分∠CAB交CE于F，过F作FD∥BC交AB于D．求证： AC＝AD 【答案】详见解析【分析】由平行的性质和直角三角形的性质可证明∠2＝∠3=∠1，结合角平分线的定义可证明△CAF与△DAF，可证得AC=AD．【详解】证明：∵AC⊥BC，CE⊥AB∴∠CAB＋∠1＝∠CAB＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3又∵FD∥BC∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2在△CAF与△DAF中∴△CAF≌△DAF(AAS)∴AC＝AD.【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.19．已知：如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且∠ABD+∠ACD＝180°．求证：BD＝CD．【答案】见解析．【分析】先利用角平分线性质得：DE=DF，然后利用互补的性质得到∠EBD=∠ACD，在由“AAS”可证△BED≌△CFD，可得BD=CD．【详解】∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90° ，∵∠ABD+∠ACD=180°，且∠ABD+∠EBD=180° ，∴∠EBD=∠ACD ，在△BED和△CFD中 ∴△BED≌△CFD(AAS) ，∴BD=CD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．20.如图①，△ABC是等边三角形，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，则线段FE与FD之间的数量关系是 自主学习事实上，在解决几何线段相等问题中，当条件中遇到角平分线时，经常采用下面构造全等三角形的解决思路如：在图②中，若C是∠MON的平分线OP上一点，点A在OM上，此时，在ON上截取OB=OA，连接BC，根据三角形全等判定(SAS)，容易构造出全等三角形△OBC和△OAC，从而得到线段CA与CB相等学以致用参考上述学到的知识，解答下列问题：如图③，△ABC不是等边三角形，但∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．求证：FE=FD．【解析】解：感受理解EF=FD．理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠BCA，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴∠DAC=∠ECA，∠BAD=∠BCE，∴FA=FC．∴在△EFA和△DFC中，，∴△EFA≌△DFC，∴EF=FD；学以致用：证明：如图1，在AC上截取AG=AE，连接FG．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF(SAS)，∴∠AFE=∠AFG，FE=FG，∵∠B=60°，∴∠BAC+∠ACB=180°﹣60°=120°，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴∠2=∠BAC，∠3=∠ACB，∴∠2+∠3=(∠BAC+∠ACB)=×120°=60°，∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°．∴∠CFG=180°﹣∠AFG﹣∠CFD=180°﹣60°﹣60°=60°，∴∠CFG=∠CFD，∵CE是∠BCA的平分线，∴∠3=∠4，在△CFG和△CFD中，，∴△CFG≌△CFD(ASA)，∴FG=FD，∴FE=FD．
