【全套专题】初中数学同步 8年级上册 第42课 期末知识点汇总

第42课  期末知识点汇总

[三角形]

由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形

[三角形按边分类]

三角形

[三角形按内角分类]

三角形   锐角三角形：三个内角都是锐角

             直角三角形：有一个内角是直角

             钝角三角形：有一个内角是钝角

[三角形的性质]

三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

三角形三内角和等于180°。

三角形的一个外角等于与它不相邻的的两个内角之和。

[三角形的三种线]

顶角的角平分线：三条，交于一点

三角形的中线：三条，交于一点

三角形的高线：三条，交于一点。

思考：锐角、直角、钝角三角形高线的交点分别在什么位置

[全等形]

能够完全重合的两个图形叫做全等形.

[全等三角形]

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.

[全等三角形的性质]

全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。

还有其它推出来的性质：

全等三角形的周长相等、面积相等。

全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

[三角形全等的证明]

边边边：三边对应相等的两个三角形全等．(SSS)

边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(SAS)

角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(ASA)

角角边：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(AAS)

斜边、直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．(HL)

证明两个三角形全等的基本思路：

[角平分线的作法]尺规作图

[角平分线的性质]

在角平分线上的点到角的两边的距离相等.

∵OP平分∠AOB，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N， ∴PM=PN

[角平分线的判定]

角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

∵PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM=PN

∴OP平分∠AOB

[三角形的角平分线的性质]

三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等．

【最后】学习全等三角形应注意以下几个问题：

(1)要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与 “对角”的不同含义。

(2)表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上。

(3)“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。切记切记

(4)时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”。

第二章 轴对称

 [轴对称图形]

    如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．毛

有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．

折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

[轴对称]   

有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．
[图形轴对称的性质]

①关于某直线对称的两个图形是全等形。       

    ②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

    ③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

    ④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

[轴对称与轴对称图形的区别]

[线段的垂直平分线]

    (1)经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．

(2)线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．

[等腰三角形]

    有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．

[等腰三角形的性质]

    性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一)．

特别的：(1)等腰三角形是轴对称图形.

       (2)等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.

[等腰三角形的判定定理]

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)．

特别的：

(1)有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形．

(2)有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形．

(3)有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形．

(4)有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形．

 [等边三角形]

    三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．

[等边三角形的性质]

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°

[等边三角形的判定方法]

(1)三条边都相等的三角形是等边三角形；

(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；

(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

[逆命题和逆定理]

命题：一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。

          命题一般由条件和结论组成，可以改为“如果……”，“那么……”的形式。

          正确的命题叫真命题，不正确的命题叫假命题。

基本事实：人们在长期反复实践中证明是正确的，不需要再加证明的命题。

定理：用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题。

互逆定理：一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个就叫做它的逆命题。

互逆定理：如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这两个定理叫做互逆定理。其中一个定理叫做另一个定理的互逆定理。

注意：1.逆命题、互逆命题不一定是真命题，但逆定理、互逆定理一定是真命题。

      2.所有的命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理。

 [整式乘法]

◆同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：am +an  =am+n

◆幂的乘方，底数不变，指数相乘。即：(am)n =amn 

◆积的乘方，等于把每一个因式分别成方，再把所得的幂相乘。即：(ab)n  =anbn

◆单项式与单项式相乘，把它们的系数，同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。即：ac5•bc2=(a•b)•(c5•c2)=abc7

◆单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即：p(a+b+c)=pa+pb+pc

◆多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq

◆同底数幂相除，底数不变，指数相减。即: am   /an = am-n  (a≠0,m,n都是正整数，且m＞n)

◆任何不等于0的数的零次幂都等于1。即：a0 =1(a≠0)

◆一个数的负次方等于那个数的正次方得出的结果的倒数。即：a-b

=1/ab

◆多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项以这个单项式，再把所得的积相加。即：(am+bm÷m=am÷m+b÷m)

 [乘法公式]

◆平方差公式：两个数的和乘于这两个数的差的积，等于着两个数的平方差。即：(a+b)(a-b)=a2-b2

◆完全平方公式：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方的和加上(或减去)他们的积的二倍。即：

(a+b)2 =a2 +2ab+b2 /(a-b)2 =a2 -2ab+b2

(添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不改变符号；如果括号前面是负号，扩到括号里面都改变符号。)

 [因式分解]

◆因式分解：x2 -1因式分解→(x+1)(x-1)←法乘式整1-x2

◆提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式和多项式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。即：pa+pb+pc=p(a+b+c)

公式法

◆平方差：两个数的平方差，等于着两个数的和与这两个数的差的积。即：a2-b2 =(a+b)(a-b)

◆完全平方式：两个数的平方加上(或减去)这数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方。即：a2+2ab+b2=(a+b)2 /a2-2ab+b2=(a-b)2

 [分式]

◆一般的，如果a,b表示两个整式，并且b中含有字母，那么，式子a/b叫做分式。

◆分式的性质：分式的分子与分母乘(或除于)同一个不等于0的整式，分式的值不变。

分式的约分和通分：

◆把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

(其分子与分母没有公因式的式子，叫做最简公因式。)

◆把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

(通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，他叫做，最简公分母。)

 [分式的运算]

◆分式的乘除：

⑴分式乘分式，用分之的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。。⑵分式除于分式，把除式的分子，分母颠倒位置后，与被除式相乘。。

(分式乘方要把分子，分母分别乘方。。)

◆分式的加减：

⑴同分母分式加减，分母不变，把分子相加减。。

⑵异分母分式相加减，先通分，变成同分母的分式，再加减。。

◆整数指数幂：

一个数的负次方等于那个数的正次方得出的结果的倒数。即：a-b

=1/ab

 [分式方程]

◆方程的分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

◆将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解是原式方程的解；否则，这个解不是原式方程的解。