2023年上海市普陀区中考数学二模试卷（含解析）

2023年上海市普陀区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  中国是最早认识正数和负数的国家，魏晋时期的数学家刘徽就提出了负数的概念，如果将零下记作，那么表示(    )

A. 零上 B. 零下 C. 零上 D. 零下

2.  下列各式中，计算结果是的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知函数是常数，的图象经过第一、三象限，下列说法中正确的是(    )

A.  B. 图象一定经过点
C. 图象是双曲线 D. 的值随的值增大而减小

4.  某城市天的空气质量状况统计如下：

根据表中的信息，下列有关该城市这天的空气质量指数的统计量中，可以确定的量是(    )

A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差

5.  如果用两根长度相同的细竹签作对角线，制作一个四边形的风筝，那么做成的风筝形状不可能是(    )

A. 矩形 B. 正方形 C. 等腰梯形 D. 直角梯形

6.  如图，中，，、分别平分、，，下面结论中不一定正确的是(    )

A.
B.
C.
D. 点到直线的距离是

二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）

7.  因式分解：          ．

8.  已知，那么 ______ ．

9.  方程的根是______．

10.  如果关于的方程有两个相等的实数根，那么实数 ______ ．

11.  近视眼镜的度数度与镜片焦距米成反比例，已知度近视眼镜镜片的焦距为米，则眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式为          无需确定的取值范围
 

12.  一个三角形的两边长分别是和，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为______．

13.  不透明的布袋中装有除颜色外完全相同的个球，其中红色球有个，如果从布袋中任意摸出一个球恰好为红色球的概率是，那么 ______ ．

14.  学校为了解本校初三年级学生上学的交通方式，随机抽取了本校名初三学生进行调查，其中有名学生是乘私家车上学，图是收集数据后绘制的扇形图如果该校初三年级有名学生，那么骑自行车上学的学生大约有______ 人

15.  如图，斜坡的坡度：，现需要在不改变坡高的情况下将坡度变缓，调整后的斜坡的坡度：，已知斜坡米，那么斜坡 ______ 米

16.  如图，，、交于点，，设，，那么向量用向量、表示为______ ．

17.  在矩形中，，，点在边上，，以点为圆心、为半径作如图，点在边上，以点为圆心、为半径作如果与外切，那么的长是______ ．

18.  在中，，，，为中点如图，为射线上一点，将沿着翻折得到，点的对应点为，如果，那么 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．
 

21.  本小题分
如图，在中，，垂足为点，，，，．
求的长；
求的面积．

22.  本小题分
购物节期间，、两家网店分别推出了促销活动，店活动：当购买的商品总金额在元及以内，不享受折扣，当购买的商品总金额超过元，超过元的金额打折，店购物的实付总金额元与商品总金额元之间的函数关系如图所示；店活动：所有商品直接打七折．
当店购买的商品总金额超过元时，求出与之间的函数解析式；
店推出的促销活动中： ______ ；
某公司计划购买某种型号的优盘，采购员发现店的单价要比店的单价贵元，如果购买相同数量的优盘，在店的实付总金额是元，而在店的实付总金额是元请求出店这种型号优盘的单价．

23.  本小题分
已知：如图，四边形中，，，对角线、相交于点，点在边上，，垂足为点，．
求证：四边形为矩形；
过点作交于点，求证：．

24.  本小题分
在平面直角坐标系中如图，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点抛物线的顶点为点．
求抛物线的表达式，并写出点的坐标；
将直线绕点顺时针旋转，交轴于点此时旋转角等于．
求点的坐标；
二次函数的图象始终有一部分落在的内部，求实数的取值范围．

25.  本小题分
如图，半圆的直径，点是上一点不与点、重合，点是的中点，分别联结、．
当是圆的内接正六边形的边时，求的长；
设，，求与之间的函数解析式，并写出的取值范围；
定义：三角形一边上的中线把这个三角形分成两个小三角形，如果其中有一个小三角形是等腰三角形，且这条中线是这个小三角形的腰，那么这条中线就称为这个三角形的中腰线分别延长、相交于点，联结是的中腰线，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：如果将零下记作，那么表示零上．
故选：．
在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
本题考查了正数与负数的知识，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】 

【解析】解：、若的图象经过第一、三象限，则，不正确，故不符题意；
B、当时，，B正确，故符合题意；
C、的图象是一条直线，不正确，故不符题意；
D、的图象经过第一、三象限，则，的值随的值增大而增大，不正确，故不符题意
故选：．
根据正比例函数、反比例函数的图象及性质判断即可．
本题考查了正比例函数、反比例函数的图象及性质的应用，区别两个函数的性质是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由表中数据知，这组数据的中位数是第、个数据的平均数，而这两个数据分别为、，
所以这组数据的中位数为，
故选：．
根据中位数的定义求解即可．
本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握中位数、众数、平均数及方差的定义．
 

5.【答案】 

【解析】解：用两根同样长的竹棒做对角线，制作四边形的风筝，
则该风筝的形状可能是正方形，矩形，等腰梯形，一般的四边形等，
所以不可能是直角梯形．
故选：．
根据对角线相等的四边形有正方形，矩形，等腰梯形，一般的四边形判断即可．
本题考查了直角梯形，熟练掌握矩形，正方形，等腰梯形的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：作于，于，
、分别平分、，
，，
，
，
故A正确；
、分别平分，
是的内心，
平分，
，
，
故B正确；
的长在变化不一定等于，
故C不一定正确；
，，
，
，
到的距离是，
故D正确．
故选：．
由角平分线的定义求出，由三角形内角和定理求出的度数，由三角形内心的性质求出的度数是，
的长在变化不一定等于，由直角三角形的性质得到，由角平分线的性质得到，得到到的距离是．
本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】
解：．
故答案为：．  

8.【答案】 

【解析】解：，
，
故答案为：．
根据函数、函数值的定义进行计算即可．
本题考查函数值，理解函数、函数值的定义是正确解答的前提．
 

9.【答案】 

【解析】解：方程两边平方得，，
解方程得，，
经检验是原方程的增根，
所以原方程的根为．
故答案为．
先把方程两边平方，使原方程化为整式方程，解此一元二次方程得到，，把它们分别代入原方程得到是原方程的增根，由此得到原方程的根为．
本题考查了无理方程：根号内含有未知数的方程叫无理方程；解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，常常采用平方法去根号．
 

10.【答案】 

【解析】解：关于的方程有两个相等的实数根，
，
即，
解得．
故答案为：．
因为一元二次方程有两个相等的实数根，所以，根据判别式列出方程求解即可．
本题考查根的判别式，正确记忆一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
由于近视眼镜的度数度与镜片焦距米成反比例，可设，由于点在此函数解析式上，故可先求得的值．解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
【解答】
解：根据题意近视眼镜的度数度与镜片焦距米成反比例，设，
由于点在此函数解析式上，
，
．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：设第三边长为，
两边长分别是和，
，
即：，
第三边长为奇数，
，
这个三角形的周长为，
故答案为：．
首先设第三边长为，根据三角形的三边关系可得，然后再确定的值，进而可得周长．
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
．
故答案为：．
根据概率公式直接计算即可．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】 

【解析】解：骑自行车上学的学生大约有：人，
故答案为：．
用乘样本中骑自行车上学的学生所占比例即可．
本题考查的是扇形统计图以及用样本估计总体，读懂统计图是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

15.【答案】 

【解析】解：：，
，
，
米，
坡度：，
，
即，
解得，
米．
故答案为：．
根据斜坡的坡度：和的值先求出，再根据斜坡的坡度：求出即可．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡脚问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
由题意可得∽，即可得，则，，，进而可得答案．
本题考查平面向量、相似三角形的判定与性质，熟练掌握平面向量的运算法则、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：连接，作于，
设的半径是，
两圆外切，
，
四边形是矩形，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
的长是．
故答案为：．
连接，作于，设的半径是，得到，，，由勾股定理得到，求出，即可解决问题．
本题考查圆与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理，关键是通过作辅助线，构造直角三角形，应用勾股定理列出关于半径的方程．
 

18.【答案】或 

【解析】解：当点在线段上时，如图，

，为中点，
，
，，
，
根据折叠可知，，，，
，，
设，则，
在中，，
，
解得：，
；
当点在的延长线上时，如图，

，为中点，
，
，，
，
根据折叠可知，，，，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
．
综上，的长为或．
故答案为：或．
分两种情况讨论：当点在线段上时，根据勾股定理可先求出，再由折叠可知，，，进而得出，设，则，在中，利用勾股定理建立方程求解即可；当点在的延长线上时，根据勾股定理可先求出，再由折叠可知，，，进而得出，设，则，在中，利用勾股定理建立方程求解即可．
本题主要考查折叠的性质、勾股定理，理解题意，利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是解题关键．
 

19.【答案】解：原式
． 

【解析】先算分数指数幂、负整数指数幂、零指数幂、分母有理化，然后算加减．
本题考查分数指数幂、负整数指数幂、零指数幂、分母有理化，掌握这几种运算的法则和性质的应用是解题关键．
 

20.【答案】解：，
解不等式得，
解不等式得，
故不等式组的解集为，
其解集在数轴上表示如下：
． 

【解析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可．
本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
 

21.【答案】解：，
，
，
，
，
，
，
又，
，
．
在中，由勾股定理得，
，
，
． 

【解析】在中，由，求出，再由得，即可求出．
由勾股定理求出，根据得到，即可求出结果．
本题主要考查了解直角三角形，以及平行线分线段成比例定理，三角形的面积计算，熟练运用三角函数的定义是解题关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：根据图象设当时，与之间的函数解析式为，
把，代入解析式得：，
解得，
当时，与之间的函数解析式为；
根据题意得：，
解得，
故答案为：；
在店购买：当时，，
解得，
商品总金额为元；
在店购买商品总金额为：元，
两个商店商品总金额的差为元，
店的单价要比店的单价贵元，购买优盘的数量相同，
店的单价为元．
根据图象，用待定系数法求出函数解析式即可；
根据图象可以求出的值；
先求出两个商店的商店金额，再作差，根据店的单价要比店的单价贵元，购买优盘的数量相同，得出两个商店商店总金额的差额即为购买的优盘数，再求出商店优盘单价即可．
本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式．
 

23.【答案】证明：，
，
，
∽，
，
，

，，
，
四边形为矩形；
证明：四边形为矩形，
，
，
，，
，
，
∽，
：：：，
即．
 

【解析】利用相似证出的度数为，根据三个角是直角的四边形是矩形来判断即可．
证明和相似，通过与的关系证出即可．
本题考查了矩形的判定、三角形的相似的判定，判定定理的熟练掌握及矩形性质的应用是解题关键．
 

24.【答案】解：把，代入得：
，
解得：，
抛物线的表达式为；
，
抛物线顶点坐标为；
如图：

，
，
在中，令得，
，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
点的坐标为；
，
二次函数图象的顶点为，
二次函数图象的顶点在直线上左右移动，如图：

当对称轴右侧的抛物线过时，，
解得：舍去或；
当对称轴左侧的抛物线过时，，
解得：或舍去，
由图象可得，当时，二次函数的图象始终有一部分落在的内部． 

【解析】用待定系数法可得抛物线的表达式，配成顶点式可得的坐标；
由，得，根据，，，得，即可得，，故点的坐标为；
将所给的抛物线解析式化为顶点式，可得：，由于值不确定，因此该函数的顶点在直线上左右移动；图象始终有一部分落在的内部可考虑两种情况：当对称轴右侧的抛物线经过点时，求出的值；当对称轴左侧的抛物线经过点时，求出的值；根据上述两种情况下的取值即可求得实数的取值范围．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，旋转变换，锐角三角函数等知识，解题的关键是数形结合数形的应用．
 

25.【答案】解：如图，联结、，
的直径，
，
是的内接正六边形的边，
，
，
点是的中点，
，
，
是等边三角形，
，
的长是．
如图联结、交于点，
点在上运动，且点不与点、重合，
，
，
，
，，
，，
，，
，
，
．
点在的延长线上，
点不在上，
，，
当时，如图，联结、交于点，
，，
，
，
，
，，
∽，
，
，
 由得，
，解得；
当时，如图，联结、交于点，联结，则，
，，
，
，，
∽，
，
，
综上所述，的长为或． 

【解析】联结、，由是的内接正六边形的边，可求得，则，由，得，所以是等边三角形，则；
联结、交于点，先由确定的取值范围是，由垂径定理得，，则，，则，，所以，则；
由点在的延长线上可知，，则是的中腰线存在两种情况，一是，联结、交于点，由可求得，则，再证明∽，得，所以，而，所以，则；二是当时，联结、交于点，联结，则，再证明∽，得，可求得．
此题重点考查圆的有关概念及性质、垂径定理、正多边形与圆、勾股定理、等边三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．