2023年浙江省嘉兴市桐乡市中考数学一模试卷（含解析）

2023年浙江省嘉兴市桐乡市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  是的(    )

A. 倒数 B. 绝对值 C. 相反数 D. 负倒数

2.  下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图是由个大小相同、棱长为的正方体搭成的几何体，则这个几何体的俯视图的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列调查中，适合全面调查的是(    )

A. 检测载人飞船零件的质量 B. 检测一批灯的使用寿命
C. 检测杭嘉湖三地的空气质量 D. 检测一批家用汽车的抗撞击能力

6.  若等腰的一个外角等于，则该三角形的顶角等于(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

7.  如图，是的直径，弦，垂足为，若，则的半径的长是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  九章算术是我国古代重要的数学专著之一，其中记录了一道驿站送信的题目，大意为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间设规定时间为天，则可列出正确的方程为(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，在中，，为的中点，将线段绕着点逆时针旋转一定角度得到，使，连接，分别交于点，若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  在平面直角坐标系，中，点和点在抛物线上，已知点，，在该抛物线上．若，则，，的大小为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  计算：______．

12.  有张仅有编号不同的卡片，编号分别是，，，，从中随机抽取一张，编号是奇数的概率是______ ．

13.  若一个三角形的三边长分别为，，，且是正整数，则的值可以是______ 写出一个即可．

14.  如图，已知的面积为，结合尺规作图痕迹所提供的条件可知，的面积为______ ．

15.  如图，过轴正半轴上一点作轴的平行线，分别与反比例函数和图象相交于点和点，是轴上一点若的面积为，则的值为______ ．

16.  如图，在平行四边形中，，，，点在边上，：：动点从点出发，沿着运动到点停止，过点作，交平行四边形的边于点，设线段的中点为当点与点重合时，的长为______ ，点从点运动到点的过程中，点的运动路径长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：；
解方程：．

18.  本小题分
为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”，经检测，室内每立方米空气中的含药量与燃烧时间分的函数图象如下：

观察函数图象，当时，的值是多少？
写出该函数的两条性质或结论．
当每立方米空气中的含药量低于时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，哪个时段学生不能停留在教室内？

19.  本小题分
如图，已知点在射线上，平分与，求证小明的证明过程如下：小明的证明是否正确？若正确，请在框内打“”，若错误，请写出你的证明过程．

20.  本小题分
某班开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的数学实践活动，在子任务“利用树叶的长宽比对树木进行分类”中，位同学每人随机收集枇杷树、桑树的树叶各片，通过测量得到这些树叶的长和宽，再计算出每张叶子长与宽的比小徐记录数据后制成这两种树叶长宽比的条形统计图：

经过分析得到如表数据不完整：

请解决以下问题：
写出，的值；
位同学收集到这些叶子中，哪种树叶长宽比的数据波动更小一些？为什么？
老师也收集了一张叶子，它的长，宽，不考虑其他因素，这片树叶更可能来自于枇杷、桑树中的哪种树？为什么？

21.  本小题分
设，都是实数，请探究下列问题，
尝试：当，时，，，．
当，时，，，．
当，时，，，．
当，时，，， ______ ．
归纳：与有怎样的大小关系？试说明理由．
运用：求代数式的最小值．

22.  本小题分
在课题学习如何设计遮阳棚中，计划在移门上方安装一个可伸缩的遮阳棚如图，其中为移门的高度，为遮阳棚固定点，为遮阳棚的宽度可变动，，．

小丁所在小组负责探究“移门在正午完全透光时太阳高度角与遮阳棚宽度的关系”，查阅得到如下信息：太阳高度角是指太阳光线与地平面的夹角；该地区冬至日正午的太阳高度角最小约；夏至日正午的太阳高度角最大约请你协助该小组，完成以下任务：
【任务】如图，在冬至日正午时要使太阳光完全透过移门，应该不超过多少长度结果精确到．
【任务】如图，有一小桌子在移门的正前方，桌子最外端到移门的距离为，桌子高度若要求在夏至日正午时太阳光恰好照射不到桌面，则应该多长？结果精确到参考数据：，，，，，，

23.  本小题分
已知二次函数的图象经过点．
求该函数解析式．
将函数图象向下平移个单位，再向左平移个单位后，经过点，求的值．
若点在该函数图象上，当时，函数的最小值大于，请求出的取值范围．

24.  本小题分
如图，已知是半圆的直径，半径，是弧上的动点不含点，，连接，作射线于点．

猜想的度数，并说明理由；
连接，若，求证：；
如图，作正方形，连接，，交于点若，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据相反数的意义，是的相反数；
故选：．
根据相反数的意义：只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，的相反数是，即可求解．
本题考查了相反数的意义，掌握相反数的意义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，本选项不合题意；
B、，本选项不合题意；
C、，本选项不合题意；
D、，本选项符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方法则逐一判断即可．
本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方运算法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方等于乘方的积．
 

4.【答案】 

【解析】解：从上面看，底层右边是一个小正方形，中层是三个小正方形，上层左边是一个小正方形，
所以这个几何体的俯视图的面积为．
故选：．
根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
 

5.【答案】 

【解析】解：、检测载人飞船零件的质量，适宜采用全面调查的方式，符合题意；
B、检测一批灯的使用寿命，适宜采用抽样调查的方式，不符合题意；
C、检测杭嘉湖三地的空气质量，适宜采用抽样调查的方式，不符合题意；
D、检测一批家用汽车的抗撞击能力，适宜采用抽样调查的方式，不符合题意．
故选：．
根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

6.【答案】 

【解析】解：当外角是底角的外角时，底角为：，
顶角度数是；
当外角是顶角的外角时，顶角为：，
顶角为或．
故选：．
根据等腰三角形的一个外角等于，进行讨论可能是底角的外角是，也有可能顶角的外角是，从而求出答案．
本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形外角的性质，能根据题意进行分类讨论求解是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，

设的半径为，则，
，过圆心，，
，，
由勾股定理得：，
，
解得：，
即的半径长是，
故选：．
连接，设的半径为，则，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，代入后求出即可．
本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：规定时间为天，
慢马所需的时间为，快马所需时间为，
又快马的速度是慢马的倍，
可列出方程，
故选：．
根据快马、慢马所需时间及规定时间之间的关系，可得出慢马所需的时间为天，快马所需的时间为天，利用速度路程时间，结合快马的速度是慢马的倍，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：取的中点，连接，

，为的中点，
，
，
，，
∽，
，
，，
为的中点，
，，
，，
∽，
，
，
故选：．
取的中点，连接，证明∽，求得，，推出是的中位线，得到，再证明∽，据此即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向上且经过原点，
当时，抛物线顶点为原点，时随增大而增大，不满足题意，
当时，抛物线对称轴在轴左侧，同理，不满足题意，
，抛物线对称轴在轴右侧，时，时，
即抛物线和轴的个交点，一个为，另外一个在和之间，
抛物线对称轴在直线与直线之间，
即，
点与对称轴距离最近，点与对称轴距离最远，
．
解法二：点和点在抛物线上，
，，
，
，
与异号，
，
，
，，
，，在该抛物线上，
，，，
，
，
，
，
．
故选B．
分类讨论的正负情况，根据可得对称轴在与直线之间，再根据各点到对称轴的距离判断值大小．
本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：


，
故答案为：．
根据同分母分式的加法计算即可．
本题考查分式的加减法，解答本题的关键是明确分式加法的计算法则．
 

12.【答案】 

【解析】解：从编号分别是，，，，的卡片中，随机抽取一张有种可能性，其中编号是奇数的可能性有种可能性，
从中随机抽取一张，编号是奇数的概率等于，
故答案为：．
根据题目中的数据，可以计算出从中随机抽取一张，编号是奇数的概率．
本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
 

13.【答案】答案不唯一 

【解析】解：根据三角形的三边关系可得：，
即：，
而是正整数，
则的值可以是，
故答案为：答案不唯一．
根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得的取值范围．
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围：大于已知两边的差，而小于两边的和．
 

14.【答案】 

【解析】解：连，由作图知，分别为，的中点，

，
由等底同高三角形面积相等得，
，
，，
∽，
，
，
，
故答案为：．
由作图知，分别为，的中点，利用中位线定理得出，再利用等底同高三角形面积相等得，最后利用相似比得出面积比，即可得解；
本题考查了尺规作图，三角形的中位线，相似三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，，如图所示，

轴，
，
反比例函数图象上的点与坐标轴及原点围成三角形面积，
，
，
解得；
，
故答案为：．
由题意可知轴，，根据反比例函数值的几何意义，，所以，求解即可．
本题考查反比例函数比例系数值得几何意义，掌握反比例函数图象上的点与坐标轴及原点围成三角形面积是解题的关键，解题难点是构造同底等高的三角形面积相等．
 

16.【答案】  

【解析】解：四边形是平行四边形，，：，
，，
，
；
当点与点重合时，如图所示，，
过点作交于点，

，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
分两种情况，如下：
当交点在边上或与重合时，如图所示，

由题意可知，是的中点，是的中点，
即：的运动路径为，且是的中位线，
，
当交点在边上，运动到与重合时，，如图所示，

同理可得，的运动路径为，且是的中位线，
，
如图所示，过点作交的延长线于点，过点作交于点，
，
，
四边形是矩形，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，，
，
，
设，
则，
，
即，
解得：，
，
，
；
综上所述，的运动路径为和，如图所示，且，
故答案为：，．

过点作，可证四边形是矩形，根据已知条件求得对应边的长度，即可求解；分两种情况分别进行求解，当点在边上时和在边上时，运动轨迹均为对应三角形的中位线，求出对应三角形底边的长度即可求解．
本题考查平行四边形中动点的运动轨迹问题，熟练运用中位线的定义和性质、掌握解直角三角形的方法是解决问题的关键．
 

17.【答案】解：；
，
得，
解得，
把代入得，
解得，
则方程组的解为． 

【解析】计算负整数指数幂和算术平方根即可求解；
利用加减消元法即可求解．
本题考查了加减消元法解二元一次方程组，负整数指数幂和算术平方根，掌握相关运算法则是解题的关键．
 

18.【答案】解：观察函数图象，当时，的值是；
观察函数图象，当时，的值随的增加而增加；
当时，室内每立方米空气中的含药量最高；
观察函数图象，当和时，的值是；
那么从消毒开始，第分钟至分钟这个时段学生不能停留在教室内． 

【解析】观察图象，找到时，的值即可；
从增减性和函数最值考虑即可；
观察图象，找到时，对应的的值即可求解．
本题考查了函数的图象，能从函数图象中找到有关的信息是解题的关键．
 

19.【答案】解：小明利用的是，是不能证明与全等，故小明的证明不正确；
正确的证明如下，
平分，
，
，
，，
≌，
． 

【解析】由平分，证明，再由邻补角，推出，根据可证明≌，即可证明．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．
 

20.【答案】解：把片枇杷树叶的长宽比从小到大排列，依次为：，，，，，，，，，，
排在中间的两个数分别为、，故；
片桑树叶的长宽比中出现次数最多的是，故；
，；
枇杷树叶的长宽比的方差为，桑树叶的长宽比的方差为，
，
枇杷树叶的长宽比的数据波动更小；
老师收集了一张叶子，它的长，宽，长宽比接近，
而从统计图中可以看出：桑树叶的长宽比接近，
这片树叶更可能来自桑树． 

【解析】根据中位数和众数的定义解答即可；
根据题目给出的数据判断即可；
根据树叶的长宽比判断即可．
本题考查了众数，中位数，平均数和方差，掌握相关定义是解答本题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：当，时，
，，
，
故答案为：；
，理由如下，
，
；
，
，
代数式的最小值为．
求得，，得到；
结合完全平方的非负性即可解答；
利用归纳的结论即可求解．
本题考查了配方法的应用，利用完全平方非负数的性质是解题关键．
 

22.【答案】解：任务：在冬至日正午时要使太阳光完全透过移门，，设，过点作于点，如图，

，
，
在中，，，
，，
又，
，
在中，，
，
又，
，解得，
答：应该不超过；
任务：如图，作于点，连接，过点作于点，设，

则，，，
是等腰直角三角形，则，，
，则，
，，，，
在中，，，
，，
在中，，
，
又，
，
解得，
答：长约为． 

【解析】任务：设，过点作于点，在中，求得，，在中，得到，根据，列式计算即可求解；
任务：先求得，作于点，连接，过点作于点，设，同理求得，，，根据，列式计算即可求解．
本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．
 

23.【答案】解：二次函数的图象经过点，
，
解得，
该函数解析式为；
，
将函数图象向下平移个单位，再向左平移个单位后，
函数解析式为，
把点代入得，
整理得，
解得或；
对于，对称轴为，当时，函数的最小值为，
点在该函数图象上，
，
解得：或，
当，即时，函数的最小值为，
此时，
解得；
当，即时，函数的最小值为，
此时，解得；
综上，． 

【解析】利用待定系数法即可求解；
利用平移的性质得到平移后的函数解析式为，再代入，解方程即可求解；
把点代入，求得的值，利用二次函数的性质即可求解．
本题考查了二次函数的图象和性质，平移变换，待定系数法求函数解析式，能结合题意确定的取值范围是解题的关键．
 

24.【答案】解：，理由如下，
半径，且，
是等腰直角三角形，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
；

证明：如图，

，，
是等腰直角三角形，
，
半径，，
，
；

解：连接，

由得是等腰直角三角形，
，
又，
是线段的垂直平分线，
，
设，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
、、、四点共圆，
，
，
，即，
整理得，
负值已舍，
． 

【解析】先证明是等腰直角三角形，推出，再根据圆内接四边形的性质以及邻补角的定义即可求解；
证明是等腰直角三角形，推出，再证明，利用圆心角、弦的关系即可证明；
连接，证明是线段的垂直平分线，设，得到，，，利用正方形的性质求得，，证明、、、四点共圆，推出，利用勾股定理列式计算求得的值，据此计算即可求解．
本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．