2023年甘肃省白银市会宁县中考数学一模试卷（含解析）

2023年甘肃省白银市会宁县中考数学一模试卷

一、选择题（本题共7小题，共21分）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，直线、相交于点，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  计算：(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在矩形中，、相交于点，若的面积为，则矩形的面积为(    )
 

A.  B.  C.  D.

5.  如图，是的高．若，，则边的长为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，内接于，，连接，则(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，已知抛物线开口向上，与轴的一个交点为，对称轴为直线下列结论错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共6小题，共18分）

8.  计算：______．

9.  已知关于、的方程的解满足，则的值为______．

10.  如果不等式的解集为，那么必须满足______．

11.  在世纪年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即已知为米，则线段的长为______米．

12.  如图，直线与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，且，连接已知的面积为，则的值为______ ．

13.  如图，在菱形中，，若、分别是边、上的动点，且，作，，垂足分别为、，则的值为______．

三、解答题（本题共13小题，共81分）

14.  计算：．

15.  解不等式组：，并写出它的所有整数解．

16.  化简：．

17.  如图，已知，，是的一个外角．
请用尺规作图法，求作射线，使保留作图痕迹，不写作法

18.  如图，是等边三角形，、在直线上，求证：．

19.  如图，的顶点坐标分别为，，将平移后得到，且点的对应点是，点、的对应点分别是、．
点、之间的距离是______；
请在图中画出．

20.  第届冬季奥林匹克运动会于年月至日在我国北京张家口成功举办，其中张家口赛区设有四个冬奥会竞赛场馆，分别为：云顶滑雪公园、国家跳台滑雪中心、国家越野滑雪中心、国家冬季两项中心．小明和小颖都是志愿者，他们被随机分配到这四个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同．
小明被分配到国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是多少？
利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率．

21.  小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为米，的影长为米，小明的影长为米，其中、、、、五点在同一直线上，、、三点在同一直线上，且，已知小明的身高为米，求旗杆的高．
 

22.  在平面直角坐标系中，函数的图象过点，，且与轴交于点．
求该函数的解析式及点的坐标；
当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围．

23.  某校为了了解本校学生“上周内做家务劳动所用的时间”简称“劳动时间”情况，在本校随机调查了名学生的“劳动时间”，并进行统计，绘制了如下统计表：

根据上述信息，解答下列问题：
这名学生的“劳动时间”的中位数落在______组；
求这名学生的平均“劳动时间”；
若该校有名学生，请估计在该校学生中，“劳动时间”不少于分钟的人数．

24.  如图，与等边的边，分别交于点，，是直径，过点作于点．
求证：是的切线；
连接，当是的切线时，求的半径与等边的边长之间的数量关系．

25.  现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点到的距离为．
求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点、处分别安装照明灯．已知点、到的距离均为，求点、的坐标．

26.  问题背景：
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图，已知是的角平分线，可证小慧的证明思路是：如图，过点作，交的延长线于点，构造相似三角形来证明．
尝试证明：
请参照小慧提供的思路，利用图证明：；
应用拓展：
如图，在中，，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．
若，，求的长；
若，，求的长用含，的式子表示．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
直接利用相反数的定义得出答案．
此题主要考查了相反数，正确掌握相关定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，与是对顶角，
．
故选：．
根据对顶角相等可得．
本题考查了对顶角，解题的关键是熟练掌握对顶角的性质：对顶角相等．
 

3.【答案】 

【解析】解：原式．
故选：．
单项式乘以单项式，首先系数乘以系数，然后相同字母相乘，最后只在一个单项式含有的字母照写．
本题主要考查了单项式乘单项式，解决本题的关键是掌握单项式乘单项式法则．
 

4.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，对角线、相交于点，
，且，
，
矩形的面积为，
故选：．
根据矩形的性质得到，推出，即可求出矩形的面积．
此题考查矩形的性质：矩形的对角线相等，且互相平分，由此可以将矩形的面积四等分，由此可以解决问题，熟记矩形的性质定理是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，，
，
，

故选：．
根据，可得，由，可得，可得是等腰三角形，进而可以解决问题．
本题主要考查解直角三角形，熟练掌握直角三角形的边角、边边、角角间的关系式解直角三角形的基础，本题需考虑两种情况是关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，得
，
，
，
，
．
故答案为：．
可得，然后列出关于的方程求解即可．
本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

，
，
，
．
故选：．
根据圆周角定理可得的度数，再进一步根据等腰三角形和三角形的内角和定理可求解．
此题综合运用了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理以及圆周角定理．一条弧所对的圆周角等于
它所对的圆心角的一半．
 

8.【答案】 

【解析】解：由图象可得，抛物线开口向上，故，
由于抛物线与轴交点坐标为，
由图象可得，，
对称轴为，
，
，
，
，
，
故A选项正确；
抛物线与轴有两个交点，
，
，
故B选项正确；
由图象可得，当时，，
，
故C选项错误；
抛物线的对称轴为，
，
，
故D选项正确，
故选：．
利用函数图象的开口，与轴交点坐标，和对称轴，分别判断出，，的正负，可以判断出选项，由抛物线与轴交点坐标个数，可以判断的正负，可以判断出选项，又当时，，根据图象可以判断选项，由对称轴为，可以判断选项．
此题考查的是二次函数的图象与系数的关系，由开口，对称轴，与轴交点分别判断出系数的正负，由与轴交点坐标判断的正负，这些内容都是解决问题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
首先利用算术平方根的定义化简，然后加减即可求解．
本题主要考查了实数的运算，主要利用算术平方根的定义．
 

10.【答案】 

【解析】解：由可知，可得．
根据不等式的基本性质可判断，为负数，即，由此可求出的取值范围．
注意不等式两边同乘或除负数时的符号变化．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
设，则，
，
，
即，
解得：，舍去，
线段的长为米．
故答案为：
根据，建立方程求解即可．
本题主要考查了黄金分割，熟练掌握线段之间的关系列出方程是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：设轴于，轴于，
，
，
，
，
设，，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
当时，，解得，
，
的面积为，
，
，
故答案为．
根据题意设，，利用待定系数法表示出直线的解析式为，则，根据三角形面积公式得到，从而得到的值．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，表示出、的坐标是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接交于，
四边形为菱形，
，，，
由勾股定理得：，
，，
，
∽，
，即，
解得：，
同理可得：，
，
故答案为：．
连接交于，根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理求出，证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，用含的代数式表示、，计算即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、菱形的性质、勾股定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
 

14.【答案】解：

． 

【解析】根据有理数混合运算法则计算即可．
此题考查了有理数的混合运算，零指数幂，熟练掌握有理数混合运算的法则是解题的关键．
 

15.【答案】解：解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
整数解为，． 

【解析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组，掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，写出整数解即可．
 

16.【答案】解：原式


． 

【解析】将除法转化为乘法，因式分解，约分，根据分式的加减法法则化简即可得出答案．
本题考查了分式的混合运算，考查学生运算能力，掌握运算的结果要化成最简分式或整式是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图，射线即为所求． 

【解析】利用尺规作图作出的平分线，得到射线．
本题考查的是尺规作图、平行线的判定，能够利用基本尺规作图作出已知角的角平分线是解题的关键．
 

18.【答案】证明：是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】要证明，只要证明≌即可，根据等边三角形的性质和可以证明≌，本题得以解决．
本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解答本题的关键是证明≌．
 

19.【答案】解：；
如图所示，即为所求．
 

【解析】解：，，
点、之间的距离是，
故答案为：；
如图所示，即为所求．
根据两点间的距离公式即可得到结论；
根据平移的性质作出图形即可．
本题考查作图平移变换，解题的关键是掌握平移变换的性质．
 

20.【答案】解：小明被分配到国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的结果有种，
小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率为． 

【解析】直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：，
，
，
∽，
，即，
，
同理得∽，
，即，
，
米，
答：旗杆的高是米． 

【解析】本题考查相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键掌握相似三角形的判定．
先证明∽，列比例式可得的长，再证明∽，可得的长，最后由线段的差可得结论．
 

22.【答案】解：把，分别代入得，
解得，
函数解析式为，
当时，，
点坐标为；
当时，当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值． 

【解析】先利用待定系数法求出函数解析式为，然后计算自变量为时对应的函数值得到点坐标；
当函数与轴的交点在点含点上方时，当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解决问题的关键．也考查了一次函数的性质．
 

23.【答案】 

【解析】解：把名学生的“劳动时间”从小到大排列，排在中间的两个数均在组，故这名学生的“劳动时间”的中位数落在组，
故答案为：；
分钟，
答：这名学生的平均“劳动时间”为分钟；
人，
答：估计在该校学生中，“劳动时间”不少于分钟的人数为人．
利用中位数的定义解答即可；
根据平均数的定义解答即可；
用样本估计总体即可．
本题考查了频数率分布表．从频数率分布表中得到必要的信息是解决问题的关键．用到的知识点为：总体数目部分数目相应百分比．
 

24.【答案】解：证明：连接，如图所示：

，，
是等边三角形，
，
，
又，
，
，
即是的切线；
设半径为，等边的边长为，
由可知：，则，，
在中，，，
，
，
又是的切线，
是直角三角形，且，，
，
，
解得：，
即，
的半径与等边的边长之间的数量关系为：． 

【解析】连接，根据已知条件可推出是等边三角形，利用即可证明，进而可知，即可求证；
用含有和的式子分别表示出和的长，根据列出等式即可找到与的数量关系．
本题考查圆切线的判定与性质以及等边三角形的性质，熟练掌握圆切线的判定与性质以及等边三角形性质，以及利用已知条件分别表示出和的长，根据列出等式是解决本题的关键．
 

25.【答案】解：由题意抛物线的顶点，
可以假设抛物线的解析式为，
把代入，可得，
抛物线的解析式为；

令，得，
解得，，
，． 

【解析】设抛物线的解析式为，把代入，可得，即可解决问题；
把，代入抛物线的解析式，解方程可得结论．
本题考查二次函数的应用，待定系数法，一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，属于中考常考题型．
 

26.【答案】证明：，
，，
∽，
，
是的角平分线，
，
又，
，
，
．
解：将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处，
，，
由可知，，
又，，
，
，
，
，
，
，
；
；
将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处，
，，，
，
由可知，，
，
，
又，
，
，
． 

【解析】证明∽，由相似三角形的性质得出，证出，则可得出结论；
由折叠的性质可得出，，由可知，，由勾股定理求出，则可求出答案；
由折叠的性质得出，则，方法同可求出，则可得出答案．
本题是相似形综合题，考查了折叠的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．