2023年河南省南阳市卧龙区中考数学一模试卷（含解析）

2023年河南省南阳市卧龙区中考数学一模试卷

一、选择题（本题共9小题，共27分）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知组合体如图，则从正面看该组合体得到的图形是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  在一次数学测试中，王蕊的成绩是分，超过了全班半数学生的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是(    )

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差

5.  今年春节前后的一段时间，甲型流感在全国多地高发，已知甲型流感病毒的直径约纳米，纳米米，则纳米可用科学记数法表示为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

6.  不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是(    )

A. 或 B.  C. 或 D.

8.  方程解为(    )

A.  B.  C.  D. 无解

9.  如图，在四边形中，，，，点，分别是边，上的动点含端点，但点不与点重合，点，分别是线段，的中点，则线段长度的最大值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本题共6小题，共18分）

10.  如图所示，的一边为平面镜，，一束光线与水平线平行从点射入经平面镜上的点后，反射光线落在上的点处，则的度数是______ ．

11.  请写出一个随的增大而减小的一次函数的表达式：______ ．

12.  经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，那么两辆汽车经过这个十字路口时，第一辆车向左转，第二辆车向右转的概率是______．

13.  如图，以为圆心为半径作扇形，线段交以为直径的半圆弧的中点，若，则阴影部分的面积是______结果保留

14.  在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将绕点逆时针旋转到如图的位置，的对应点恰好落在直线上，连接，则的长度为______ ．

15.  如图，在中，，，是线段边上的动点不与点，重合，将沿所在直线翻折，得到，连接，当取最小值时，则的值为______ ．

三、解答题（本题共8小题，共75分）

16.  按要求解答下列问题：
计算：；
化简：．

17.  随着智能手机和互联网的普及，手机手机应用软件因其对生活的便捷性而得到了分迅速发展某研发小组设计了甲、乙两款手机，为测试两款的实用性能，随机抽取了名用户进行体验并分别对两款进行评分，规定分及以上为手机的受益人群相关数据统计、整理如下：甲款手机用户评分情况扇形统计图如图所示：
乙款手机具体评分情况单位：分如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，；
甲、乙两款手机评分统计情况如表所示：

根据以上信息，解答下列问题：
填空： ______ ， ______ ， ______ ；
若有人下载了甲款手机，人下载了乙款手机，请分别估计这两款手机的受益人数；
通过以上数据分析用户对哪款手机实用性的满意度更高，并说明理由．

18.  已知双曲线经过点．
求这个双曲线的函数表达式；
在所给平面直角坐标系中画出该双曲线的简图；
若直线也经过点，问该直线与双曲线还有其它交点吗？若有，请直接写出其它交点的坐标；若没有，请说明理由．

19.  “王府山”位于中国历史文化名城南阳市的王府街，是一座人造假山，建于明洪武二十四年公元年，永乐二年年以南阳卫治改建，后有山石，名曰王府山，王府山是我国古建筑艺术的精品之一民间人士有句顺口溜：“南阳有个王府山，巴巴差差挨住天；社旗有个春秋楼，半截还在天里头”小明在学习了锐角三角函数后，想用所学知识测量“王府山”的高度，小明在一栋高米的建筑物底部处测得山顶端的仰角为，在建筑物顶端处测得山顶端的仰角为已知，，请你根据题中提供的相关信息，求出“王府山”的高的长度结果精确到米参考数据：，，
 

20.  今年月日是毛主席等老一辈革命家为雷锋同志题词周年纪念日，某中学计划开展“向雷锋同志学习”演讲比赛，并发放奖品作为对比赛获胜者的表彰和奖励在购买奖品时了解到，购买件甲种奖品和件乙种奖品共需元；购买件甲种奖品与件乙种奖品共需元．
求甲、乙两种奖品的单价；
学校准备购买甲、乙两种奖品共件，且甲种奖品不多于乙种奖品数量的一半怎样购买最省钱？最少费用是多少？

21.  在体育考试中，一名男生掷实心球，已知实心球出手时离地面米，当实心球行进的水平距离为米时实心球被掷得最高，此时实心球离地面米，设实心球行进的路线是如图所示的一段抛物线．
求实心球行进的高度米与行进的水平距离米之间的函数关系式；
如果实心球考试优秀成绩为米，那么这名男生在这次考试中成绩是否能达到优秀？请说明理由．

22.  如图，已知四边形内接于圆，为圆的直径，．
试说明的形状；
若，．
求的长度；
将沿所在的直线折叠，点的对应点是，连接、，直接写出的度数．

23.  阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
数学的发现是年科学出版社出版的图书，作者是美乔治波利亚本书通过对各种类型生动而有趣的典型问题有些是非数学的进行细致剖析，提出它们的本质特征，从而总结出各种数学模型．
共高三角形：有一条公共高的三角形称为共高三角形．
共高定理：如图，设点在直线上，点为直线外一点，则有．
下面是该结论的证明过程：证明：如图，过点作于点，

按要求完成下列任务：

请你按照以上证明思路，结合图完成剩余的证明；
如图，，
画出的平分线不写画法，保留作图痕迹，使用铅笔作图；
若的平分线交于，求证：．
如图，是平行四边形边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接，，若的面积为，则的面积为______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是，
故选：．
正有理数的绝对值是它本身，负有理数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零，由此即可得到答案．
本题考查绝对值的概念，关键是掌握绝对值的意义．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据图形可得，从正面看到的图形形状为：
．
故选：．
根据立体图形的特征可知，从正面看，上面是一个三角形，下面是一个长方形，三角形的底边长度小于长方形的宽．
本题考查了组合图形的三视图，掌握三视图的定义是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、无法计算，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，正确；
D、，故此选项错误；
故选：．
直接利用二次根式加减运算法则以及完全平方公式和积的乘方运算法则分别化简求出答案．
此题主要考查了二次根式加减运算以及完全平方公式和积的乘方运算等知识，正确把握相关运算法则是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：班级数学成绩排列后，最中间的数或最中间两个分数的平均数是这组数的中位数，半数同学的成绩位于中位数或中位数以下，王蕊的成绩是分，超过班级半数同学的成绩，故选用的统计量是中位数，
故选：．
根据中位数、众数、平均数及方差的定义进行判定即可．
本题主要考查统计量的选择，熟练掌握中位数、众数、平均数及方差的定义是解答此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：．
则纳米可用科学记数法表示为米．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查了用科学记数法表示绝对值小于的较小数，解答关键是确定的值，即原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数．
 

6.【答案】 

【解析】解：该不等式组的解集为，
故选：．
先求出每个不等式的解集再求出其公共解集．
本题考查了不等式组解集表示．按照不等式的表示方法在数轴上表示如选项C所示，解答这类题时常常因表示解集时不注意数轴上圆圈和黑点所表示意义的区别而误选D．
 

7.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
且，
解得．
故选：．
利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后解关于的方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

8.【答案】 

【解析】解：方程两边同乘，得：，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的增根，
原方程无解；
故选：．
将分式方程化为整式方程，求解后，进行检验后，即可得出结论．
本题考查解分式方程．熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：过点作交于点．
入射角等于反射角，
，
，
两直线平行，内错角相等；
，
在中，，，
；
故答案为：．
过点作交于点根据题意知，是的角平分线，可得；然后又由两直线推知内错角；最后求得的度数是．
本题主要考查了平行线的性质．解答本题的关键是根据题意找到法线，然后由法线的性质来解答问题．
 

10.【答案】 

【解析】解：点，分别是线段，的中点，
，，
，
最大时，最大，
与重合时最大，
此时，
的最大值为．
故选：．
根据三角形的中位线定理得出，从而可知最大时，最大，因为与重合时最大，此时根据勾股定理求得，从而求得的最大值为．
本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．
 

11.【答案】，或等，答案不唯一 

【解析】解：例如：，或等，答案不唯一．
故答案为：，或等，答案不唯一．
根据一次函数的性质只要使一次项系数小于即可．
此题比较简单，考查的是一次函数的性质：
当时，随的增大而增大；
当时，随的增大而减小．
 

12.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中第一辆车向左转，第二辆车向右转的结果有种，
第一辆车向左转，第二辆车向右转的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中第一辆车向左转，第二辆车向右转的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，
线段交以为直径的半圆弧的中点，，
，，，
阴影部分的面积是：，
故答案为：．

连接，根据题意，可知，，再根据图形可知阴影部分的面积是扇形的面积减去空白部分的面积再加扇形的面积减的面积，然后代入数据计算即可．
本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确扇形面积的计算公式，利用数形结合的思想解答．
 

14.【答案】 

【解析】解：，当时，；
当，，
，
，
，
，
将绕点逆时针旋转到如图的位置，
，，，
是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，
．
故答案为：．
先求出，的坐标，进而得到，的长，利用锐角三角函数，得到，根据旋转的性质，易得：，均为等边三角形，即可得出结果．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化旋转，等边三角形的判定和性质，熟知等边三角形的性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
，
将沿所在直线翻折，得到，
，
，
当，，三点共线时，取得最小值，
翻折，
是的角平分线，
过点作，，如图：

则：，四边形为正方形，
，
，即：，
，
四边形为正方形，
，
，∽，
，
．
故答案为：．
根据，得到当，，三点共线时，取得最小值，利用折叠性质和正方形的性质，以及相似三角形的判定与性质等知识求解即可．
本题考查折叠的性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识．熟练掌握折叠的性质，确定点的位置是解题的关键．
 

16.【答案】解：


；


． 

【解析】首先根据特殊角的三角函数值、二次根式的性质、零指数幂的运算，进行运算，再根据二次根式混合运算的法则进行计算；
根据分式混合运算的运算顺序进行运算即可．
本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式的性质、零指数幂的运算、二次根式的混合运算、分式的混合运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
 

17.【答案】     

【解析】解：乙款手机具体评分情况单位：分如下：
                                      ，
，，
根据甲的扇形图，，
故答案为：，，；
人，人，
答：估计这两款手机的受益人数为甲为人，乙为人；
乙款手机实用性的满意度更高，理由为：
甲款手机的受益人数的百分比为，
乙款手机的受益人数的百分比为，
乙款手机实用性的满意度更高．
根据乙的数据可求出中位数和众数的值，根据甲的扇形图求即可；
分别用总人数乘以受益人的百分比即可；
根据受益人的百分比的大小，即可得出结论．
本题考查的是统计表和扇形统计图的综合运用，读懂统计图表，从不同的统计图表中得到必要的信息是解决问题的关键．也考查了利用样本估计总体．
 

18.【答案】解：由题意，得：；
；
列表如下：

画图如下：


直线也经过点，
，
，
联立，
解得：或，
直线与双曲线还有其它交点，坐标为． 

【解析】待定系数法求出函数解析式即可；
通过列表，描点，连线画出函数图象即可；
求出直线的解析式，联立求出交点坐标即可．
本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．熟练掌握待定系数法求函数解析式，以及函数图象的作图方法，是解题的关键．
 

19.【答案】解：过点作于点，如图所示：

，，
，
四边形为矩形，
，米，
建筑物底部处测得山顶端的仰角为，
，
，
，
，
设米，米，
，，
，
解得：，
答：“王府山”的高的长度为米． 

【解析】过点作于点，证明四边形为矩形，得出，米，证明，设米，米，根据，求出，即可得出答案．
本题主要考查了解直角三角形的应用，作出辅助线，熟练掌握三角函数的定义，准确计算是解题的关键．
 

20.【答案】解：设甲、乙两种奖品的单价分别为元，元，由题意，得：
，
解得：；
答：甲、乙两种奖品的单价分别为元，元；
设购买甲种奖品件，则购买乙种奖品件，
由题意，得：，
解得：，
设需要花费的费用为，
则：，
，
随着的增大而减小，
且为整数，
当时，取得最小值为元；
答：当购买甲奖品件时最省钱，最小费用是元． 

【解析】设甲、乙两种奖品的单价分别为元，元，根据购买件甲种奖品和件乙种奖品共需元；购买件甲种奖品与件乙种奖品共需元，列出方程组进行求解即可；
设购买甲种奖品件，需要花费的费用为，列出一次函数，根据一次函数的性质，进行求解即可．
本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用．找准等量关系，列出方程和函数解析式，是解题的关键．
 

21.【答案】解：由抛物线顶点是，
设抛物线解析式为：，
把点代入得，
抛物线解析式为：；

当时，，
解得，舍去，，
即这名男生在这次考试中成绩是米，能达到优秀． 

【解析】已知抛物线经过顶点，轴上一点，可设抛物线顶点式，求解析式；
要得到运动员成绩，就是当时，的值．
本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
 

22.【答案】解：为圆的直径，
，
是直角三角形，
，，
，
是等腰直角三角形；
是等腰直角三角形
，，
在中，，
为圆的直径，
，
在中，；
在中，，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
将沿所在的直线折叠，点的对应点恰好落在上，
如图：连接，

，
． 

【解析】根据圆周角定理及，即可判定；
根据圆周角定理及勾股定理，即可求解；根据圆周角定理即可求得，可得将沿所在的直线折叠，点的对应点落在上，再根据解直角三角形，即可求得的度数，据此即可求解．
本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理，折叠的性质，利用余弦求角的度数，得到将沿所在的直线折叠，点的对应点恰好落在上是解决本题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：补全剩余证明如下：
，
；

解：如图所示：即为所求；


证明：如图，过点作于点，于点，

是的平分线，
，
，
由共高定理，得：，
；

解：四边形是平行四边形，
，，
，，
∽，
，
又，
，
由共高定理，可得：
，
，
．
故答案为：．
利用面积公式，补全证明即可；
根据角平分线的作图方法，画出的平分线即可；过点作于点，于点，利用角平分线的性质，三角形的面积公式，以及共高定理，即可得证；
证明∽，得到，根据共高定理，得到：，进而得到，即可得出结果．
本题考查角平分线的作图方法，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质．理解并掌握共高定理，是解题的关键．