2023年江苏省常州市溧阳市中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年江苏省常州市溧阳市中考数学一模试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年江苏省常州市溧阳市中考数学一模试卷第I卷（选择题）一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  下列实数中，无理数是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列运算结果为的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  下列几何体的侧面展开图不是长方形是(    )A. 圆柱 B. 正方体 C. 四棱锥 D. 五棱柱4.  若，则下列不等式一定成立的是(    )A.  B.  C.  D. 5.  某校男子篮球队的年龄分布如表，则这些队员年龄的众数和中位数分别是(    ) 年龄人数 A. ， B. ， C. ， D. ，6.  如图，，，则的度数为(    )A.
B.
C.
D. 7.  如图，是的直径，，是上的两点，若，则的度数是(    )A.
B.
C.
D. 8.  九年级体能测试中，小苏和小林参加米折返跑，在如图所示的跑道上进行，在整个测试过程中，跑步者距起跑线的距离单位：与跑步时间单位：的对应关系如图所示下列叙述正确的是(    )
A. 两人从起跑线同时出发，同时到达终点
B. 小林跑全程的平均速度大于小苏跑全程的平均速度
C. 小林前跑过的路程大于小苏前跑过的路程
D. 小苏在跑最后的过程中，与小林相遇次第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）9.  计算：        ．10.  原子钟是以原子的规则振动为基础的各种守时装置的统称，其中氢脉泽钟的精度达到了年，误差不超过秒数据用科学记数法表示______ ．11.  分解因式：______．12.  函数中自变量的取值范围是______．13.  若正多边形的一个内角等于，则这个正多边形的边数是          ．14.  若扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的弧长为______．15.  已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系是______．16.  如图，在网格内，则 ______ ．
 17.  如图，在矩形中，，，是上的一个动点不与，重合，过点的反比例函数的图象与边交于点，若时，则 ______ ．
 18.  如图，正方形中，点是的中点，连接，与以为直径的半圆交于点，
连接并延长交于点，则的值______ ．
 三、解答题（本大题共10小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.  本小题分
计算：．20.  本小题分
解方程和不等式组：
；
．21.  本小题分
已知：如图，在正方形中，是上一点，延长到，使，连接、．
求证：；
如图，过点作，交边于点，判断四边形是什么特殊四边形？并说明理由．
 22.  本小题分
“垃圾分类工作就是新时尚”，为了改善生态环境，有效利用垃圾剩余价值，年起，我市将生活垃圾分为四类：厨余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾某校数学学习研究小组在对我市垃圾分类实施情况的调查中，绘制了生活垃圾分类扇形统计图，如图所示．
图中其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是______ 度；
据统计，平均我市每天生活垃圾清运总量大约为吨．
生活垃圾中厨余垃圾可再利用制造有机肥，其再利用率最高可达到，请问每天最多可制造出大约多少吨有机肥？
生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为元，请估计每年按天算可回收物所创造的经济总价值是多少万元？
23.  本小题分
在张相同的小纸条上，分别写上线段的长度：；；将这张小纸条做成支签，放在一个不透明的盒子中．
搅匀后从中任意抽取一支签，抽中签的概率是______ ；
搅匀后从中任意抽取两支签，求这两支签的线段能与长为的线段组成一个三角形的概率．24.  本小题分
每年的月日为“世界读书日”为了迎接第个世界读书日，我市图书馆决定购买甲、乙两种品牌的平板电脑若干组建新的电子阅览室经了解，甲、乙两种品牌的平板电脑单价分别元和元．
若购买甲、乙两种品牌的平板电脑共台，恰好支出元，求甲、乙两种品牌的平板电脑各购买了多少台？
若购买甲、乙两种品牌的平板电脑共台，每种品牌至少购买一台，且支出不超过元，共有几种购买方案？并说明哪种方案最省钱．25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与轴正半轴交于点，与反比例函数交于点，且，轴交反比例函数于点．
则 ______ ， ______ ；
若点为射线上一点，设的横坐标为，过点作，交反比例函数于点若，求的值．
26.  本小题分
在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“相等点”例如，都是“相等点”．
函数图象上的“相等点”坐标是______ ；
已知的圆心在直线上且半径为，若该圆上有且仅有一个“相等点”，请求出圆心的坐标；
若抛物线上有且仅有一个“相等点”，该抛物线与轴交于、两点点在点的左侧当时，在抛物线上是否存在点，使得，如果存在，请求出点坐标用含或的代数式表示；如果不存在，请说明理由．27.  本小题分
如图，将矩形放在平面直角坐标系中，点是原点，点坐标为，点坐标为，点是轴正半轴上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形．
当点落在对角线上时， ______ ；
当直线经过点时，求所在的直线函数表达式；
如图，点是的中点，连接、．
的最小值为______ ；
当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出点的坐标．
 28.  本小题分
已知抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点当时，抛物线最高点的纵坐标值为，当时，抛物线最高点的纵坐标值为．
求、的关系式用含的代数式表示；
若，求该抛物线的函数表达式；
在的条件下，连接，为抛物线对称轴上一点，过点作直线，交抛物线于、两点，若线段满足，求点纵坐标的取值范围．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：是整数，属于有理数，不符合题意；
B.是无理数，符合题意；
C.是分数，是有理数，不符合题意；
D.是整数，属于有理数，不符合题意．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像两个之间依次多一个等有这样规律的数．
 2.【答案】 【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别计算，进而得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 3.【答案】 【解析】解：由题意知，四棱锥的侧面展开图不是长方形，
故选：．
根据棱锥的侧面展开图不是长方形得出结论即可．
本题主要考查简单几何体的展开图，熟练掌握简单几何体的展开图是解题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：，
或，
选项A不符合题意；

，
，
选项B符合题意；

，
，
选项C不符合题意；

，
，但不一定成立，也有可能，
选项D不符合题意．
故选：．
根据，应用不等式的性质，逐项判断即可．
此题主要考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 5.【答案】 【解析】解：根据数据可知：出现的次数最多，因而众数是；
一共是个数，
把这些数从小到大排列，处在第位和第位的数都是，因此中位数是．
故选：．
根据众数是一组数据中出现次数最多的数据；中位数就是把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数进行解答即可求出答案．
此题考查众数、中位数的意义及求法，一组数据出现次数最多的数就是众数，将一组数据从小到大排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数是中位数．
 6.【答案】 【解析】解：，，
，
，
．
故选：．
由，，根据两直线平行，同位角相等，即可求得的度数，又由邻补角的定义，即可求得的度数．
此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．此题比较简单，注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．
 7.【答案】 【解析】解：连接，

是的直径，
，
，
，
，
故选：．
连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可求出，从而利用同弧所对的圆周角相等，即可解答．
本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：根据函数图象可得，两人同时出发，小苏先到达终点，小林后到达终点，故A选项错误，不符合题意；
两人跑过的路程相同，而小苏所用时间比小林短，由“速度路程时间”可得小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度，故B选项错误，不符合题意；
根据函数图象可得，小林前跑过的路程小于小苏前跑过的路程，故C选项错误，不符合题意；
小苏在跑最后的过程中，由函数图象可知，虚线与实线的交点个数为，所以小苏与小林相遇次，故D选项正确，符合题意．
故选：．
根据函数图象可得，两人同时出发，小苏先到达终点，小林后到达终点，以此判断选项；两人跑过的路程相同，而小苏所用时间比小林短，根据“速度路程时间”即可判断选项；根据图象即可判断选项；由虚线与实线的交点个数得到小苏与小林相遇的次数，以此判断选项．
本题主要考查函数的图象，解题关键是根据函数的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需条件，结合实际意义得出正确的结论．
 9.【答案】 【解析】解：原式．
故答案为：．
根据二次根式的基本性质进行解答即可．
本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的基本性质是解答此题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：根据科学记数法的知识可得：，
故答案为：．
根据科学记数法的表示即可得出答案．
本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，掌握形式为，其中是关键．
 11.【答案】 【解析】【分析】
此题主要考查了运用公式法分解因式，关键是掌握平方差公式：．
直接利用平方差公式进行分解即可．
【解答】
解：原式，
故答案为．  12.【答案】且 【解析】解：由题意得：且，
且，
故答案为：且．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于，分母不等于，可以求出的范围．
本题考查了函数自变量的取值问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 13.【答案】 【解析】【分析】
此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出边数．
首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．
【解答】
解：正多边形的一个内角等于，
它的外角是：，
它的边数是：．
故答案为：．  14.【答案】 【解析】【分析】
此题主要考查了弧长的计算，关键是掌握弧长公式．
根据弧长公式，代入相应数值进行计算即可．
【解答】
解：根据弧长公式：，
故答案为：  15.【答案】 【解析】解：抛物线的开口向下，对称轴是直线，当时，随的增大而增大，
，，是抛物线上的点，
点关于对称轴的对称点是，
，
，
故答案为．
先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
 16.【答案】 【解析】解：如图，延长至，使，连接，取的中点，连接，
则点，都在格点上，，，
，
，
，
又，，
≌，
，
又，
在中，，
，
故答案为：．
延长至，使，连接，取的中点，连接，证明≌，得到，由得到，在中，求出的值，从而得到答案．
本题考查了在网格内求三角函数值，灵活添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
 17.【答案】 【解析】解：连接，
由题得，三角形的面积为，
，
点为中点，
，，
，
．
故答案为：．

连接，利用同底面积比等于高之比，得到点为中点，再利用反比例函数的关系式的求法计算即可．
本题考查了反比例函数的几何意义的应用，三角形面积的同底问题的应用是解题关键．
 18.【答案】 【解析】解：连接，
设正方形的边长是，
是半圆的直径，
，
四边形是正方形，
，，
是中点，
，
，
，，
∽，
：：，
：：，
，
，
，
∽，
：：：，
，
，
．
故答案为：．
连接，设正方形的边长是，可以证明∽，得到：：，因此：：，即可求出，得到的长，由∽，得到：：：，因此，得到，即可求出．
本题考查圆周角定理，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，关键是由以上知识点证明．
 19.【答案】解：原式
． 【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 20.【答案】解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为；
，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为． 【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
 21.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
在与中，
，
≌，
；
解：四边形是平行四边形，理由如下：
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
由可知，≌，
，
，
，
，
四边形是平行四边形． 【解析】根据正方形的性质和证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；
根据平行四边形的判定解答即可．
此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
 22.【答案】 【解析】解：图中其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是，
故答案为：；
吨，
答：每天最多可制造出大约吨有机肥；
万元，
答：估计每年按天算可回收物所创造的经济总价值是万元．
用乘其他垃圾所占比例即可；
用乘样本中厨余垃圾所占比例再乘即可；
用乘样本中可回收物所占比例可得每天可回收物的质量，再根据题意列式计算即可．
本题考查扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 23.【答案】 【解析】解：搅匀后从中任意抽取一支签，抽中签的概率是，
故答案为：；
搅匀后从中任意抽取两支签，所有等可能结果如下：
，，，
其中这两支签的线段能与长为的线段组成一个三角形的有，这种情况，
所以这两支签的线段能与长为的线段组成一个三角形的概率为．
直接根据概率公式求解即可；
先列举所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 24.【答案】解：设甲种品牌的电脑购买了台，乙种品牌的电脑购买了台，则，
解得，
答：甲种品牌的电脑购买了台，乙种品牌的电脑购买了台．
设甲种品牌的电脑购买了台，乙种品牌的电脑购买了台，则
，
解得，
的整数值为，、，
当时，；当时，；当时，．
一共有三种购买方案：甲种品牌的电脑购买台，乙种品牌的电脑购买台；甲种品牌的电脑购买台，乙种品牌的电脑购买台；甲种品牌的电脑购买台，乙种品牌的电脑购买台．
甲、乙两种品牌的电脑单价分别元和元．
甲种品牌的电脑购买台，乙种品牌的电脑购买台比较省钱． 【解析】设甲种品牌的电脑购买了台，乙种品牌的电脑购买了台，由题意得出，解方程组可得出答案；
设甲种品牌的电脑购买了台，乙种品牌的电脑购买了台，根据题意建立不等式组求出其解即可．
本题考查了二元一次方程组的运用，一元一次不等式组的运用，方案设计题型的运用，解答时找到等量关系建立方程或者方程组和建立不等式是关键．
 25.【答案】   【解析】解：作轴于，如图所示：

，，
∽，
直线经过点，
，
解得，
直线解析式为：，
，
，
，，
点坐标为，
将点坐标代入，
得．
故答案为：，；
轴，
点的纵坐标为，代入，
得，
点坐标为，
将点横坐标代入，
得，
，
点纵坐标为，
代入，
得，
点坐标为，
，
，
当时，
解方程得或，
当时，
解方程得，
点为射线上一点，
或．
将点代入一次函数求出的值，然后根据求出点的坐标，即可求出反比例函数的解析式；
将点横坐标代入，求出纵坐标，根据即可知道的纵坐标，代入反比例函数的解析式，求出的横坐标，即可表示出的长度，同理将点纵坐标代入反比例函数求出点横坐标，从而表示出的长，根据列方程即可求解的值．
本题考查了一次函数与反比例函数的综合，用坐标表示线段长度，然后列方程是解决这类试题的关键．
 26.【答案】和 【解析】解：令，
解得：，
则“相等点”坐标是：和，
故答案为：和；

若该圆上有且仅有一个“相等点”，则直线和为点，
联立和并解得：，
即点；

存在，理由：
由题意可知，与有且只有交点，
则，
整理得：，则该方程有两个相同的实数根，
即，
，
，
，
；
由根与系数的关系可知，，
则，
又两个根相等，
，
点的坐标为，
，
则可以写成，
令，
则，
解得：或，
则点的坐标为，
，
，
，
，
即直线和轴的夹角为，点，
则直线的表达式为：，
联立并解得：不合题意的值已舍去，
即点
令，即可求解；
若该圆上有且仅有一个“相等点”，则直线和为点，进而求解；
确定，得到直线和轴的夹角为，即可求解．
本题为二次函数综合题，本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象和性质以及圆的基本知识，分类讨论，数形结合是解题的关键．
 27.【答案】  【解析】解：如图，

，
，
，
又，
∽，
，即，
，
故答案为：；
如图，

，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
点的坐标为，
将和代入中，
，
解得：，
所在直线的表达式为：；
如图，

，
点的运动轨迹，是以为圆心，为半径的圆弧，
的最小值在的连线上，如图，即为所求，
是中点，，
，
，
故答案为：；
如图，

设，，
，
当时，
，
，
，
，
当时，如图，点在上，

则，
，，，
≌，
，
，
，
，
，
当时，不符合题意，不成立，
故点坐标为或．
通过点在上，可以通过的三角函数和的三角函数来导出对应的边的关系，求得结果；
通过直角中，得到的长度，然后通过，可以在中，得到对应的值然后求出结果；
通过，可得出点的运动轨迹，是以点为圆心，为半径长度的圆弧，从而可知，的连线上的点为最短的长度，
通过分类讨论，，，来求得对应的的坐标．
本题考查一次函数的图象及应用，通过一次函数坐标图象的性质，三角函数的性质，全等三角形的性质和勾股定理，来求得对应的解．
 28.【答案】解：由题意得：，，
整理得：；

由知，抛物线的表达式为：，
，
则点，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：或舍去，
故抛物线的表达式为：；

由点、的坐标知，直线和轴负半轴的夹角为，
，则直线和轴负半轴的夹角为，

设点，
则直线的表达式为：，
联立并整理得：，
设点、的横坐标分别为：，，
则，，
则，
，则，
即，
解得：，
即点纵坐标的取值范围为：． 【解析】由题意得：，，即可求解；
由待定系数法即可求解；
由，得到，即可求解．
本题是二次函数的综合题，考查了求二次函数的解析式，求一次函数的解析式等知识，解决问题的关键是设点的坐标，表示出有关线段的长．