2023年江苏省扬州市邗江区梅苑双语学校中考数学二模试卷（含解析）

2023年江苏省扬州市邗江区梅苑双语学校中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列实数为无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下面图形分别表示低碳、节水、节能和绿色食品四个标志，其中的轴对称图形是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图所示几何体的俯视图为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  实数、在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  中国古代数学著作算法统宗中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有个，甜果有个，则可列方程组为(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线折叠得到，交于点，连接，若，，，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  关于的一元二次方程为实数有且只有一个根在的范围内，则的取值范围是(    )

A.  B.
C. 或 D.

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

9.  已知一种细菌的半径是厘米，用科学记数法表示为______厘米．

10.  函数的自变量的取值范围是______ ．

11.  把多项式分解因式的结果是        ．

12.  如图，是一款手推车的平面示意图，其中，，，则 ______ 度

13.  赤壁青砖茶，色泽青褐，香气纯正，滋味醇和，饮用青砖茶，除生津解渴外，还具有清新提神，帮助消化，杀菌止泻等功效赤壁青砖茶因具有得天独厚的生长条件，悠久的历史和独特的制作工艺，茶产业已成为赤壁市农业特色产业之一，下表是赤壁市某茶叶种植合作社茶树种植成活情况统计表：

根据这个表格，请估计这个合作社茶树种植成活的概率为______ 结果保留两位小数．

14.  若关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是______．

15.  已知反比例函数在第一象限的图象如图所示，点在其图象上，点为轴正半轴上一点，连接、且，则______．

16.  如图，正五边形的边长为，以为边作等边，则图中阴影部分的面积为        ．

17.  如图，已知在纸板中，，，，是上一点，沿过点的直线剪下一个与相似的小三角形纸板，如果有种不同的剪法，那么长的取值范围是______ ．

18.  已知将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数减去个位数的两倍，若所得之差能被整除，则原多位自然数一定能被整除，也称这个数为“美好数”例如：将数分解为和，，因为能被整除，所以能被整除，就称为“美好数”若一个四位自然数是“美好数”，设的个位数字为，十位数字为，且个位数字与百位数字的和为，十位数字与千位数字的和也为，记，则的最大值为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

19.  先化简，再求值：，请在，，，当中选一个合适的数代入求值．

四、解答题（本大题共9小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
计算：．
解不等式组：，并写出它的所有整数解．

21.  本小题分
为庆祝中国共产党成立周年，某中学举行党史知识竞赛，团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩得分满分分按四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
本次抽查的学生人数是        人，圆心角        ；
补全条形统计图，并指出成绩的中位数落在哪个等级；
学校计划给参加党史竞赛获得良好、优秀两个等级的同学每人分别奖励价值元、元的学习用品，该校共有名学生参加党史竞赛，试估计此次竞赛该校用于奖励学生的费用．

22.  本小题分
某市今年中考理化实验操作考试，采用学生抽签方式决定自己的考试内容，规定：每位考生必须在三个物理实验用、、表示和三个化学实验用、、表示中各抽取一个进行考试，小刚在看不到签的情况下，从中各随机抽取一个．
小刚抽到物理实验的概率是______ ．
用“列表法”或“画树状图法”求小刚抽到物理实验和化学实验记作事件的概率是多少？

23.  本小题分
某物流仓储公司用、两种型号的机器人搬运物品，已知型机器人比型机器人每小时多搬，现型机器人要搬运物品，型机器人要搬运物品，结果型机器人提前小时完成任务，求、型机器人每小时搬运多少千克的物品．

24.  本小题分
如图所示，菱形中，，为中点，，，，交于点，交于点．
求证：四边形是矩形．
求的度数．
求菱形的面积．

25.  本小题分
如图，在中，，分别为半径，弦的中点，连接并延长，交过点的
切线于点．
求证：．
若，，求半径的长．

26.  本小题分
如图，已知点和直线，请你用圆规和无刻度的直尺求作一个，使经过点，且与直线相切；
如图，在中，，请你用圆规和无刻度的直尺求作，使圆心在边上，经过点，且与边相切友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹
 

27.  本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，连接，，点的坐标是，点是抛物线上的一个动点，其横坐标为，且．
求此抛物线的解析式；
若点是直线上的一个动点，且位于轴的上方，当轴时，作，交抛物线于点点在点的右侧，以，为邻边构造矩形，求该矩形周长的最小值；
设抛物线在点与点之间的部分含点和最高点与最低点的纵坐标之差为．
求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
当时，直接写出的面积．
 

28.  本小题分
在和中，，且．
如图，当点在线段上时，连接，若，，求线段的长；
如图将图中绕着点逆时针旋转，使点在的内部，连接，线段，相交于点，当时，求证：；
如图，点是点关于的对称点，连接，，在的基础上继续逆时针旋转，过作的平行线，交直线于点，连接，，，若，当线段最短时，直接写出的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D.是无理数，故本选项符合题意；
故选：．
根据无理数的定义解答即可．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析．
【解答】
解：不是轴对称图形，故此选项错误；
B.不是轴对称图形，故此选项错误；
C.不是轴对称图形，故此选项错误；
D.是轴对称图形，故此选项正确．
故选D．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了完全平方公式和单项式乘以单项式的性质、积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．直接利用完全平方公式和单项式乘以单项式的性质、积的乘方运算法则，分别化简得出答案．
【解答】
解：、，故此选项错误；
B、，故此选项正确；
C、，无法计算，故此选项错误；
D、，故此选项错误．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：由题意知，几何体的俯视图为：

故选：．
根据从上面看得到俯视图即可．
本题主要考查三视图的知识，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由图可知，，且，
，，，，
关系式不成立的是选项C．
故选：．
根据数轴判断出、的正负情况以及绝对值的大小，然后解答即可．
本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，利用了两个负数相比较，绝对值大的反而小．
 

6.【答案】 

【解析】解：共买了一千个苦果和甜果，
；
共买一千个苦果和甜果共花费九百九十九文钱，且四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，
．
可列方程组为．
故选：．
利用总价单价数量，结合用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，

，，，
，
将沿翻折至，
，，
，
，
，，，
，，
，
．
故选：．
首先根据平行四边形的性质得，，可证出，，根据翻折可得，，进而可得，从而可得，再根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理即可得的长．
此题主要考查了平行四边形的性质，翻折的性质，勾股定理的应用，关键是熟练掌握平行四边形的性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
，
当时，即，
原方程为，
，满足条件；
当时，原方程有两个不相等的实数根，
一元二次方程，
，
关于的一元二次方程为实数有且只有一个根在的范围内，
Ⅰ、，
，
Ⅱ、，
无解；
即满足条件的的范围为或，
故选：．
由题意得出原方程有两个实数根，进而分两种情况讨论：当时，得出，进而求出方程的解，判断即可得出结论，当时，利用有且只有一个根在的范围建立不等式组，求解即可得出结论．
此题主要考查了一元二次方程根的分布情况，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：厘米，用科学记数法表示为厘米．
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

10.【答案】且 

【解析】解：根据二次根式的意义可知：，即，
根据分式的意义可知：，即，
且．
根据二次根式和分式有意义的条件，被开方数大于等于，分母不等于，就可以求解．
主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
 

11.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先提公因式，再用公式法因式分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：延长交于点，
，，
．
，
．
故答案为：．
延长交于点，由求出，然后利用三角形外角的性质求解即可．
本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，
这种茶树种植成活的概率为．
故答案为：．
概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率．
此题主要考查了利用频率估计概率，解题关键是掌握大量反复试验下频率稳定值即概率．
 

14.【答案】且 

【解析】解：将原式去分母得：，
解得：，
由分式方程的解为非负数，
得到，且，
解得且，
故答案为：且．
分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，再由分式方程的解为非负数确定出的范围即可．
此题考查了分式方程的解，关键在于要注意分式方程中分母不为．
 

15.【答案】 

【解析】解：过点作于点，
，
，
点在其图象上，
，
，
．
故答案为：．
根据等腰三角形的性质得出，再利用反比例函数系数的几何意义得出即可．
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质以及反比例函数系数的几何意义，正确分割是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：在正五边形中，，
是等边三角形，
，
，
，
故答案为：．
首先求得正五边形的内角的度数，然后求得扇形的圆心角的度数，利用扇形的面积公式求得阴影部分的面积即可．
本题考查了正多边形和圆的知识，掌握多边形的内角和公式，扇形的面积公式是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图所示，过作交于或交于，
则∽或∽，
此时；

如图所示，过作交于，
则∽，
此时；

如图所示，过作交于，
则∽，
当点与点重合时，
由相似三角形的性质得，
即，
，
此时，；

综上所述，长的取值范围是．
故答案为：．
分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到的长的取值范围．
本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：由已知这个四位数的千位数字是，百位数字是，
，
，
，，
四位数是“美好数”，
能被整除，
，；，；，；，；，；
的最大值是，
故答案为：．
由已知这个四位数的千位数字是，百位数字是，且，，由已知可得能被整除，分别代入数验证可得，；，；，；，；，，即可求解．
本题考查因式分解的应用，解题的关键是能够理解题意，通过已知条件列出正确的代数式，并将数进行合理的分解．
 

19.【答案】解：原式


，
分式分母不能为，
，，
取，当时，
原式． 

【解析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
先化简分式，然后根据分式有意义的条件即可求出的值，从而可求出原式的值．
 

20.【答案】解：

；
解不等式得，，
解不等式得，，
原不等式组的解集为，
不等式组的整数解为，． 

【解析】根据绝对值的定义，特殊角的三角函数值，算术平方根的定义，负整数幂的性质解答即可；
根据解不等式组的方法和步骤求出不等式组的解集，然后确定所有整数解即可．
本题考查了实数的计算，不等式组的整数解，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：由题意得，次抽查的学生人数是人；
圆心角，
故答案为：；；
成绩良好的人数为：人，
补全条形统计图如下：

成绩的中位数落在良好等级；


元．
答：估计此次竞赛该校用于奖励学生的费用大约为元．
由成绩合格的学生人数除以所占百分比得出本次调查的样本容量；用乘优秀所占比例可得的度数；
求出成绩良好的人数，即可补全条形统计图，再根据中位数的定义解答即可；
用样本估计总体解答即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】 

【解析】解：小刚抽到物理实验的概率是，
故答案为：；

列表如下：

由表可知，所有可能出现的结果，，，，，，，，，可能出现的结果共有种，其中抽到物理实验和化学实验出现了一次，
所以小刚抽到物理实验和化学实验的概率为．
直接利用概率公式求解可得答案；
依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，根据概率公式求出该事件的概率即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

23.【答案】解：设型机器人每小时搬运千克的物品，则型机器人每小时搬运千克的物品，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：型机器人每小时搬运千克的物品，型机器人每小时搬运千克的物品． 

【解析】设型机器人每小时搬运千克的物品，则型机器人每小时搬运千克的物品，根据工作时间工作总量工作效率，结合型机器人提前小时完成任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

24.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形．
解：连接，如图所示：
为中点，，
，
，
，
，
在等边三角形中，，
，
同理，
，
，，，
，
．
解：，，
，
菱形的面积 

【解析】由菱形的性质得出，，由已知条件证出四边形是平行四边形，再证出，即可得出结论；
连接，证明是等边三角形，由等边三角形的性质求出，再求出，得到，然后求出，再根据两直线平行，同旁内角互补解答．
由三角函数求出，即可求出菱形的面积．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟记各性质并准确识图，作出辅助线构造成等边三角形是解题的关键．
 

25.【答案】证明：连接，如图，
是的切线，
，
，
，分别为半径，弦的中点，
为的中位线．
．
．
；
解：连接，如图，
，
，
，
在中，，
，
，
．
在中，，
设，则，
，
即，解得，
，
即的半径长为． 

【解析】连接，如图，利用切线的性质得，再证明为的中位线得到则可判断；
连接，如图，利用垂径定理得到，再在中利用正弦定义计算出，接着证明从而在中有，设，则，利用勾股定理可计算出，从而得到，然后解方程求出即可得到的半径长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了解直角三角形．
 

26.【答案】解：如图所示，即为所求作；

如图所示，即为所求作；
 

【解析】过作交于，作垂直平分线取中点，以为圆心，为半径作；
作平分线交点，过点作交于，以为圆心，为半径作．
本题考查了尺规作图，切线的性质与判定，作线段垂直平分线，作角平分线、平行线的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握基本作图是解题的关键．
 

27.【答案】解：将代入，
，
，
；
令，则，
，
设直线的解析式为，
，
，
，
由题可知，，
轴，点在直线上，
，
，
对称轴为直线，
，
、关于对称轴对称，
，
，，
矩形的周长，
，
当时，矩形的周长有最小值；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
解得或舍，
，
过点作轴交直线与点，
令，则，
解得或，
，
设直线的解析式为，
，
，
，
，
，
． 

【解析】将代入，即可求解；
分别求出，，，则，，再矩形的周长，即可求解；
分三种情况：当时，；当时，；当时，；
由已知求出，过点作轴交直线与点，再求直线的解析式为，则，可求，由即可求解．
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，矩形的性质，灵活运用割补法求三角形面积是解题的关键．
 

28.【答案】解：如图中，过点作于，过点作的延长线于．

，，，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，，
，，，
，，
，
，
．

证明：如图中，延长交于，过点作于，过点作于，设交于．

，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
≌，
，
，，
≌，
．

解：过点作于．

如图中，，
，
，所以、、、四点共圆，
点在以为圆心，为半径的上运动，连接交于，过点作于，过点作于，连接，，．
在中，，，，
，
，
，
当点与重合时，的值最小，最小值为，
，，
，
，
，
，
当线段最短时，的面积． 

【解析】如图中，过点作于，过点作的延长线于求出，，利用勾股定理即可解决问题．
如图中，延长交于，过点作于，过点作于，设交于证明≌即可解决问题．
过点作于如图中，由，推出，推出点在以为圆心，为半径的上运动，连接交于，过点作于，过点作于，连接，，想办法求出即可解决问题．
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，问题的突破点是正确寻找点的运动轨迹，属于中考压轴题．