2022-2023学年山东省济南市莱芜区胜利中学等八校八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省济南市莱芜区胜利中学等八校八年级（下）期中数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  如图，四边形是菱形，，，于，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

3.  用配方法解一元二次方程：，配方后得(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列判断错误的是(    )

A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 四个内角都相等的四边形是矩形
C. 四条边都相等的四边形是菱形 D. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形

5.  一元二次方程的两根恰好是等腰三角形的底边长和腰长，则该等腰三角形的周长为(    )

A.  B.  C. 或 D. 不能确定

6.  已知，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是(    )

A.  B. 且 C. 且 D.

8.  若，，是的三边，则关于的方程的根的情况是(    )

A. 没有实数根 B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根

9.  如图，在矩形中，对角线，交于点，下列条件：，，，上述条件能使矩形是正方形的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如果并且表示当时的值，即，表示当时的值，即，那么的值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  使代数式有意义的的取值范围是______．

12.  若与最简二次根式是同类二次根式，则______．

13.  某公司在年的盈利额为万，预计年的盈利额将达到万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在年的盈利额为______ 万元．

14.  如图，菱形的边长为，过点、作对角线的垂线，分别交和的延长线于点、，，则四边形的周长为______ ．

15.  某药品原价是元，经连续两次降价后，价格变为元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是______．

16.  如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平后再次折叠，使点落在上的点处，得到折痕，与相交于点若直线交直线于点，，，则的长为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

17.  已知关于的方程
若这个方程有实数根，求的取值范围；
若此方程有一个根是，请求出的值．

四、解答题（本大题共9小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算：
；
 

19.  本小题分
解方程：
；
配方法．

20.  本小题分
已知直角三角形的两直角边分别是、，斜边是，斜边上的高是．
如果，，求的值；
如果，，求直角三角形的面积及的值．

21.  本小题分
已知：如图，在菱形中，，是对角线上两点，连接，，求证：．

22.  本小题分
将矩形纸片折叠，使点刚好落在线段上，且折痕分别与边、相交．设折叠后点、的对应点分别为点、，折痕分别与边，相交于点、．

如图，判断四边形的形状；
如图，当点与重合时，若，，求线段的长度．

23.  本小题分
如图，在▱中，对角线与相交于点，点，分别在和的延长线上，且，连接，．
求证：≌；
连接，当平分时，四边形是什么特殊四边形？请说明理由．
 

24.  本小题分
细心观察图，认真分析下列各式，然后解答问题．
，；，；，；
请用含有是正整数的等式表示上述变化规律．
推算出的长．
求的值．

25.  本小题分
一商店销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件．
若降价元，则平均每天销售数量为多少件？
当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元？

26.  本小题分
如图，在矩形中，，、、、分别从、、、出发，沿、、、方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若，则，，，
当为何值时，点、重合；
当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，故选项A错误，
，故选项B错误，
，故选项C正确，
这个式子中无意义，故选项D错误，
故选：．
根据各个选项中的式子可以判断是否正确，从而可以解答本题．
本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出是解此题的关键．
根据菱形性质求出，，，根据勾股定理求出，再根据菱形的面积公式求出即可．
【解答】
解：四边形是菱形，

，，，
，，
，，，
由勾股定理得：，
，
，
，
故选A．  

3.【答案】 

【解析】解：，
，
则，
，即，
故选：．
将常数项移到方程的右边，再将二次项系数化为，继而两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
根据平行四边形的判定、矩形的判定，菱形的判定以及正方形的判定对各选项分析判断即可得解．
本题考查了正方形、平行四边形、矩形和菱形的判定，熟练掌握各四边形的判定方法是解题的关键．
【解答】
解：、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，故本选项不符合题意；
B、四个内角都相等的四边形是矩形，正确，故本选项不符合题意；
C、四条边都相等的四边形是菱形，正确，故本选项不符合题意；
D、两条对角线垂直且平分的四边形是正方形，错误，应该是菱形，故本选项符合题意．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，求出方程的两个根，然后根据三角形三边的关系，确定三角形的周长．
用因式分解法求出方程的两个根分别是和，有三角形的三边关系，为底，为腰，可以求出三角形的周长．
【解答】
解：，
，
，．
三角形是等腰三角形，必须满足三角形三边的关系，
，
腰长是，底边是，
周长为：．
故选B．  

6.【答案】 

【解析】分析
根据平方数和二次根式的非负性得出，的值，再代入求出的值即可．
详解
解：，
，


，
故选C．
点评
本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为，则这几个数都同时为是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了一元二次方程的定义，二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
直接利用一元二次方程的定义和二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】
解：关于的方程是一元二次方程，
，，
解得：，且．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：，，是的三边，
，，
，
方程没有实数根．
故选：．
利用，，是的三边得到，，所以方程为一元二次方程，由于，则，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

9.【答案】 

【解析】解：当时，根据对角线互相垂直的矩形是正方形，可知矩形是正方形；
当时，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，可知矩形是正方形；
当时，的等腰直角三角形，则，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，可知矩形是正方形；
当时可得，不能得到矩形是正方形，
综上可知，能使矩形成为正方形．
故选：．
根据矩形的性质及正方形的判定方法，对各选项逐一进行判断即可．
本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：代入计算可得，，，，，
所以，原式．
故选：．
认真观察题中式子的特点，找出其中的规律，代入计算即可．
解答此类题目的关键是认真观察题中式子的特点，找出其中的规律．
 

11.【答案】且 

【解析】解：代数式有意义：则且，
解得：且．
故的取值范围是：且．
故答案为：且．
直接利用二次根式的性质分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
解得：，
故答案为：．
根据同类二次根式的被开方数相同可得出关于的方程，解出即可得出答案．
此题考查了同类二次根式的知识，解答本题需要掌握同类二次根式的被开方数相同这个知识点，难度一般．
 

13.【答案】 

【解析】解：设平均每年盈利额增长的百分率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去，
．
故答案为：．
设平均每年盈利额增长的百分率为，利用年的盈利额年的盈利额平均每年盈利额增长的百分率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出平均每年盈利额增长的百分率，再利用年的盈利额年的盈利额平均每年盈利额增长的百分率，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：菱形的边长为，
，，
，
，
，
，
，
，
，
同理：，
，
，
四边形是平行四边形，
平行四边形的周长，
故答案为：．
证，得，则，同理，再证四边形是平行四边形，即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设每次降价的百分率为，第二次降价后价格变为元，
根据题意得，
解得，，
因为不合题意，故舍去，
所以，
即每次降价的百分率为．
故答案为．
本题可设每次降价的百分率为，第一次降价后价格变为元，第二次在第一次降价后的基础上再降，变为，即元，从而列出方程，即可求出答案．
本题考查一元二次方程的应用．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接，如图：

对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，
，
把纸片展平后再次折叠，使点落在上的点处，得到折痕，
，，
为等边三角形，
，
又，
，
，
，，
在直角中，，，
，
，
故答案为：．
连接，先证明为等边三角形，得，从而求出、，再在中求出，即可得到答案．
本题考查矩形性质及应用、折叠等知识，解题的关键是根据折叠得到是等边三角形．
 

17.【答案】解：有实数根，
，
解得：；

将代入方程得：，即，
，
解得，
所以，或． 

【解析】由方程有实数根，得到根的判别式大于等于，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围；
将代入方程中，得到关于的方程，求出方程的解即可得到的值．
此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于时，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于时，方程无实数根．
 

18.【答案】解：


；


． 

【解析】根据完全平方公式将题目中的式子展开，然后去括号，再合并同类项即可；
先化简，然后合并同类项即可．
本题考查二次根式的混合运算、分母有理化，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

19.【答案】解：，
，
，
或，
，；
，
，
，
，
，
或，
，． 

【解析】利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答；
利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
 

20.【答案】解：由勾股定理得，
，
答：的值为；
由勾股定理得，
．
由三角形的面积公式可得，
，
又因为，
所以，
解得，
答：三角形的面积为，的值为． 

【解析】根据勾股定理即可求出斜边的值；
根据勾股定理求出直角边，再根据三角形的面积公式可求出面积和斜边上的高的值．
本题考查直角三角形勾股定理，三角形的面积计算，掌握勾股定理和三角形的面积公式是解决问题的前提．
 

21.【答案】证明：四边形是菱形，
，
，
，
，
，
在和中，

≌，
． 

【解析】利用菱形的性质可得，进而可得，，利用证明≌可证明结论．
本题主要考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
 

22.【答案】解：四边形是菱形．
证明：四边形是矩形，
，
，
图形翻折后点与点重合，为折线，
，，，
，
，
，
四边形为菱形；

如图，当与重合时，由折叠的性质得，
，
中，，
即，
解得，． 

【解析】根据翻转变换的性质得到，，，根据平行线的性质得到，得到，得到，根据菱形的判定定理证明；
根据折叠的性质得到，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
本题考查的是菱形的判定、勾股定理的运用，掌握四条边相等的四边形是菱形、翻转变换的性质是解题的关键．
 

23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
在和中，
，
≌；
当平分时，四边形是菱形，

理由：平分，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
平行四边形是菱形，
，
，
，即，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形． 

【解析】本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定、全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据四边形是平行四边形，可以得到，，，从而可以得到，然后根据即可证明结论成立；
根据平分和平行四边形的性质，可以证明▱是菱形，从而可以得到，然后即可得到，再根据题目中的条件，可以证明四边形是平行四边形，然后根据，即可得到四边形是菱形．
 

24.【答案】解：，是正整数
由得，，即，
．
． 

【解析】利用已知可得，注意观察数据的变化，
结合中规律即可求出的值即可求出，
将前个三角形面积相加，利用数据的特殊性即可求出．
本题主要考查勾股定理以及作图的知识点，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的知识，此题难度不大．
 

25.【答案】解：件．
答：若降价元，则平均每天销售数量为件．
设每件衬衫降价元，则每件盈利元，每天可以售出件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又每件盈利不少于元，即，
，
．
答：当每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元． 

【解析】利用平均每天的销售量每件降低的价格，即可求出结论；
设每件衬衫降价元，则每件盈利元，每天可以售出件，根据该商店每天销售该种商品的利润为元，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合每件盈利不少于元，即可得出每件商品应降价元．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

26.【答案】解：，重合，
，
，舍去，
当时，，重合；

因为当点到达点时，，此时点和点还未相遇，
所以点只能在点的左侧，
当点在点的左侧时，依题意得
，
解得舍去，，
当时四边形是平行四边形；
当点在点的右侧时，依题意得
，
解得舍去，，
当时四边形是平行四边形，
所以当或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 

【解析】由于若，则，，，而点、重合，那么，解这个方程即可求出的值；
由于当点到达点时，，此时点和点还未相遇，所以点只能在点的左侧．
以、、、为顶点的四边形是平行四边形时分两种情况：
当点在点的左侧时，由此即可得到关于的方程，解方程即可；
当点在点的右侧时，由此也可以列出关于的方程，解方程即可．
此题是一个运动型问题，把运动和平行四边形的性质结合起来，利用题目的熟练关系列出一元二次方程解决问题．解题时首先要认真阅读题目，正确理解题意，然后才能正确设未知数列出方程解题．