2020年江西省九江市高考数学三模试卷（文科）（含解析）

2020年江西省九江市高考数学三模试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  复数的虚部为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若集合，，则(    )

A.  B.
C.  D.

3.  若直线与直线互相垂直，则实数(    )

A.  B.  C.  D.

4.  抛物线上一点到其准线的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图是九江市年月至年月每月最低气温与最高气温的折线统计图：已知每月最低气温与最高气温的线性相关系数，则下列结论错误的是(    )
 

A. 每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性正相关
B. 月温差月最高气温月最低气温的最大值出现在月
C. 月的月温差相对于月，波动性更大
D. 每月最高气温与最低气温的平均值在前个月逐月增加

7.  年月日，联合国教科文组织宣布月日为“国际数学日”昵称：，年月日是第一个“国际数学日”圆周率是圆的周长与直径的比值，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数．有许多奇妙性质，如莱布尼兹恒等式，即为正整数平方的倒数相加等．小红设计了如图所示的程序框图，要求输出的值与非常近似，则、中分别填入的可以是(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

8.  函数的图象大致为(    )

A.  B.
C.  D.

9.  在一个不透明的盒子中装有个大小、形状、手感完全相同的小球，分别标有数字，，，现每次有放回地从中任意取出一个小球，直到标有偶数的球都取到过就停止．小明用随机模拟的方法估计恰好在第次停止摸球的概率，利用计算机软件产生随机数，每组中有个数字，分别表示每次摸球的结果，经随机模拟产生了以下组随机数：

由此可以估计恰好在第次停止摸球的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知函数对任意，都有，将曲线向左平移个单位长度后得到曲线，则曲线的一条对称轴方程为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  已知双曲线：的左、右焦点为，，直线：与双曲线相交于，两点，，的重心分别为，，若以为直径的圆过原点，则(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图所示，三棱锥中，与都是边长为的正三角形，，若，，，四点都在球的表面上，则球的表面积为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知向量，，若，则实数的值为______．

14.  若实数，满足约束条件，则的取值范围是______．

15.  如图所示，正方形的四个顶点在函数，，的图象上，则______．

16.  在等腰中，，点在线段上，且，若，则______．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知数列是等差数列，是等比数列，且，，．
Ⅰ求和的通项公式；
Ⅱ记，求数列的前项和．

18.  本小题分
第届冬奥会将于年月日至月日在北京市和河北省张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会．为了宣传冬奥会，让更多的人了解、喜爱冰雪项目，某校高三年级举办了冬奥会知识竞赛总分分，并随机抽取了名中学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知前三组的频率成等差数列，第一组和第五组的频率相同．
求实数，的值，并估计这名中学生的成绩平均值；同一组中的数据用该组区间的中点值作代表
Ⅱ已知抽取的名中学生中，男女生人数相等，男生喜欢花样滑冰的人数占男生人数的，女生喜欢花样滑冰的人数占女生人数的，且有的把握认为中学生喜欢花样滑冰与性别有关，求的最小值．
参考数据及公式如表：

，其中．

19.  本小题分
已知正边长为，点，分别是，边上的点，，如图所示．将沿折起到的位置，使线段长为，连接，如图所示．

Ⅰ求证：平面平面；
Ⅱ求点到平面的距离．

20.  本小题分
如图所示，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，为椭圆上位于第一象限上的点，为椭圆的上顶点，直线与轴相交于点，，的面积为．
Ⅰ求椭圆的标准方程；
Ⅱ若直线与椭圆有且只有一个公共点，设椭圆的两焦点到直线的距离分别是，，试问是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由．

21.  本小题分
已知函数．
Ⅰ若在定义域内单调递增，求的取值范围；
Ⅱ若存在极大值点，证明：．

22.  本小题分
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
Ⅰ写出曲线的普通方程和极坐标方程；
Ⅱ，为曲线上两点，若，求的最小值．

23.  本小题分
定义区间的长度为，已知不等式的解集区间长度为．
Ⅰ求的值；
Ⅱ若，，，，求的最小值及此时，的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【解答】

解：，
复数的虚部为．
故选：．

2.【答案】 

【解析】解：，，
，
故选：．
先求出集合，，再利用集合的并集运算，即可算出结果．
本题主要考查了集合的基本运算，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意，直线与直线互相垂直，
则有，解得，
故选：．
根据题意，由两直线互相垂直可知，解可得的值，即可得答案．
本题考查直线的一般式方程，涉及直线垂直的判断方法，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查抛物线的概念及标准方程，是基本知识的考查，基础题．
求出，然后利用抛物线的定义转化求解即可．
【解答】
解：抛物线上一点，可得：，解得；
抛物线，即，准线方程为：．
抛物线上一点到其准线的距离为：．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
由已知利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求即可求解．
本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：每月最低气温与最高气温的线性相关系数，可知每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性正相关，
由所给的折线图可以看出月温差月最高气温月最低气温的最大值出现在月，月的月温差相对于月，波动性更大，
每月的最高气温与最低气温的平均值在前个月逐月增加，第六个月开始减少，所以ABC正确，D错误；
故选：．
由所给的折线图，可以进行分析得到ABC正确，D错误．
本题主要考查变量间的相关关系，折线图的分析，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：依题意中输出的，
由于的值为正整数平方的倒数相加，可得中填入的可以是，
由题意可知循环变量的初值为，终值为，步长值为，循环共执行次，可得中填入的可以是，
故选：．
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：显然函数是偶函数，函数图象关于轴对称，排除，
当时，，而，当时，，排除，
当时，，函数在上单调递增，排除，
故选D．
判断函数的奇偶性，单调性和值域，利用排除法得出答案．
本题考查了函数图象的判断，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：在组随机数中，
代表“恰好在第次停止摸球”的随机数是，，，，共组，
则恰好在第次停止摸球的概率为，
故选：．
在组随机数中，利用列举法求出代表“恰好在第次停止摸球”的随机数有组，由此能求出恰好在第次停止摸球的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由，，得，
即．
将曲线向左平移个单位长度后得到的图象．
令，，求得，，
则的图象的对称轴方程为，，
故选：．
由题意先利用函数的奇偶性解方程组求出的解析式，再利用函数的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求得曲线的一条对称轴方程．
本题主要考查函数的奇偶性，函数的图象变换规律，余弦函数的图象的性，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：设，，
由，消去得，
，，
由于，，可知，，
由题意可得，，，
，即，
，
故选：．
设，，由，消去得，利用韦达定理，结合向量的数量积，转化求解即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的应用，是中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：取线段的中点，连接，，与都是边长为的正三角形，，，，又，
，，
易知平面，分别取线段，的三等分点，，
在平面内，过点，分别作直线垂直于，，两条直线的交点即球心，连接，则球半径．

易知，，连接，
在中，，，
，故球的表面积为，
故选：．
取线段的中点，连结，，由题意得，，是二面角的平面角，求得，由题意得平面，分别取，的三等分点，，在平面内，过点，分别作直线垂直于，，两条直线的交点即球心，连结，则球半径，由此能求出球的表面积．
本题考查球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：向量，，
所以，
；
又，
所以，
解得．
故答案为：．
根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出的值．
本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理应用问题，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：作出可行域，的几何意义为：点与原点所确定直线的斜率．
由解得，
由解得，
当直线过时，；过时，，即的取值范围是．
故答案为：．
画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．
本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设，，，，
则，，
又，，即，，
为正方形，；
可得，
解得．
故答案为：．
设出各点坐标，根据平行于轴得到，再结合平行于轴得到，可得，，再结合边长相等即可得到结论．
本题考查对数函数的性质、对数的运算，是平面几何与函数知识的结合，体现出了数形结合的思想，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设，则，，如图所示：，
在中，由正弦定理得，即，
在中，由正弦定理得，即，
即，，
，
，
，
，
，．
故答案为：．
设，则，，在中和中运用正弦定理得，所以，化简整理得，又因为，所以．
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，以及三角函数化简求值，是中档题．
 

17.【答案】解：Ⅰ设数列的公差为，数列的公比为，，，，，
解得：，．
，
；
Ⅱ，
．
记，
，
则数列的前项和．
又，
，
． 

【解析】Ⅰ先设数列的公差为，数列的公比为，再由题设条件列出与的方程，求解出与，然后求出各自的通项公式即可；
Ⅱ由Ⅰ与题设条件求得，再利用分组求和法求得其前项和．
本题主要考查等差、等比数列基本量的运算及通项公式的求法和分组求和法在数列求和中的应用，属于基础题．
 

18.【答案】解：Ⅰ由题意可知：，解得，
各组频率依次为，，，，，
，
Ⅱ设男生人数为，依题意可得列联表如下：

，
，，
又，，且各组的频数为正整数，故，． 

【解析】Ⅰ根据题意等差数列的性质以及各组频率之和为得到关于，的方程组，即可求出，的值，再利用区间中点值乘以该组频率并依次相加即可求出这名中学生的成绩平均值；
Ⅱ设男生人数为，依题意得到列联表，计算，对照题目中的表格，得出统计结论．
本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．
 

19.【答案】Ⅰ证明：依题意得，在中，，，，
由余弦定理得，即．
，得，即．
在图中，，，，，则．
又，，平面，平面，
又平面，平面；
Ⅱ解：连接，在平面内，由Ⅰ可知，
在中，，，
在中，，，
在中，有，，
．
又，
设点到平面的距离为，
由，可知．
则．
点到平面的距离为． 

【解析】Ⅰ由已知证明再由直线与平面垂直的判定可得平面，进一步得到平面；
Ⅱ求解三角形得三角形的面积，再求出三角形的面积，然后利用等体积法求点到平面的距离．
本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，训练了利用等体积法求点到平面的距离，是中档题．
 

20.【答案】解：Ⅰ，，，
由，可知为的中点，，
，即，
，即，，，
所以椭圆的标准方程为．
Ⅱ当直线的斜率不存在时，：或：，．
当直线的斜率存在时，设：，
联立方程组，消去整理得，
直线与椭圆有且只有一个公共点，，
即，
．
故为定值． 

【解析】Ⅰ通过椭圆的离心率，结合三角形的面积，求出，，即可得到椭圆方程．
Ⅱ当直线的斜率不存在时，：或：，推出．
当直线的斜率存在时，设：，联立方程组，消去整理得，
利用直线与椭圆有且只有一个公共点，求出，然后求解的表达式，推出结果即可．
本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．
 

21.【答案】解：Ⅰ在定义域内单调递增，
在恒成立，即在恒成立．
令，，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，上单调递增，
．
，
的取值范围是．
Ⅱ证明：存在极大值点，至少存在一个零点，
由Ⅰ知函数不单调得．
即函数的图象与直线至少存在一个交点，
由Ⅰ知，在上单调递减，上单调递增，
，即函数的图象与直线有两个交点，，
设，则时，，即，则在，单调递增，在单调递减，
故极大值点，由于且，
且，即．
，即． 

【解析】Ⅰ由在定义域内单调递增得其导函数恒大于等于零，分离变量即在恒成立，转化为求函数最小值，求出的取值范围．
Ⅱ结合Ⅰ考虑函数的单调性，确定函数的极大值点满足的条件且，代入函数化简变形并利用均值不等式可证明．
本题考查函数的单调性，极值，零点等问题，以及函数与不等式相结合，属于综合性很强的难题．
 

22.【答案】解：Ⅰ曲线的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为，整理得．
根据，转换为极坐标方程为．
Ⅱ，为曲线上两点，设对应的极径为，，
所以，．
所以，
由于，解得，
所以，
即，
故，当且仅当时，等号成立．
故，
即． 

【解析】Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
Ⅱ利用三角函数关系式的恒等变换和基本不等式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型
 

23.【答案】解：Ⅰ由，得，
，
，
，由原不等式的解集区间长度为得原不等式的解集为，
则，即．
Ⅱ由Ⅰ知，又，
，，
，
，
，即，
，即．
当且仅当，即时等号成立，
取得最小值． 

【解析】Ⅰ由已知得，，再脱绝对值解不等式，利用区间长度为解．
Ⅱ把化简变形利用和基本不等式可求解．
本题考查了基本不等式的应用及多项式的化简，属于中档题．