【全套精品专题】初中数学同步 8年级下册 第02课 二次根式的乘除（教师版含解析）

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第02课 二次根式的乘除

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课程标准
1、 掌握二次根式的乘除法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.
2、 了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.

知识精讲

知识点01 二次根式的乘法法则
(1)计算法则： ()即：二次根式相乘，把 相乘，根指数 ；
(2)进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a，b均为 这一条件。
(3)推广
① (a≥0，b≥0，c≥0)；
② ；
③ 和 在二次根式的乘法中任然可应用。
(3)若二次根式相乘的结果能写成 的形式，则应化简，如.
知识点02二次根式乘法法则的逆用
(1)计算法则： (a≥0，b≥0)即积的算术平方根等于积中各因式的
利用这个性质可以把二次根式 ，在进行二次根式的化简运算时，先将被开方数进行因式分解或 ，然后再将能 的因式或因数开方后移到根号外。
注：
(1)公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0，实际上，公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可，如≠．。
(2)在本章中如果没有特别说明，所有的字母都表示正数。
推广：= (a≥0，b≥0，c≥0，d≥0)
知识点03二次根式的除法法则
计算公式： (a≥0，b＞0)即：二次根式相除，把 相除，根指数不变。
注：(1)a必须是非负数，b必须是正数，式子才成立。若a，b都是负数，虽然＞0，有意义，但，在实数范围内无意义；若b=0，则无意义。
(2)如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数，如必须先化成，以免出现=×这样的错误。
(3在二次根式的计算中，最后结果应不含 的因数或因式，同时分母中不含 。
知识点04 二次根式除法法则的逆用
(1) (a≥0，b＞0)即商的算术平方根等于被除式的 除以除式的 。
注：公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b＞0。公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要≥0即可。例如计算，不能写为，而应写为 。
利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数(或分式)的二次根式时，先将其化为(a≥0，b＞0)的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可。当被开方数是带分数时，应先把它化成 。
常见的二次根式化简：① ；②
③

知识点05最简二次根式的概念
概念：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
(1)被开方数不含 ；(2)被开方数中不含 的因数或因式。
注意，对于最简二次根式的概念我们可作如下解释：
(1)被开方数中不含分母，因此被开方数 或 ；
(2)被开方数中每一个因数或因式的指数都是 。
化简二次根式的一般方法
方法
举例
将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方
= ，=
化去根号下的分母
若被开方数中含有带分数，应先将带分数
化成
= 或=
若被开方数中含有小数，应先将小数
化成
= 或=
被开方数是多项式的要先进行因式分解
=

拓展：
分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化。
分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式(两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式)，化去分母中的根号。
分母有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜。
常用的有理化因式有：与；与；与；+与 ；a+c与 等。

能力拓展

考法01 二次根式乘除法法则成立的条件
【典例1】等式＝成立的条件是( )
A．x＞0 B．x＜1 C．0≤x＜1 D．x≥0且x≠1
【即学即练】等式成立的条件是_____．
【即学即练】如果代数式，那么m的取值范围是_____________
【典例2】下列计算正确的是( )
A． B．
C． D．
【即学即练】下列结论中，对于实数、，成立的个数有( )
①；  ②；   ③；   ④．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
考法02 最简二次根式
【典例3】下列式子中，属于最简二次根式的是( )
A． B． C． D．
【即学即练】下列二次根式中，是最简二次根式的是　　
A． B． C． D．
【即学即练】下列各式属于最简二次根式的有( )
A． B． C． D．
【即学即练】根式中，最简二次根式有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【典例4】若最简二次根式与的被开方数相同,则a的值为( )
A．- B． C．1 D．-1
【典例5】若，则的值用、可以表示为 (　 　)
A． B． C． D．
考法03 二次根式的化简
【典例6】把下列各式化成最简二次根式：
(1)______；(2)______；(3)______；(4)______；
(5)______；(6)______；(7)______；(8)______．
【即学即练】把下列各式化成最简二次根式：
=__； =__； =__．
【即学即练】化简二次根式的结果为( )
A．﹣2a B．2a C．2a D．﹣2a
【即学即练】若a、b、c均为实数,且a、b、c均不为0化简___________
【即学即练】已知实数，则a的倒数为________．
【典例7】已知：是整数，则满足条件的最小正整数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【即学即练】已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是_______．
【即学即练】已知是正整数，则正整数的最小值是_______________________．

考法03 二次根式的乘法混合运算
【典例8】计算的结果正确的是( )．
A．1 B． C．5 D．9
【即学即练】计算2×÷3的结果是(　　)
A． B． C． D．
【即学即练】计算：÷
【即学即练】计算所得的结果是______________．
【典例9】计算：(－)2(5＋2)＝____．
【即学即练】计算：=__________
【典例9】计算:
【即学即练】计算：
【即学即练】计算：
考法04 利用二次根式的性质把根号外的非负因数(式)移到根号内
【典例10】把根号外面的因式移到根号内得(    )
A． B． C． D．-1
【即学即练】将式子﹣(m﹣n)化为最简二次根式_____．
【即学即练】把根号外的因式移入根号内，其结果是(　　)
A． B．﹣ C． D．﹣
【即学即练】已知：a=，b=，则a与b的关系是(　　)
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方相等
考法05 二次根式的大小比较
【典例11】二次根式的大小比较：________．【即学即练】比较二次根式的大小：__________(填“”).
【即学即练】比较大小：______3(填“＞”、“＜”或“＝”)．
【即学即练】估算比较大小：_______；______．
【即学即练】若[]表示实数的整数部分，例如：[]=3，则[]=___．

分层提分


题组A 基础过关练
1．下列计算正确的是( )
A． B．
C． D．
2．有下列各式①；②；③；④；⑤；⑥．其中最简二次根式有(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列各式计算正确的是( )
A． B． C． D．
4．已知是整数，则满足条件的最小正整数为( ).
A．2 B．3 C．4 D．5
5．计算，结果为( )
A． B． C． D．
6．计算的结果是(　　)
A． B． C． D．
7．如果，则x( )
A． B． C． D．x取任意数
8．·等于(　　)
A．a B．12a2b C．a2 D．2a
题组B 能力提升练
1．在二次根式，，，中，是最简二次根式的是_____．
2．计算下列各式，使得结果的分母中不含有二次根式：
(1)_______(2)_________(3)__________(4)__________
3．计算：____．
4．计算：__________．
5．计算：3÷×＝___________
6．计算：______．
7．计算的结果是______________．
8．若，则代数式 _______________________．
9．化简：＝___．
题组C 培优拔尖练
1．计算：
2．(1)
(2)
3．计算(1)． (2)．
(3)． (4)．
4．计算:
(1);
(2);
(3)
5．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)．

第02课 二次根式的乘除

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课程标准
3、 掌握二次根式的乘除法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.
4、 了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.

知识精讲

知识点01 二次根式的乘法法则
(1)计算法则：()即：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变；
(2)进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a，b均为非负数这一条件。
(3)推广
① (a≥0，b≥0，c≥0)；
②；
③乘法交换律和结合律在二次根式的乘法中任然可应用。
(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.
知识点02二次根式乘法法则的逆用
(1)计算法则：(a≥0，b≥0)即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；
利用这个性质可以把二次根式化简，在进行二次根式的化简运算时，先将被开方数进行因式分解或因数分解，然后再将能开得尽方的因式或因数开方后移到根号外。
注：
(1)公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0，实际上，公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可，如≠．。
(2)在本章中如果没有特别说明，所有的字母都表示正数。
推广：=．．．(a≥0，b≥0，c≥0，d≥0)
知识点03二次根式的除法法则
计算公式：(a≥0，b＞0)即：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。
注：(1)a必须是非负数，b必须是正数，式子才成立。若a，b都是负数，虽然＞0，有意义，但，在实数范围内无意义；若b=0，则无意义。
(2)如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数，如必须先化成，以免出现=×这样的错误。
(3)在二次根式的计算中，最后结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式。
知识点04 二次根式除法法则的逆用
(1)(a≥0，b＞0)即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
注：公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b＞0。公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要≥0即可。例如计算，不能写为，而应写为 。
利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数(或分式)的二次根式时，先将其化为(a≥0，b＞0)的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可。当被开方数是带分数时，应先把它化成假分数。
常见的二次根式化简：① ；②
③

知识点05最简二次根式的概念
概念：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
注意，对于最简二次根式的概念我们可作如下解释：
(1)被开方数中不含分母，因此被开方数是整数或整式；
(2)被开方数中每一个因数或因式的指数都是1。
化简二次根式的一般方法
方法
举例
将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方
==2，==xy2
化去根号下的分母
若被开方数中含有带分数，应先将带分数
化成假分数
===或====
若被开方数中含有小数，应先将小数
化成分数
===或====
被开方数是多项式的要先进行因式分解
===(x2+y2)

拓展：
分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化。
分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式(两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式)，化去分母中的根号。
分母有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜。
常用的有理化因式有：与；与；与；+与-；a+c与a-c等。

能力拓展

考法01 二次根式乘除法法则成立的条件
【典例1】等式＝成立的条件是( )
A．x＞0 B．x＜1 C．0≤x＜1 D．x≥0且x≠1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次根式的被开方数必须是非负数，而且分母不能为0，可得x≥0，1-x＞0，解不等式组即可．
【详解】
解：由题意得， ,
解得：0≤x＜1．
故答案为：C.
【点睛】
本题主要考查了二次根式的乘除法运算和二次根式有意义的条件．二次根式的被开方数是非负数，分母不为0，是本题确定取值范围的主要依据．
【即学即练】等式成立的条件是_____．
【答案】﹣1≤a＜3
【分析】
根据负数没有算术平方根列出不等式组，求出解集即可．
【详解】
依题意，得：，解得：﹣1≤a＜3
【点睛】
此题考查二次根式的乘除法，解题关键在于掌握运算法则
【即学即练】如果代数式，那么m的取值范围是_____________
【答案】m＞4.
【分析】
根据二次根式除法法则和分式有意义的条件，列出不等式组即可解答.
【详解】
∵成立，
∴2m-1≥0，m-4＞0，
解得：m＞4，
故答案为：m＞4.
【点睛】
此题考查二次根式的乘除法，解题关键在于掌握运算法则.
【典例2】下列计算正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
A选项：，计算错误，故与题意不符；
B选项：，计算步骤有误，故与题意不符;
C选项：，计算错误，故与题意不符；
D选项：＝=5，计算正确，故与题意相符.
故选D.
【即学即练】下列结论中，对于实数、，成立的个数有( )
①；  ②；   ③；   ④．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】
根据二次根式有意义的条件结合二次根式的乘除法及二次根式的性质逐一分析四条结论的正误，由此即可得出结论．
【详解】
①当a、b均为负时，、无意义，
∴①不成立；
②∵在中，a＞0，b≥0，
∴≥0，
∴＝，②成立；
③∵＝|a|，
∴③不成立；
④∵＝|a2|＝a2，
∴④成立．
综上可知：成立的结论有②④．
故选C．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件、二次根式的乘除法以及二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的乘除法及二次根式的性质是解题的关键．
考法02 最简二次根式
【典例3】下列式子中，属于最简二次根式的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件　(1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是.
∵，∴属于最简二次根式.故选B.
【即学即练】下列二次根式中，是最简二次根式的是　　
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据最简二次根式的定义对各选项分析判断利用排除法求解．
【详解】
A、不是最简二次根式，错误；
B、是最简二次根式，正确；
C、不是最简二次根式，错误；
D、不是最简二次根式，错误，
故选B．
【点睛】
本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
【即学即练】下列各式属于最简二次根式的有( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可．
【详解】
A选项：，故不是最简二次根式，故A选项错误；
B选项：是最简二次根式，故B选项正确；
C选项：，故不是最简二次根式，故本选项错误；
D选项：，故不是最简二次根式，故D选项错误；
故选B．
【点睛】
考查了对最简二次根式的定义的理解，能理解最简二次根式的定义是解此题的关键．
【即学即练】根式中，最简二次根式有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
根据最简二次根式的定义判断即可．
【详解】
解：这些当中不是最简二次根式
是三次根式，故本题是最简二次根式的是
因此本题有2个，
故选：B
【点睛】
本题考查最简二次根式的定义，理解好定义解题的关键．
【典例4】若最简二次根式与的被开方数相同,则a的值为( )
A．- B． C．1 D．-1
【答案】C
【分析】
根据最简二次根式的定义可知=，解出a即可.
【详解】
依题意=，解得a=1，选C.
【点睛】
此题主要考查最简二次根式的定义，解题的关键是找到被开方数相等.
【典例5】若，则的值用、可以表示为 (　 　)
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据化简即可．
【详解】
=．
故选C．
【点睛】
此题的关键是把写成的形式．
考法03 二次根式的化简
【典例6】把下列各式化成最简二次根式：
(1)______；(2)______；(3)______；(4)______；
(5)______；(6)______；(7)______；(8)______．
【答案】
【解析】
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)．
故答案为(1). (2). (3). (4). (5). (6). (7). (8). .
【即学即练】把下列各式化成最简二次根式：
=__； =__； =__．
【答案】 ．
【解析】
==；
===；
===．
故答案为；；．
【即学即练】化简二次根式的结果为( )
A．﹣2a B．2a C．2a D．﹣2a
【答案】A
【分析】
利用根式化简即可解答.
【详解】
解：∵﹣8a3≥0，
∴a≤0
∴＝2|a|
＝﹣2a
故选A．
【点睛】
本题考查二次根式性质与化简，熟悉掌握运算法则是解题关键.
【即学即练】若a、b、c均为实数,且a、b、c均不为0化简___________
【答案】
【详解】
根据题意，由二次根式的性质，可知a的值与计算没影响，c≥0，b≠0，因此可分为：
当b＞0时，=；
当b＜0时，=.
故答案为.
【即学即练】已知实数，则a的倒数为________．
【答案】
【分析】
直接利用倒数的定义结合二次根式的性质化简得出答案．
【详解】
解：∵实数，
∴a的倒数为：．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了实数的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
【典例7】已知：是整数，则满足条件的最小正整数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【详解】
试题解析：∵=，且是整数，
∴2是整数，即5n是完全平方数，
∴n的最小正整数为5．
故选D．
点睛：主要考查了乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．二次根式的运算法则：乘法法则．除法法则．解题关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式．
【即学即练】已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是_______．
【答案】15
【分析】
把135分解因数即可确定．
【详解】
∵135=32×3×5=32×15，
∴n的最小值是15．
故答案是：15．
【点睛】
此题考查乘除法法则和二次根式有意义的条件．解题关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式．
【即学即练】已知是正整数，则正整数的最小值是_______________________．
【答案】2
【分析】
由题意可得：18n是一个完全平方数，据此解答即可．
【详解】
解：，
∵n是正整数，也是正整数，
∴n的最小整数值是2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查的是二次根式的定义和二次根式的化简，属于常考题型，熟练掌握二次根式的基本知识是解题的关键．

考法03 二次根式的乘法混合运算
【典例8】计算的结果正确的是( )．
A．1 B． C．5 D．9
【答案】A
【分析】
利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果．
【详解】
解：


，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【即学即练】计算2×÷3的结果是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据二次根式的运算法则，按照运算顺序进行计算即可．
【详解】
2=(23)．
故选A．
【点睛】
本题考查了二次根式的运算，根据运算顺序准确计算是解题的关键．
【即学即练】计算：÷
【答案】
【分析】
先进行分母有理化，再根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可.
【详解】
解：原式=


=
故答案为.
【点睛】
本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式分母有理化，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
【即学即练】计算所得的结果是______________．
【答案】1
【分析】
由于二次根式的乘除运算是同级运算，从左到右依次计算即可．
【详解】
原式1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了二次根式的乘除法运算；由于后两项互为倒数，有些同学往往先将它们约分，从而得出结果为5的错误结论，需注意的是同级运算要从左到右依次计算．
【典例9】计算：(－)2(5＋2)＝____．
【答案】1
【分析】
先根据完全平方公式和乘法公式展开计算可得:,再根据平方差公式进行计算即可求解.
【详解】
(－)2(5＋2),
=,
=25-24,
=1,
故答案为1.
【点睛】
本题主要考查二次根式的乘法,解决本题的关键是要熟练掌握完全平方公式和平方差公式.
【即学即练】计算：=__________
【答案】
【分析】
首先根据乘方的意义和积的乘方化简，再进一步计算得出答案即可．
【详解】
原式= (2+3)
= (2+3)
=− (2+3)
=
故答案为.
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算．
【典例9】计算:
【答案】
【分析】
根据二次根式的乘除运算法则计算即可.
【详解】
解：原式=
=
=
=
=.
【点睛】
本题考查二次根式的乘除计算，掌握二次根式乘除运算法则是解题关键.
【即学即练】计算：
【答案】
【分析】
利用二次根式的运算法则计算即可.
【详解】
解：原式



【点睛】
本题考查二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键.
【即学即练】计算：
【答案】
【分析】
先化简，再根据二次根式乘除法法则计算即可得答案.
【详解】

=4a÷a·
=4·
=
【点睛】
本题考查二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键.
考法04 利用二次根式的性质把根号外的非负因数(式)移到根号内
【典例10】把根号外面的因式移到根号内得(    )
A． B． C． D．-1
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用二次根式的性质得出a的符号进而化简求出答案．
【详解】
由题意可知a＜0，
∴=-=-．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
【即学即练】将式子﹣(m﹣n)化为最简二次根式_____．
【答案】
【分析】
根据二次根式的性质即可求出答案．
【详解】
由题意可知：m﹣n＜0，∴n﹣m＞0，∴原式＝﹣(m﹣n)•．
故答案为．
【点睛】
本题考查了最简二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
【即学即练】把根号外的因式移入根号内，其结果是(　　)
A． B．﹣ C． D．﹣
【答案】B
【分析】
先根据二次根式有意义的条件求出a-10,再根据二次根式的性质把根号外的因式平方后移入根号内, 注意:当时,,时,,即可得出答案.
【详解】
解：∵根式有意义,
∴,解得：,
∴a-10,
∴=﹣,
故选B.
【点睛】
本题考查了二次根式的性质的应用,难度较大,熟悉根式的性质是解题关键.
【即学即练】已知：a=，b=，则a与b的关系是(　　)
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方相等
【答案】C
【详解】
因为,故选C.
考法05 二次根式的大小比较
【典例11】二次根式的大小比较：________．
【答案】
【分析】
由题意利用作差法进行分析计算后与0比较大小，进而即可得出答案．
【详解】
解：，
又，
，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查二次根式的大小比较，注意掌握常见的利用作差法进行大小比较，当则，当则．
【即学即练】比较二次根式的大小：__________(填“”).
【答案】