【全套精品专题】初中数学同步 9年级上册 第03课 一元二次方程的解法（三）公式法（教师版含解析）

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第03课 一元二次方程的解法(三)--公式法
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课程标准
课标解读
1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念；
2.能熟练应用公式法解一元二次方程；

通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．

知识精讲

知识点01 公式法解一元二次方程
1.一元二次方程的求根公式
一元二次方程，推导过程：







当 时， .
【知识拓展】
用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：
① ；
② ；
③ ；
④ ；
若 ，则原方程无实根.
【注意】任意一元二次方程都可以用公式法求解。
【微点拨】
(1)虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.
(2)一元二次方程，用配方法将其变形为：.
①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：.
② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：.
③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.
知识点02 一元二次方程根的判别式
在推导过程中，出现的代数式称为一元二次方程根的判别式；
1、根的判别式是判断一个一元二次方程根的情况的关键公式：
根的判别式△的正负性
一元二次方程根的情况

原方程有两个不等的实数根： ，

原方程有两个相等的实数根


2、已知方程跟的情况，判断参数取值范围，会将根的情况转化为根的判别式的取值范围(不等式)：
一元二次方程根的情况
判别式的取值范围
有两个不相等的实数根

有两个相等的实数根

没有实数根

有两个实数根

有实数根

【注意】当二次项系数中含有字母时，要考虑二次项系数不为零。
能力拓展

考法01 公式法解一元二次方程
【典例1】用公式法解下列方程．
(1) ； (2)； (3) ．

【即时训练1】用公式法解方程： ．

【典例2】用公式法解下列方程：
(1) ； (2) ； (3) ．

【即时训练2】用公式法解下列方程：；
考法02 根的判别式的应用
【典例3】关于的一元二次方程，下列说法正确的是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【即学即练3】下列一元二次方程中，没有实数根的是( )
A． B．
C． D．
【即学即练4】一元二次方程的根的情况是( )
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根

【典例4】关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是( )
A． B．且 C． D．且
【即学即练5】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【即学即练6】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为( )
A． B． C． D．
【即学即练7】若关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+x+1=0有两个实数根，则m的取值范围是( )
A．m≤ B．m＞ C．m≤且m≠1 D．m＜且m≠1
分层提分

题组A 基础过关练
1．用公式法解方程x2﹣4x﹣2＝0，其中b2﹣4ac的值是( )
A．16 B．24 C．8 D．4
2．用公式法解方程，其中求得的值是( ).
A．16 B．
C．32 D．64
3．一元二次方程的解是( )
A． B． C． D．
4．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是(　　)
A．x2+6x+9=0 B．x2=x C．x2+3=2x D．(x﹣1)2+1=0
5．下列方程中，没有实数根的是(　　)
A．x2﹣2x=0 B．x2﹣2x﹣1=0 C．x2﹣2x+1 =0 D．x2﹣2x+2=0
6．关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是( )
A．q16
C．q≤4 D．q≥4
7．若关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　　)
A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1
题组B 能力提升练
1．已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是(　　)
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
2． 是下列哪个一元二次方程的根( )
A． B． C． D．
3．若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为(　　)
A．﹣1 B．0 C．1或﹣1 D．2或0
4．若关于x的方程kx2﹣3x﹣=0有实数根，则实数k的取值范围是(　　)
A．k=0 B．k≥﹣1 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1
5．已知关于x的方程(k﹣2)2x2+(2k+1)x+1＝0有实数根，则k的取值范围是(　　)
A．k＞且k≠2 B．k≥且k≠2 C．k＞ D．k≥
6．方程有两个实数根，则的取值范围( )
A． B．且 C． D．且
7．已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程﹣6+k+2=0的两个根，则k的值等于(　　)
A．7 B．7或6 C．6或﹣7 D．6
8．若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过第(　　)象限．
A．四 B．三 C．二 D．一
题组C 培优拔尖练
1．已知关于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有两个相等的实数根，下列判断正确的是(　　)
A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根
B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根
C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根
D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根
2．已知实数满足，则代数式的值是( )
A．7 B．-1 C．7或-1 D．-5或3
3．若关于 的方程 有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则 的取值范围是________.
4．已知关于x的方程x2﹣(2k+1)x+k2+1＝0．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
(2)若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k＝2，求该矩形的对角线L的长．
5．关于x的一元二次方程x2﹣(m﹣3)x﹣m2=0．
(1)证明：方程总有两个不相等的实数根；
(2)设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根．
6．已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a﹣c)=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
(1)如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．




































第03课 一元二次方程的解法(三)--公式法
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课程标准
课标解读
1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念；
2.能熟练应用公式法解一元二次方程；

通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．

知识精讲

知识点01 公式法解一元二次方程
1.一元二次方程的求根公式
一元二次方程，推导过程：

当时，.
【知识拓展】
用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：
①把一元二次方程化为一般形式；
②确定a、b、c的值(要注意系数前的符号)；
③求出根的判别式 的值；
④若，则利用公式求出原方程的解；
若，则原方程无实根.
【注意】任意一元二次方程都可以用公式法求解。
【微点拨】
(1)虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.
(2)一元二次方程，用配方法将其变形为：.
①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：.
② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：.
③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.
知识点02 一元二次方程根的判别式
在推导过程中，出现的代数式称为一元二次方程根的判别式；
1、根的判别式是判断一个一元二次方程根的情况的关键公式：
根的判别式△的正负性
一元二次方程根的情况

原方程有两个不等的实数根：，

原方程有两个相等的实数根

原方程没有实数根
2、已知方程跟的情况，判断参数取值范围，会将根的情况转化为根的判别式的取值范围(不等式)：
一元二次方程根的情况
判别式的取值范围
有两个不相等的实数根

有两个相等的实数根

没有实数根

有两个实数根

有实数根

【注意】当二次项系数中含有字母时，要考虑二次项系数不为零。
能力拓展

考法01 公式法解一元二次方程
【典例1】用公式法解下列方程．
(1) ； (2)； (3) ．
【解析】
(1) a=1，b=3，c=1
∴x==．
∴x1=，x2=．
(2)原方程化为一般形式，得．
∵，，，
∴．
∴，即，．
(3) ∵a=2，b=3，c=﹣1
∴b2﹣4ac=17＞0
∴x=
∴x1=，x2=．
【点睛】
用公式法解一元二次方程的关键是对a、b、c的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a，b，c的值并计算的值；(3)若是非负数，用公式法求解．

【即时训练1】用公式法解方程： ．
【答案】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣2；
∴b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×1×(﹣2)=9+8=17；
∴x=
=，
∴x1=，x2=．

【典例2】用公式法解下列方程：
(1) ； (2) ； (3) ．
【分析】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c的值，代入求值即可.
【解析】
解：(1)∵2x2+x﹣2=0，
∴a=2，b=1，c=﹣2，
∴x===，
∴x1=，x2=．
(2) ∵a=3，b=﹣6，c=﹣2，
∴b2﹣4ac=36+24=60＞0，
∴x=，
∴x1=，x2=
(3)∵a=1，b=﹣3，b=﹣7．
∴b2﹣4ac=9+28=37.
x= = ，
解得 x1=，x2=．
【总结升华】
首先把每个方程化成一般形式，确定出a、b、c的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根．

【即时训练2】用公式法解下列方程：；
【答案】
解：移项，得．
∵ ，，，，
∴ ，
∴ ，．
考法02 根的判别式的应用
【典例3】关于的一元二次方程，下列说法正确的是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】C
【分析】
根据根的判别式即可得出答案．
【详解】
解：

原方程没有实数根，
故选C．
【点睛】
本题考查的是根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
【即学即练3】下列一元二次方程中，没有实数根的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
分别计算每个一元二次方程的根的判别式，从而可得答案．
【详解】
解： ，

方程有两个相等的实数根，故不符合题意；
，

方程没有实数根，故符合题意；
，

方程有两个不相等的实数根，故不符合题意；
，
则

方程有两个不相等的实数根，故不符合题意；
故选：
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握“利用一元二次方程根的判别式的值大于或等于，原方程有两个实数根，判别式的值小于 原方程没有实数根．”是解题的关键．
【即学即练4】一元二次方程的根的情况是( )
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
【答案】D
【分析】
先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】
解：
∴一元二次方程有两个相等的实数根
故选：D
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．

【典例4】关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是( )
A． B．且 C． D．且
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△≥0，然后解不等式组，即可得到k的取值范围．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程有实根，
∴k≠0，且△＝(−6)2−4k×3＝−12k＋36，
∵方程有实数解，
∴△≥0，
∴−12k＋36≥0，
∴k≤3，
∴k的取值范围是：k≤3且k≠0．
故选：D．
【点睛】
此题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式△＝b2−4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
【即学即练5】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
直接根据一元二次方程根的判别式的值的符号来判断即可．
【详解】
∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，，
故选：A．
【点睛】
本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系为：①，方程有两个不相等的实数根；②，方程有两个相等的实数根；③，方程没有实数根，解答本题的关键是利用判别式判断一元二次方程根的个数．
【即学即练6】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程的根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围即可．
【详解】
解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
△，
．
故选：B．
【点睛】
此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△方程有两个不相等的实数根；(2)△方程有两个相等的实数根；(3)△方程没有实数根．
【即学即练7】若关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+x+1=0有两个实数根，则m的取值范围是( )
A．m≤ B．m＞ C．m≤且m≠1 D．m＜且m≠1
【答案】C
【分析】
利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到m-1≠0且△=12-4(m-1)×1≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】
解：∵，，，
，
根据题意得m-1≠0且，
解得且．
故选：C．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
分层提分

题组A 基础过关练
1．用公式法解方程x2﹣4x﹣2＝0，其中b2﹣4ac的值是( )
A．16 B．24 C．8 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
将a、b、c的值代入b2﹣4ac可得答案.
【详解】
解:由题意得：a=1,b=-4,c=-2,
b2﹣4ac==16+8=24
所以B选项是正确的.
【点睛】
本题主要考查公式法解一元二次方程.
2．用公式法解方程，其中求得的值是( ).
A．16 B．
C．32 D．64
【答案】D
【分析】
先将方程化为一般形式，然后计算即可.
【详解】
解：方程整理得：，
∴，，，
∴，
故选D.
【点睛】
此题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解此题的关键．
3．一元二次方程的解是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先观察再确定方法解方程，此题可以采用公式法或配方法．采用公式法时首先要将方程化简为一般式．
【详解】
将化为一般形式得，
所以，
所以方程的解是．故选A．
【点睛】
此题考查解一元二次方程-公式法，解题关键在于把方程转化为一般形式.
4．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是(　　)
A．x2+6x+9=0 B．x2=x C．x2+3=2x D．(x﹣1)2+1=0
【答案】B
【解析】
分析：根据一元二次方程根的判别式判断即可．
详解：A、x2+6x+9=0.
△=62-4×9=36-36=0，
方程有两个相等实数根；
B、x2=x.
x2-x=0.
△=(-1)2-4×1×0=1＞0.
方程有两个不相等实数根；
C、x2+3=2x.
x2-2x+3=0.
△=(-2)2-4×1×3=-8＜0，
方程无实根；
D、(x-1)2+1=0.
(x-1)2=-1，
则方程无实根；
故选B．
点睛：本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
5．下列方程中，没有实数根的是(　　)
A．x2﹣2x=0 B．x2﹣2x﹣1=0 C．x2﹣2x+1 =0 D．x2﹣2x+2=0
【答案】D
【分析】
分别计算各方程的根的判别式的值，然后根据判别式的意义判定方程根的情况即可．
【详解】
A、△=(﹣2)2﹣4×1×0=4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项错误；
B、△=(﹣2)2﹣4×1×(﹣1)=8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；
C、△=(﹣2)2﹣4×1×1=0，方程有两个相等的实数根，所以C选项错误；
D、△=(﹣2)2﹣4×1×2=﹣4＜0，方程没有实数根，所以D选项正确．
故选D．
6．关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是( )
A．q16
C．q≤4 D．q≥4
【答案】A
【详解】
∵关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，
∴△>0，即82-4q>0，
∴q