【全套精品专题】初中数学同步 9年级上册 第04课一元二次方程的解法（三）因式分解法（教师版含解析）
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第04课 一元二次方程的解法(三)--因式分解法
目标导航
课程标准
课标解读
1.掌握因式分解法解方程的原理和常见方法；
2.掌握基础的十字相乘法解方程的简便算法。
掌握一元二次方程的简便算法；
知识精讲
知识点01 因式分解法解一元二次方程
因式分解法的原理为：如果 ，那么 或 ；推广到一元二次方程中：
若一元二次方程 ，那么 或 ，解得两个实数根。
1.c特殊因式分解法解一元二次方程：
我们已知中，c=0时，方程必有一根为0：
因此，当一元二次方程中常数项c=0时，该一元二次方程可以用因式分解法简便运算。
2.常用的因式分解法
提公因式分法，公式法(平方差公式、完全平方公式)，十字相乘法等.
提公因式法
使用场景：
有公因式，可将多项式化为乘积方式；
完全平方公式法
使用场景：
等号一侧为完全平方式(即计算△=0)
平方差公式法
使用场景：
平方减平方形式：例如
十字相乘法
使用场景：
前两种方法都不能用时；
【知识拓展】
(1)能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；
(2)用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；
(3)用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.
知识点02十字相乘法解一元二次方程
若一元二次方程 有两个实数根，那么可以将一元二次方程写成：
，化简得；有对应相等得：
可得：当二次项系数为1时，一次项系数b为两实数根和的相反数；常数项c为两实数根的积；
对于简单的方程可以进行因式分解法解方程来简化运算。
【即学即练】
序号
一元二次方程
十字相乘法分解结果
①
②
③
④
⑤
能力拓展
考法01 因式分解法解方程
【典例1】；
【即学即练1】
【即学即练2】3x(x﹣1)＝2﹣2x
【即学即练3】
【典例3】．
【即学即练4】(x+2)2+6(x+2)﹣91=0；
【典例4】
【即学即练5】；
考法02 十字相乘法解方程
【典例5】
【即学即练6】
【即学即练7】
题组A 基础过关练
1．方程的根是( )
A．x=2 B．x=0 C．x1=0，x2=-2 D． x1=0，x2=2
2．若关于 x的方程 的一个根是0，则另一个根是( )
3．若方程，则的值为
A． B． C． D．7或
4．方程的解是
A． B． C． D．
5．一元二次方程的根是
A．﹣1 B．2 C．1和2 D．﹣1和2
6．经计算整式 x+1与 x-4的积为 ，则 =0的所有根为( )
A．
B．
C．
D．
7．解方程(5x﹣1)2=3(5x﹣1)的适当方法是( )
A．开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
8．方程 正确解法是( )
A．直接开方得
B．化为一般形式
C．分解因式得
D．直接得 x+1=0或 x-1=0
9．选择适当的方法解下列方程：
(1)x2－4x－3＝0； (2)x(x＋2)＝3(x＋2)．
题组B 能力提升练
1．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是( )
A．，∴或
B．，∴或
C．，∴或
D．，∴
2．若关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实根分别为5，﹣6，则二次三项式x2+mx+n可分解为( )
A．(x+5)(x﹣6) B．(x﹣5)(x+6) C．(x+5)(x+6) D．(x﹣5)(x﹣6)
3．一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是( )
A．12 B．9 C．13 D．12或9
4．若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值( )
A．0 B．1或2 C．1 D．2
5．若 ，则 的值为( ).
A．－3
B．－1或4
C．4
D．无法计算
6．已知关于x的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则m的值为_____．
7．方程和方程同解，________．
8．已知实数满足，则代数式的值为________．
题组C 培优拔尖练
1．方程(x+1)(x-3)=5的解是
A．x1=1，x2=-3 B．x1=4，x2=-2
C．x1=-1，x2=3 D．x1=-4，x2=2
2．方程的根的个数是( )
A．4 B．2 C．1 D．0
3．方程的解是________．
4．已知方程x2＋x﹣＝2，则2x2＋2x＝_____．
5．已知c为实数，并且方程x2﹣3x+c=0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣c=0的一个根，则方程x2+3x﹣c=0的解是______．
第04课 一元二次方程的解法(三)--因式分解法
目标导航
课程标准
课标解读
1.掌握因式分解法解方程的原理和常见方法；
2.掌握基础的十字相乘法解方程的简便算法。
掌握一元二次方程的简便算法；
知识精讲
知识点01 因式分解法解一元二次方程
因式分解法的原理为：如果 ，那么 或 ；推广到一元二次方程中：
若一元二次方程 ，那么或，解得两个实数根。
1.c特殊因式分解法解一元二次方程：
我们已知中，c=0时，方程必有一根为0：
因此，当一元二次方程中常数项c=0时，该一元二次方程可以用因式分解法简便运算。
2.常用的因式分解法
提公因式分法，公式法(平方差公式、完全平方公式)，十字相乘法等.
提公因式法
使用场景：
有公因式，可将多项式化为乘积方式；
完全平方公式法
使用场景：
等号一侧为完全平方式(即计算△=0)
平方差公式法
使用场景：
平方减平方形式：例如
十字相乘法
使用场景：
前两种方法都不能用时；
【知识拓展】
(1)能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；
(2)用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；
(3)用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.
知识点02十字相乘法解一元二次方程
若一元二次方程 有两个实数根，那么可以将一元二次方程写成：
，化简得；有对应相等得：
可得：当二次项系数为1时，一次项系数b为两实数根和的相反数；常数项c为两实数根的积；
对于简单的方程可以进行因式分解法解方程来简化运算。
【即学即练】
序号
一元二次方程
十字相乘法分解结果
①
②
③
④
⑤
能力拓展
考法01 因式分解法解方程
【典例1】；
【答案】
(1)或；
【详解】
解：(1)原方程可化为：
解得：，
【典例2】
【答案】x1=3，x2=-1；
【分析】(1)移项，再利用因式分解法求解可得．
【详解】解：(1)，
移项化简可得：，
∴x-3=0，x+1=0，
解得：x1=3，x2=-1．
【即学即练1】
【答案】x1=2，x2=3
【分析】利用因式分解法求解即可．
【详解】，
∴，
∴，
∴4-2x=0或x-3=0，
解得：x1=2，x2=3．
【即学即练2】3x(x﹣1)＝2﹣2x
【答案】x1＝1，x2＝．
【分析】将等号左边的式子移动到等号右边,然后根据提公因式法进行因式分解,再进行解一元一次方程即可求解,
【详解】3x(x﹣1)+2(x﹣1)＝0,
(x﹣1)(3x+2)＝0,
x﹣1＝0或3x+2＝0,
所以x1＝1,x2＝﹣．
【即学即练3】
【答案】.
【分析】把x-1看做一个整体，先移项，再利用因式分解法，化为ab=0的形式解方程即可.
【详解】
移项得-x(x-1)=0
(x-1)[4(x-1)-x]=0
即x-1=0或3x-4=0
解得
【典例3】．
【答案】或．
【分析】
利用直接开平方法把方程化为：从而可得答案．
【详解】
原方程可化为：
由此得出： 或
解得： ，．
【点睛】
本题考查的是因式分解法，直接开平方法解一元二次方程，掌握以上解一元二次方程的方法是解题的关键．
【即学即练4】(x+2)2+6(x+2)﹣91=0；
【答案】(1) x1=5, x2=﹣15
【解析】(x+2)2+6(x+2)﹣91=0；
设y=x+2，则原方程可变形为：
y2+6y﹣91=0，
解得：y1=7，y2=﹣13，
当y1=7时，x+2=7，
x1=5；
当y2=﹣13时，x+2=﹣13，
x2=﹣15；
【典例4】
【答案】x1＝0，x2＝；
【分析】
将等号左边的式子移动到等号右边,然后根据平方差公式进行因式分解,再进行解一元一次方程即可求解；
【详解】
3x﹣1＝±(x﹣1),
即3x﹣1＝x﹣1或3x﹣1＝﹣(x﹣1),
所以x1＝0,x2＝；
【点睛】
本题主要考查因式分解法解一元二次方程,解决本题的关键是要熟练掌握因式分解的方法.
【即学即练5】；
【答案】；
【分析】先移项，然后按平方差公式因式分解，即可ab=0方式解方程即可；
【详解】，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
考法02 十字相乘法解方程
【典例5】
【答案】
【分析】根据十字相乘法因式分解后，按ab=0方式解方程即可；
【详解】，
∴ ，
∴ ；
【即学即练6】
【答案】
【分析】利用因式分解法解方程得出答案；
【详解】
解得：
【即学即练7】
【答案】，
【分析】把方程左边进行因式分解得到(x-9)(x-1)=0，再解两个一元一次方程即可；
【详解】∵，
∴，
∴或，
∴，；
分层提分
题组A 基础过关练
1．方程的根是( )
A．x=2 B．x=0 C．x1=0，x2=-2 D． x1=0，x2=2
【答案】C
【解析】
试题解析：x(x+2)=0，
⇒x=0或x+2=0，
解得x1=0，x2=-2．
故选C．
2．若关于 x的方程 的一个根是0，则另一个根是( )
A．1
B．－1
C．5
D．
【答案】C
【解析】
根据方程的解，可直接把x=0代入，可得k=0，则原方程为，因式分解为x(x-5)=0，解得x=0或x=5，另一个解为x=5.
故选C.
3．若方程，则的值为
A． B． C． D．7或
【答案】D
【分析】
根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到x的值，将x的值代入中，即可求出值．
【详解】
方程，可得或，解得：，当时，；当时，．
故选D．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程因式分解法，利用此方法解方程时首先将方程右边化为0，左边的多项式分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
4．方程的解是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
．故选D．
5．一元二次方程的根是
A．﹣1 B．2 C．1和2 D．﹣1和2
【答案】D
【分析】
先移项得到，然后利用提公因式因式分解，最后转化为两个一元一次方程，解方程即可.
【详解】
,
故选D.
6．经计算整式 x+1与 x-4的积为 ，则 =0的所有根为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
根据整式x+1与x-4的积为x2-3x-4，则方程x2-3x-4=0，即是(x+1)(x-4)=0，根据两个式子的积是0，则两个式子中至少有一个是0，即可得到x+1=0或x-4=0，解得x1=-1，x2=4.
故选：B
点睛：利用因而分解法解一元二次方程的关键是正确分解因式，理解因式分解法的依据．
7．解方程(5x﹣1)2=3(5x﹣1)的适当方法是( )
A．开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
【答案】D
【解析】
试题解析：
即用了因式分解法，
故选D．
8．方程 正确解法是( )
A．直接开方得
B．化为一般形式
C．分解因式得
D．直接得 x+1=0或 x-1=0
【答案】C
【解析】
A：直接开平方应得到两个方程：3(x+1)=2(x-1)和3(x+1)=-2(x-1)，所以A不正确；
B：化成一般形式应是：5x2+26x+5=0；所以B不正确；
C：方程左边满足平方差形式，可以用平方差公式因式分解为：[3(x+1)+2(x-1)][3(x+1)-2(x-1)]=0，所以C正确．
D：两个完全平方的差为0，不能直接得到两个式子分别是0，只有两个完全平方的和是0，才能直接得到两个式子分别是0，所以D不对．
故选：C．
点睛：本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，根据题目的结构特点，用平方差公式因式分解．
9．选择适当的方法解下列方程：
(1)x2－4x－3＝0； (2)x(x＋2)＝3(x＋2)．
【答案】(1)x1＝2＋，x2＝2－；(2)x1＝3，x2＝－2.
【解析】
【分析】
第一题利用配方法解方程；第二题先移项再利用因式分解求解即可.
【详解】
(1)x2－4x－3＝0；
配方得(x－2)2＝7，
x－2＝±，
∴x1＝2＋，x2＝2－；
(2)x(x＋2)＝3(x＋2)．
移项得(x－3)(x＋2)＝0，
x－3＝0或x＋2＝0，
∴x1＝3，x2＝－2.
【点睛】
本题考查了解一元二次方程的常见解法，熟练掌握并运用这些方法解方程是解答本题的关键.
题组B 能力提升练
1．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是( )
A．，∴或
B．，∴或
C．，∴或
D．，∴
【答案】A
【解析】
分析: 用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一次方程的目的．因此第二、第三个不对，第四个漏了一个一次方程，应该是x＝0，x＋2＝0．
详解: 用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一次方程的目的．因此第二、第三个不对，
第四个漏了一个一次方程，应该是x＝0，x＋2＝0．
所以第一个正确．
故选A．
点睛: 此题考查了学生对因式分解方法应用的条件的理解，提高了学生学以致用的能力．
2．若关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实根分别为5，﹣6，则二次三项式x2+mx+n可分解为( )
A．(x+5)(x﹣6) B．(x﹣5)(x+6) C．(x+5)(x+6) D．(x﹣5)(x﹣6)
【答案】B
【分析】
根据题意，把x=5和x=-6分别代入方程，构成含m、n的二元一次方程组，解出m、n的值，然后可得二次三项式，再根据“十字相乘法”因式分解即可.
【详解】
根据题意可得
解得
所以二次三项式为x2+x-30
因式分解为x2+x-30=(x﹣5)(x+6)
故选B.
【点睛】
此题主要考查了因式分解法解一元二次方程的应用，关键是利用x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)进行解答.
3．一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是( )
A．12 B．9 C．13 D．12或9
【答案】A
【详解】
因式分解可得：(x－2)(x－5)=0，解得：=2，=5，
当2为底，5为腰时，则三角形的周长为12；
当5为底，2为腰时，则无法构成三角形，
故选A.
4．若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值( )
A．0 B．1或2 C．1 D．2
【答案】D
【分析】
把x=0代入已知方程得到关于m的一元二次方程，通过解方程求得m的值；注意二次项系数不为零，即m-1≠0．
【详解】
解：根据题意，将x=0代入方程，得：m2-3m+2=0，
解得：m=1或m=2，
又m-1≠0，即m≠1，
∴m=2，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解定义和一元二次方程的定义．注意：本题中所求得的m的值必须满足：m-1≠0这一条件．
5．若 ，则 的值为( ).
A．－3
B．－1或4
C．4
D．无法计算
【答案】C
【解析】
把看做一个整体，则方程可看作，然后分解因式为(+1)(-4)=0，解得=-1(舍去)或=4.
故选C.
6．已知关于x的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则m的值为_____．
【答案】1
【分析】
利用因式分解法求出x1,x2，再根据根的关系即可求解．
【详解】
解
(x-3m)(x-m)=0
∴x-3m=0或x-m=0
解得x1=3m,x2=m，
∴3m-m=2
解得m=1
故答案为：1．
【点睛】
此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法的运用．
7．方程和方程同解，________．
【答案】
【解析】
【分析】
分别求解两个方程的根即可.
【详解】
解：，解得x=3或m；，解得x=3或-1，则m=-1，
故答案为：-1.
【点睛】
本题考查了运用因式分解法解一元二次方程.
8．已知实数满足，则代数式的值为________．
【答案】
【分析】
把看作一个整体，利用因式分解法把方程分解为，由此即可求得的值.
【详解】
，
，
，,
∴m2-m=7或m2-m=-3．
∵，△=1-12=-11＜0，
∴方程无解，
∴.
故答案为7.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法——因式分解法，因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．
题组C 培优拔尖练
1．方程(x+1)(x-3)=5的解是
A．x1=1，x2=-3 B．x1=4，x2=-2
C．x1=-1，x2=3 D．x1=-4，x2=2
【答案】B
【解析】
(x+1) (x-3) =5，x²-3x+x-3-5=0，x²-2x-8=0，(x+2)(x-4)=0，x1=-2，x2=4，故选B.
2．方程的根的个数是( )
A．4 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【分析】
对方程分两种情况进行计算即可.
【详解】
当时，原方程可化为，
解得，(舍去)；
当时，原方程可化为，
解得，(舍去)．
∴原方程有2个根．
故选B．
【点睛】
本题考查了绝对值的意义及因式分解法解一元二次方程.
3．方程的解是________．
【答案】或
【解析】
【分析】
分两种情况：①x＞-；②x≤-；先化为一般形式，再根据方程的特点选用合适的方法求解即可.
【详解】
分两种情况：
①x＞-时，原方程可变形为：x2-2x-5=0，
∴x1=1+，x2=1-(舍去)；
②x≤-时，原方程变形为：x2+2x-3=0，即(x+3)(x-1)=0，
∴x1=-3，x2=1(舍去)，
因此本题的解为x=1+或x=-3，
故答案为：x=1+或x=-3．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法和绝对值的性质．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是公式法与因式分解法．
4．已知方程x2＋x﹣＝2，则2x2＋2x＝_____．
【答案】6．
【分析】
利用换元法，设x2＋x＝y，解分式方程，解得y后，再求得x．
【详解】
设x2＋x＝y，
则原方程变为y﹣＝2，
整理得：y2﹣2y﹣3＝0，
分解因式得：(y﹣3)(y＋1)＝0，
则y﹣3＝0，y＋1＝0，
解得：y1＝3，y2＝﹣1，
经检验：y1＝3，y2＝﹣1是原分式方程的根，
所以x2＋x＝3或﹣1，
因为x2＋x＝﹣1无解，
故2x2＋2x＝6，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查复杂分式方程的解法，通常采用换元法使分式方程简化，需要注意的是换元得到的根也需要验根．
5．已知c为实数，并且方程x2﹣3x+c=0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣c=0的一个根，则方程x2+3x﹣c=0的解是______．
【答案】x1=0，x2=﹣3．
【解析】解：设方程x2﹣3x+c=0一个根为t，则t2﹣3t+c=0①，因为﹣t为方程x2+3x﹣c=0的一个根，所以t2﹣3t﹣c=0②，由①②得：c=0，解方程x2+3x=0得：x1=0，x2=﹣3．故答案为：x1=0，x2=﹣3．
