【全套精品专题】初中数学同步 9年级上册 第05课 一元二次方程根与系数的关系（教师版含解析）

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第05课 一元二次方程根与系数的关系
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课程标准
课标解读
掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.
理解方程的根与系数之间的关系

知识精讲


知识点01 一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程的两个实数根是，
那么 ， .
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.

知识点01 一元二次方程的根与系数的关系的应用

(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；
(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；
(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨；
⑩．

(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；
以两个数为根的一元二次方程是.
(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；
(6)利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.
设一元二次方程的两根为、，则
当△≥0且时

当△≥0且，时

当△≥0且，时

当△＞0且时

当△＞0且，时

当△＞0且，时


【知识拓展】
(1)利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；

(2)若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)．


能力拓展


考法01 一元二次方程的根与系数的关系
【典例1】已知方程的一个根是2，求另一个根及k的值．

【即学即练1】已知方程的一个根是3，求它的另一根及的值．

【典例2】已知关于x的一元二次方程mx2﹣(m+2)x+2=0．
(1)证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．

考法02 一元二次方程的根与系数的关系的综合应用
【典例3】关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=4，则x12﹣x1x2+x22的值是_____．
【即学即练2】设m，n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n＝_______.
【典例4】已知实数，满足条件，，则________．
【典例5】关于x的一元二次方程x2﹣(m﹣3)x﹣m2=0．
(1)证明：方程总有两个不相等的实数根；
(2)设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根．
【即学即练3】关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)若方程两实根满足｜x1｜+｜x2｜=x1·x2，求k的值．

分层提分


题组A 基础过关练
1．一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为(　　)
A．﹣2 B．1 C．2 D．0
2．已知、是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是( )
A． B． C． D．
3．已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是(　　)
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
4．已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为(　　)
A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣5
5．设a，b是方程x2＋x－2009＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为( )
A．2006 B．2007 C．2008 D．2009
6．已知m，n是关于x的一元二次方程的两个解，若，则a的值为( )
A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．10
7．一元二次方程的两个根为，则的值是( )
A．10 B．9 C．8 D．7

题组B 能力提升练
1．设m、n是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，则m2+4m+n＝(　　)
A．﹣3 B．4 C．﹣4 D．5
2．若a≠b，且则的值为( )
A． B．1 C．.4 D．3
3．若α、β为方程2x2-5x-1=0的两个实数根，则的值为(      )
A．-13 B．12 C．14 D．15
4．若实数a、b满足a2﹣8a+5=0，b2﹣8b+5=0，则的值是(　　)
A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D．
5．若，是方程的两个实数根，则的值为
A．2015 B． C．2016 D．2019
6．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，满足，则m的值为_____________
7．如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2015=_____________．
8．已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1，x2=2，则方程a(x+1)2+b(x+1)+1=0的两根之和为__________．
9．已知关于x的一元二次方程.
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两实根为，，且，求m的值．
题组C 培优拔尖练
1．已知是关于x的一元二次方程x2-5x+a=0的两个实数根，且，则a=_________.
2．若关于x的方程(x﹣4)(x2﹣6x+m)＝0的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m的值为_____．
3．如图，点是的边的中点，且，设，则的取值范围是__________.

4．设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2(m﹣2)x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，
(1)若x12+x22=6，求m值；
(2)令T=，求T的取值范围．
5．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0．
(1)当a=﹣11时，解这个方程；
(2)若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围；
(3)若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1(1﹣x1)][2+x2(1﹣x2)]=9，求a的值．
6．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求实数的取值范围；
(2)若原方程的两个实数根分别为，，且满足，求的值．


第05课 一元二次方程根与系数的关系
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课程标准
课标解读
掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.


知识精讲


知识点01 一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程的两个实数根是，
那么，.
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.

知识点01 一元二次方程的根与系数的关系的应用

(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；
(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；
(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨；
⑩．

(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；
以两个数为根的一元二次方程是.
(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；
(6)利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.
设一元二次方程的两根为、，则
当△≥0且时
两根同号
当△≥0且，时
两根同为正数
当△≥0且，时
两根同为负数
当△＞0且时
两根异号
当△＞0且，时
两根异号且正根的绝对值较大
当△＞0且，时
两根异号且负根的绝对值较大

【知识拓展】
(1)利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；

(2)若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)．


能力拓展


考法01 一元二次方程的根与系数的关系
【典例1】已知方程的一个根是2，求另一个根及k的值．
【分析】
根据方程解的意义，将x＝2代入原方程，可求k的值，再由根与系数的关系求出方程的另外一个根．
【解析】
方法一：设方程另外一个根为x1，则由一元二次方程根与系数的关系，
得，，从而解得：，k＝-7．
方法二：将x＝2代入方程，得5×22+2k-6＝0，从而k＝-7．
设另外一根为x1，则由一元二次方程根与系数的关系，
得，从而，
故方程的另一根为，k的值为-7．
【点睛】
根据一元二次方程根与系数的关系，易得另一根及k的值．

【即学即练1】已知方程的一个根是3，求它的另一根及的值．
【答案】另一根为-1；的值为-3．　

【典例2】已知关于x的一元二次方程mx2﹣(m+2)x+2=0．
(1)证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．

【解析】
解：(1)△=(m+2)2﹣8m
=m2﹣4m+4
=(m﹣2)2，
∵不论m为何值时，(m﹣2)2≥0，
∴△≥0，
∴方程总有实数根；
(2)解方程得，x= ，
x1=，x2=1，
∵方程有两个不相等的正整数根，
∴m=1或2，m=2不合题意，
∴m=1．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，此外要掌握整数根的意义及正确求解适合条件的整数根．
考法02 一元二次方程的根与系数的关系的综合应用
【典例3】关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=4，则x12﹣x1x2+x22的值是_____．
【答案】4
【分析】
根据根与系数的关系结合已知条件可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，再根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的不等式，解之即可得出k的取值范围，从而可确定k的值，进而可得答案．
【详解】
解：∵x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，
∴x1+x2=2k，x1•x2=k2﹣k，
∵x12+x22=4，
∴(x1+x2)2-2x1x2=4，
(2k)2﹣2(k2﹣k)=4，
2k2+2k﹣4=0，
k2+k﹣2=0，
k=﹣2或1，
∵△=(﹣2k)2﹣4×1×(k2﹣k)≥0，
k≥0，
∴k=1，
∴x1•x2=k2﹣k=0，
∴x12﹣x1x2+x22=4﹣0=4，
故答案为4．
【点睛】
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式△≥0”是解题的关键．
【即学即练2】设m，n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n＝_______.
【答案】5
【详解】
试题分析：根据根与系数的关系可知m+n=﹣2，又知m是方程的根，所以可得m2+2m﹣7=0，最后可将m2+3m+n变成m2+2m+m+n，最终可得答案． ∵设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根， ∴m+n=﹣2，
∵m是原方程的根， ∴m2+2m﹣7=0，即m2+2m=7， ∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=7﹣2=5
考点：根与系数的关系
【典例4】已知实数，满足条件，，则________．
【答案】
【分析】
由实数a，b满足条件a2﹣7a+2＝0，b2﹣7b+2＝0，且a≠b，可把a，b看成是方程x2﹣7x+2＝0的两个根，再利用根与系数的关系即可求解．
【详解】
由实数a，b满足条件a2﹣7a+2＝0，b2﹣7b+2＝0，且a≠b，∴可把a，b看成是方程x2﹣7x+2＝0的两个根，∴a+b＝7，ab＝2，∴．
故答案为．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是把a，b看成方程的两个根后再根据根与系数的关系解题．

【典例5】关于x的一元二次方程x2﹣(m﹣3)x﹣m2=0．
(1)证明：方程总有两个不相等的实数根；
(2)设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根．
【答案】(1)证明见解析；(2)x1=﹣1+，x2=﹣1﹣或
【解析】
试题分析：(1)根据一元二次方程的判别式△=b2﹣4ac的结果判断即可，当△＞0时，有两个不相等的实数根，当△=0时，有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根；
(2)根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-，x1•x2=，表示出两根的关系，得到x1，x2异号，然后根据绝对值的性质和两根的关系分类讨论即可求解.
试题解析：(1)一元二次方程x2﹣(m﹣3)x﹣m2=0，
∵a=1，b=﹣(m﹣3)=3﹣m，c=﹣m2，
∴△=b2﹣4ac=(3﹣m)2﹣4×1×(﹣m2)=5m2﹣6m+9=5(m﹣)2+，
∴△＞0，
则方程有两个不相等的实数根；
(2)∵x1•x2==﹣m2≤0，x1+x2=m﹣3，
∴x1，x2异号，
又|x1|=|x2|﹣2，即|x1|﹣|x2|=﹣2，
若x1＞0，x2＜0，上式化简得：x1+x2=﹣2，
∴m﹣3=﹣2，即m=1，
方程化为x2+2x﹣1=0，
解得：x1=﹣1+，x2=﹣1﹣，
若x1＜0，x2＞0，上式化简得：﹣(x1+x2)=﹣2，
∴x1+x2=m﹣3=2，即m=5，
方程化为x2﹣2x﹣25=0，
解得：x1=1﹣，x2=1+．
5．关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)若方程两实根满足｜x1｜+｜x2｜=x1·x2，求k的值．
【答案】(1)k﹥；(2)k=2．
【分析】
(1)根据方程有两个不相等的实数根可得△＞0，代入求得k的取值范围即可；(2)首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到2k+1=k2+1，结合k的取值范围解方程即可．
【详解】
解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根
∴ Δ＝(2k+1)2－4(k2+1)=4k2+4k+1－4k2－4=4k－3﹥0
解得：k﹥；
(2)∵k﹥，
∴x1+x2 =－(2k+1)＜0
又∵x1·x2=k2+1﹥0
∴x1＜0，x2＜0，
∴｜x1｜+｜x2｜=－x1－x2 =－(x1+x2)=2k+1
∵｜x1｜+｜x2｜=x1·x2
∴2k+1=k2+1，
∴k1=0,k2=2
又 ∵k﹥
∴k=2．
考点：根的判别式；根与系数的关系．


分层提分


题组A 基础过关练
1．一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为(　　)
A．﹣2 B．1 C．2 D．0
【答案】D
【详解】
分析：根据根与系数的关系可得出x1x2=0，此题得解．
详解：∵一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，
∴x1x2=0．
故选D．
点睛：本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键．
2．已知、是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系逐一进行分析即可.
【详解】
x1、x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根，
这里a=1，b=-2，c=0，
b2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0，
所以方程有两个不相等的实数根，即，故A选项正确，不符合题意；
，故B选项正确，不符合题意；
，故C选项正确，不符合题意；
，故D选项错误，符合题意，
故选D.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式，根的意义，根与系数的关系等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
3．已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是(　　)
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
【答案】B
【解析】
【分析】根据根与系数的关系得α+β=﹣1，αβ=﹣2，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．
【详解】∵α，β是方程x2+x﹣2=0的两个实数根，
∴α+β=﹣1，αβ=﹣2，
∴α+β﹣αβ=﹣1-(-2)=-1+2=1，
故选B ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．
4．已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为(　　)
A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣5
【答案】B
【分析】
根据关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．
【详解】
∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，设另一个根为m，
∴-2+m=−，
解得，m=-1，
故选B．
5．设a，b是方程x2＋x－2009＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为( )
A．2006 B．2007 C．2008 D．2009
【答案】C
【详解】
分析：由于a2+2a+b=(a2+a)+(a+b)，故根据方程的解的意义，求得(a2+a)的值，由根与系数的关系得到(a+b)的值，即可求解．
解答：解：∵a是方程x2+x-2009=0的根，
∴a2+a=2009；
由根与系数的关系得：a+b=-1，
∴a2+2a+b=(a2+a)+(a+b)=2009-1=2008．
故选C．
6．已知m，n是关于x的一元二次方程的两个解，若，则a的值为( )
A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．10
【答案】C
【详解】
解：∵m，n是关于x的一元二次方程的两个解，∴m+n=3，mn=a．
∵，即，
∴，解得：a=﹣4．
故选C．
7．一元二次方程的两个根为，则的值是( )
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】D
【分析】
利用方程根的定义可求得，再利用根与系数的关系即可求解．
【详解】
为一元二次方程的根，
，
．
根据题意得，，
．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系以及求代数式的值，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键．

题组B 能力提升练
1．设m、n是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，则m2+4m+n＝(　　)
A．﹣3 B．4 C．﹣4 D．5
【答案】B
【分析】
根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】
解：∵m+n＝﹣3，mn＝﹣7，m2+3m＝7，
∴原式＝m2+3m+m+n
＝7﹣3
＝4，
故选B．
【点睛】
本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，属于基础题型．
2．若a≠b，且则的值为( )
A． B．1 C．.4 D．3
【答案】B
【解析】
【详解】
解：由得：
∴
又由可以将a，b看做是方程 的两个根
∴a+b=4，ab=1
∴
故答案为B.
【点睛】
本题看似考查代数式求值，但解题的关键是构造一元二次方程并运用根于系数的关系求解。
3．若α、β为方程2x2-5x-1=0的两个实数根，则的值为(      )
A．-13 B．12 C．14 D．15
【答案】B
【详解】
根据一元二次方程的根与系数的关系，可知2α2﹣5α﹣1=0，α+β=-，α·β=，因此可得2α2=5α+1，代入2α2+3αβ+5β=5α+1+3αβ+5β=5(α+β)+3αβ+1=5×+3×(-)+1=12.
故选B.
点睛：此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，关键是利用一元二次方程的一般式，得到根与系数的关系x1+x2=-，x1·x2=，然后变形代入即可.
4．若实数a、b满足a2﹣8a+5=0，b2﹣8b+5=0，则的值是(　　)
A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D．
【答案】C
【分析】
分两种情况进行讨论：①当a=b时，可直接得出答案；②当a≠b时，根据实数a、b满足a2﹣8a+5=0，b2﹣8b+5=0，即可看成a、b是方程x2﹣8x+5=0的解，根据根与系数的关系列出关于a，b的等式即可求解．
【详解】
解：①当a=b时，原式=2；
②当a≠b时，根据实数a、b满足a2﹣8a+5=0，b2﹣8b+5=0，即可看成a、b是方程x2﹣8x+5=0的解，∴a+b=8，ab=5．
则=
=，
把a+b=8，ab=5代入得：
=
=﹣20．
综上可得：的值为2或﹣20．
故选C．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，难度适中，关键是把a、b是方程x2﹣8x+5=0的解，然后根据根与系数的关系解题．
5．若，是方程的两个实数根，则的值为
A．2015 B． C．2016 D．2019
【答案】C
【解析】
【分析】
根据方程的解得概念可得，由根与系数的关系可得，再代入即可得出结论．
【详解】
是方程的两个实数根，，即，则．
故选C．
【点睛】
本题考查了方程的解的概念及韦达定理，熟练掌握韦达定理是解题的关键．
6．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，满足，则m的值为_____________
【答案】4
【解析】
【分析】
由韦达定理得出x1+x2=6，x1·x2=m+4，将已知式子3x1= | x2|+2去绝对值，对x2进行分类讨论，列方程组求出x1、x2的值，即可求出m的值.
【详解】
由韦达定理可得x1+x2=6，x1·x2=m+4，
①当x2≥0时，3x1=x2+2，
，解得，
∴m=4；
②当x2＜0时，3x1=2﹣x2，
，解得，不合题意，舍去.
∴m=4.
故答案为4.
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，其中对x2分类讨论去绝对值是解题的关键.
7．如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2015=_____________．
【答案】2026
【详解】
由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2-m=3，n2-n=3，
所以m，n是x2-x-3=0的两个不相等的实数根，
则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=-3，
又n2=n+3，
则2n2-mn+2m+2015
=2(n+3)-mn+2m+2015
=2n+6-mn+2m+2015
=2(m+n)-mn+2021
=2×1-(-3)+2021
=2+3+2021
=2026．

8．已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1，x2=2，则方程a(x+1)2+b(x+1)+1=0的两根之和为__________．
【答案】1
【详解】
分析：利用整体的思想以及根与系数的关系即可求出答案．
详解：设x+1=t，方程a(x+1)2+b(x+1)+1=0的两根分别是x3，x4，
∴at2+bt+1=0，
由题意可知：t1=1，t2=2，
∴t1+t2=3，
∴x3+x4+2=3
故答案为1
点睛：本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
9．已知关于x的一元二次方程.
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两实根为，，且，求m的值．
【答案】(1)证明见解析(2)1或2
【解析】
试题分析：(1)要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明原来的一元二次方程的△的值大于0即可；
(2)根据根与系数的关系可以得到关于m的方程，从而可以求得m的值．
试题解析：(1)证明：∵，∴△=[﹣(m﹣3)]2﹣4×1×(﹣m)=m2﹣2m+9=(m﹣1)2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根；
(2)∵，方程的两实根为，，且，∴ ， ，∴，∴(m﹣3)2﹣3×(﹣m)=7，解得，m1=1，m2=2，即m的值是1或2．

题组C 培优拔尖练
1．已知是关于x的一元二次方程x2-5x+a=0的两个实数根，且，则a=_________.
【答案】5
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系用a表示出x1+x2和x1x2，代入已知条件可得到关于a的方程，则可求得a的值．
【详解】
∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣5，x1x2＝a，∴(x1﹣x2)2＝(x1+x2)2﹣4x1x2＝(﹣5)2﹣4a＝25﹣4a．
∵|x1﹣x2|＝，∴(x1+x2)2﹣4x1x2＝5，∴25﹣4a＝5，解得：a＝5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，掌握一元二次方程两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．
2．若关于x的方程(x﹣4)(x2﹣6x+m)＝0的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m的值为_____．
【答案】
【分析】
运用根与系数关系、根的判别式，根据勾股定理列方程解答即可．
【详解】
设某直角三角形的三边长分别为a、b、c，
依题意可得
x﹣4＝0或x2﹣6x+m＝0，
∴x＝4，x2﹣6x+m＝0，
设x2﹣6x+m＝0的两根为a、b，
∴(﹣6)2﹣4m＞0，m＜9，
根据根与系数关系，得a+b＝6，ab＝m，则c＝4，
①c为斜边时，a2+b2＝c2，(a+b)2﹣2ab＝c2
∴62﹣2m＝42，m＝10(不符合题意，舍去)；
②a为斜边时，c2+b2＝a2，
42+(6﹣a)2＝a2，
a＝ ，b＝6﹣a＝ ，
∴m＝ab＝ =
故答案为．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的综合运用，先由根与系数的关系得到另外两边的关系，再结合勾股定理列出方程。本题的关键是分类讨论。
3．如图，点是的边的中点，且，设，则的取值范围是__________.

【答案】
【解析】
【分析】
根据“点是的边的中点，且”得出AB的长度以及△ABC是直角三角形，设出AC和BC的值，得到一个一元二次方程，根据根的判别式求出x的取值范围，即可得出答案.
【详解】
∵点是的边的中点，且
∴AB=4，△ABC是直角三角形
故x=AC+BC>AB=4
令AC=a，BC=b
∴
∴
∴a，b是关于y的一元二次方程的两个实数根
∴
即：.
综上所述，x的取值范围是：.
【点睛】
本题综合考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线及根的判别式．解题时，还利用了一元二次方程的根与系数的关系这一知识点．.

4．设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2(m﹣2)x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，
(1)若x12+x22=6，求m值；
(2)令T=，求T的取值范围．
【答案】(1)m=；(2)0＜T≤4且T≠2．
【解析】
【分析】
由方程方程由两个不相等的实数根求得﹣1≤m＜1，根据根与系数的关系可得x1+x2=4﹣2m，x1•x2=m2﹣3m+3；(1)把x12+x22=6化为(x1+x2)2﹣2x1x2=6，代入解方程求得m的值，根据﹣1≤m＜1对方程的解进行取舍；(2)把T化简为2﹣2m，结合﹣1≤m＜1且m≠0即可求T得取值范围.
【详解】
∵方程由两个不相等的实数根，
所以△=[2(m﹣2)]2﹣4(m2﹣3m+3)
=﹣4m+4＞0，
所以m＜1，又∵m是不小于﹣1的实数，
∴﹣1≤m＜1
∴x1+x2=﹣2(m﹣2)=4﹣2m，x1•x2=m2﹣3m+3；
(1)∵x12+x22=6，
∴(x1+x2)2﹣2x1x2=6，
即(4﹣2m)2﹣2(m2﹣3m+3)=6
整理，得m2﹣5m+2=0
解得m=；
∵﹣1≤m＜1
所以m=．
(2)T=+
=
=
=
=
=2﹣2m．
∵﹣1≤m＜1且m≠0
所以0＜2﹣2m≤4且m≠0
即0＜T≤4且T≠2．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系、根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
5．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0．
(1)当a=﹣11时，解这个方程；
(2)若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围；
(3)若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1(1﹣x1)][2+x2(1﹣x2)]=9，求a的值．
【答案】(1)(2)(3)-4
【分析】
(1)根据一元二次方程的解法即可求出答案；
(2)根据判别式即可求出a的范围；
(3)根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】
(1)把a=﹣11代入方程，得x2﹣x﹣12=0，
(x+3)(x﹣4)=0，
x+3=0或x﹣4=0，
∴x1=﹣3，x2=4；
(2)∵方程有两个实数根，
∴△≥0，即(﹣1)2﹣4×1×(a﹣1)≥0，
解得；
(3)∵是方程的两个实数根，．
∵[2+x1(1﹣x1)][2+x2(1﹣x2)]=9，
∴，
把代入，
得：[2+a﹣1][2+a﹣1]=9，即(1+a)2=9，
解得：a=﹣4，a=2(舍去)，
所以a的值为﹣4．
点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系．
6．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求实数的取值范围；
(2)若原方程的两个实数根分别为，，且满足，求的值．
【答案】(1)且；(2)
【分析】
(1)根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到：且，然后求出两个不等式解集的公共部分即可.
(2)利用根与系数的关系得到， ，加上且，则可判断，，所以，，然后解方程求出m即可得到满足条件的m的值.
【详解】
(1)因为方程有两个不相等的实数根，
，解得；
又因为是一元二次方程，所以，．
的取值范围是且．
(2)，为原方程的两个实数根，，
且，，，，．
，，
，，解得，，
且，不合题意，舍去，．
【点睛】
此题主要考查一元一次方程的定义和判别式的意义，正确理解概念和熟练运用根的判别式是解题的关键.