江苏省盐城市2023届高三三模数学试题（含解析）

江苏省盐城市2023届高三三模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知是平面四边形，设：，：是梯形，则是的条件（    ）

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

3．展开式中项的系数为（    ）

A． B． C．20 D．240

4．已知，，虚数是方程的根，则（    ）

A． B． C．2 D．

5．设为下图所示的数阵中前行所有数之和，则满足的的最大值为（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

6．一般地，设、分别为函数的定义域和值域，如果由函数可解得唯一的也是一个函数（即对任意一个，都有唯一的与之对应），那么就称是函数的反函数，记作.在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成的形式.例如函数的反函数为.设，则函数的值域为（    ）

A． B． C． D．

7．动点在正方体从点开始沿表面运动，且与平面的距离保持不变，则动直线与平面所成角正弦值的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．定义曲线为双曲线的“伴随曲线”.在双曲线：的伴随曲线上任取一点，过分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，则直线与曲线的公共点的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．与点的位置有关系

二、多选题

9．随机抽取6位影迷对电影《长津湖》的评分，得到一组样本数据如下：，则下列关于该样本的说法中正确的有（    ）

A．均值为95 B．极差为6

C．方差为26 D．第80百分位数为97

10．已知数列对任意的整数，都有，则下列说法中正确的有（    ）

A．若，则

B．若，，则

C．数列可以是等差数列

D．数列可以是等比数列

11．已知函数，则（    ）

A．是偶函数 B．的最小正周期为

C．在上为增函数 D．的最大值为

12．设函数为上的奇函数，为的导函数，，，则下列说法中一定正确的有（    ）

A． B． C． D．

三、填空题

13．已知圆：和抛物线：，请写出与和都有且只有一个公共点的一条直线的方程____.（写出一条即可）

14．在中，，，，则的取值范围是______.

15．某同学在劳技课上设计了一个球形工艺品，球的内部有两个内接正五棱锥，两正五棱锥的底面重合，若两正五棱锥的侧棱与底面所成的角分别为、，则的最小值为______.

16．已知函数在上有两个极值点，且，则的取值范围是___.

四、解答题

17．已知数列、满足，，，，且，.

(1)求证：是等比数列；

(2)若是递增数列，求实数的取值范围.

18．如图，在三棱柱中，四边形为正方形，点为棱的中点，平面平面，.

(1)求证：；

(2)若，求二面角的余弦值.

19．某中学对学生钻研奥数课程的情况进行调查，将每周独立钻研奥数课程超过6小时的学生称为“奥数迷”，否则称为“非奥数迷”，从调查结果中随机抽取100人进行分析，得到数据如表所示：

(1)判断是否有的把握认为是否为“奧数迷”与性别有关？

(2)现从抽取的“奥数迷”中，按性别采用分层抽样的方法抽取3人参加奥数闯关比赛，已知其中男、女学生独立闯关成功的概率分别为、，在恰有两人闯关成功的条件下，求有女生闯关成功的概率.

参考数据与公式：

，其中.

20．在中,为的角平分线,且.

(1)若,,求的面积;

(2)若,求边的取值范围.

21．在平面直角坐标系中，过椭圆：上的动点作轴的垂线，垂足为点，，.

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线：交于不同的两点、，向量，，是否存在常数，使得满足的实数有无穷多解？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.

22．已知函数.

(1)当时，求的单调递增区间；

(2)若恒成立，求的取值范围.

参考答案：

1．C

【解析】先利用函数的定义域求法化简集合B，再利用交集的运算求解.

【详解】因为集合，集合，

所以.

故选：C.

【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及函数定义域的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

2．A

【分析】根据向量共线的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】在四边形中，

若，

则，且，

即四边形为梯形，充分性成立；

若当，为上底和下底时，

满足四边形为梯形，

但不一定成立，即必要性不成立；

故是的充分不必要条件.

故选：A

3．D

【分析】利用二项展开式通项即可求得展开式中项的系数.

【详解】展开式通项为

由，可得，则，

则展开式中项的系数为240.

故选：D

4．B

【分析】将虚数z代入方程，利用复数相等解方程组即可得出答案.

【详解】因为虚数（）是方程的根，

则，即，

由复数相等得出，解得或，

因为虚数中，所以，

所以.

故选：B

5．C

【分析】先求利用等比数列前n和公式求得第n行所有数之和，再利用分组求和法求得数阵中前行所有数之和，进而求得满足不等式的的最大值.

【详解】图中第n行各数依次构成首项为1公比为2的等比数列，

其所有数之和为，

则数阵中前行所有数之和

，

由，可得，即

当时，，不成立；

当时，，成立；

当时，，成立；

当时，，成立.

综上，满足的的最大值为8.

故选：C

6．D

【分析】先解出，再根据基本不等式求的值域.

【详解】由题意可得，

则，

由，根据基本不等式，，

当且仅当时，等号成立，故的值域为.

故选：D

7．A

【分析】根据线面位置关系和余弦定理以及同角三角函数基本关系式即可求解.

【详解】  

连接，

容知，,

所以平面平面,

M与平面的距离保持不变，

点M的移动轨迹为三角形的三条边，

当M为中点时，直线与平面所成角正弦值最大，

取的中点，

设正方体的棱长为2，

所以，

，

，

所以,

所以为直角三角形，

所以直线与平面所成角正弦值为,

当M为C点时，当M为中点时，直线与平面所成角的正弦值最小，

此时，，，

所以，

.

直线与平面所成角正弦值的取值范围是，

故选：A.

8．B

【分析】根据伴随曲线的定义和坐标关系以及直线与双曲线的联立即可求解.

【详解】双曲线：的伴随曲线为：

，

设P为上一点，

则，

过分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，则

，，

所以直线，

联立，

得，

所以

，

则直线与曲线的公共点的个数为1个，

故选：B.

9．ABD

【分析】根据数据的均值、极差、方差以及第80百分位数的计算，分别判断各选项，即得答案.

【详解】由题意得的平均值为，A正确；

极差为，B正确；

方差为，C错误；

 由于，故第80百分位数为第5个数，即97，D正确，

故选：ABD

10．BC

【分析】利用赋值，递推式以及假设法，即可逐一选项进行判断.

【详解】若，

当时，，

解得，故A错；

若，，

当时，，

解得，

当时，，

解得，

，

根据递推关系可知，

当为奇数，即时，

，故B正确；

若，

则成立，

故数列可以是等差数列，即C正确；

若数列是等比数列，假设公比为，

则由，

得，

两式相除得，，

即，

解得，不符合题意，

则假设不成立，故D错.

故选：BC

11．AD

【分析】A选项，由可判定为偶函数；B选项，由可排除；CD选项均由三角函数的单调性判定.

【详解】A选项，的定义域，

，

故为偶函数，A正确；

B选项，，故的一个周期为，B错误；

C选项，时，，

，故与先增后减，

所以不是增函数，C错误；

D选项，由的一个周期为，

所以考虑当时，，

当时，，与均在递增，

当时，，与均在递减，

所以当时，取到最大值为，故D正确.

故选：AD.

12．ACD

【分析】由为上的奇函数，，可得的性质，可判断A，B；对，求导可得导函数的性质，即可判断C，D.

【详解】因为函数为上的奇函数，所以，因为，，所以当得，所以，故A正确；

又，可得，则，

所以函数关于直线对称，故的值无法确定，故B不正确；

因为，则①，所以关于轴对称，

又，所以，即，所以关于点对称，则②，

由①②得，所以，则，

故的周期为6，由②可得，即，所以，故C正确；

由②得，所以，

则，故D正确.

故选：ACD.

13．（或，或，或，或，或，写出一个即可）

【分析】所求直线l方程可设为，利用其与圆相切和与抛物线有且只有一个公共点列方程即可求得的值，进而得到直线的方程.

【详解】圆：的圆心，半径，

由题意可得所求直线l斜率存在，其方程可设为，

由，整理得，

当时，方程可化为，方程组有一组解，

又直线与圆相切，则，或；

当时，由直线l与抛物线相切可得，

，即，

又由直线l与圆相切可得，，

即

联立，整理得

解之得或或或

则直线l方程为或或或

综上，直线l方程为或，或，或，或，或，

故答案为：（或，或，或，或，或，写出一个即可）

14．

【分析】利用正弦定理和向量数量积的定义得，再根据的范围和正切函数的值域即可求出其范围.

【详解】根据正弦定理得，即，

，

，

，

即的取值范围.

故答案为：.

15．

【分析】由平面，得到侧棱与底面所成的角，设，

分别在直角和中，求得，结合，即可求得取值最小值.

【详解】如图所示，设另个正五棱锥外接球的半径为，球心到底面的距离为，

又由平面，所以和分别为侧棱与底面所成的角，设，

分别在直角和中，

可得，

所以，

又由，所以当当时，取值最小值，最小值为.

故答案为：.

16．

【分析】先利用题给条件将转化为，再利用导数求得取值的范围，即可求得的取值范围.

【详解】，，

则，

则方程有二不等正根，

由，可得，

则，则，

又，

则，

令

则，

令，

则在上恒成立，

则在上单调递减，又

则在上恒成立，

则在上恒成立，则在上单调递增，

又，则在上值域为，

则的取值范围是.

故答案为：

17．(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据已知条件，求得与的关系，即可证明；

（2）方法一：由的单调性可判断，结合已知条件，将问题转化为对任意恒成立，由（1）中所求，即可求得参数范围；方法二：对已知条件中的两个递推公式作差，求得，结合（1）中所求，即可求得；再根据其单调性，即可求得参数范围.

【详解】（1）由题可知：，，

故可得，又，∴，

∴，所以是首项为1，公比为的等比数列.

（2）方法一：

∵是递增数列，

∴对任意恒成立，

∵，∴

则对任意恒成立，

即对任意恒成立，

由（1）知，

∴对任意恒成立，

因为当时取得最大值，且最大值为1，

所以，即实数的取值范围为.

方法二：

得

即，又，

故数列为首项，公差的等差数列，

所以，

又由（1）知，所以，

因为是递增数列，所以对任意恒成立.

所以，

所以，所以，

因为当时取得最大值，且最大值为1，

所以，即实数的取值范围为.

18．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取中点，根据题意，，证得平面，进而证得，结合点为的中点，即可证得；

（2）先证得平面，以为基底建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.

【详解】（1）证明：取中点，连接，，

因为四边形为正方形，点为的中点，点为的中点，所以，

又因为，，平面，所以平面，

又因为平面，所以，

因为点为的中点，所以.

（2）解：因为平面平面，平面平面，

且，，所以平面，

以为基底建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，可得，，

设为平面的一个法向量，则，

取，得，所以，

由平面，可得平面的一个法向量为，

则，

由图知二面角为钝二面角，所以其余弦值为.

19．(1)没有99%的把握认为是否为“奥数迷”与性别有关

(2)

【分析】（1）提出假设：“奥数迷”与性别无关，计算，从而可判断假设是否成立得结论；

（2）根据条件概率公式求解即可.

【详解】（1）提出假设：“奥数迷”与性别无关.

则

因为，而，

故没有99%的把握认为是否为“奥数迷”与性别有关.

（2）根据分层抽样，抽取的男生人数为2人，女生人数为1人，

记“恰有两人闯关成功”为事件，“有女生闯关成功”为事件，

则，

由条件概率的公式得，

故在恰有两人闯关成功的条件下，有女生闯关成功的概率为.

20．(1)

(2)

【分析】（1）根据得到的长,再利用三角形的面积公式求解即可;

（2）设,,根据得到,在中,利用余弦定理得到,由两者相等结合的取值范围即可求出结果.

【详解】（1）因为,

所以,

得:,

解得,

所以.

（2）设,,

由得

,

即,

所以,

又在中,

所以,

得,

因为且,

得,

则,

所以,

即边的取值范围为.

21．(1)

(2)存在，

【分析】（1）设，则，根据向量数量关系的坐标表示得，利用两点距离公式求椭圆轨迹方程；

（2）（法一）联立直线与椭圆，应用韦达定理得、，结合向量关系得，进而有，将韦达式代入得到恒等式求参数k；

（法二）同方法一，根据向量关系得到，韦达式代入恒成立，求参数k；

（法三）根据题设向量关系有，设，则，确定坐标，斜率两点式判断是否为常数即可.

【详解】（1）设，则，由得：，

由得：，所以曲线的方程为：.

（2）（法一）将直线代入椭圆得：，即，

由韦达定理，，

由知：，又，故有，

由，则，

所以恒成立，为任意实数，

所以，可得，得，经检验，不合题意，

即存在常数使对任意实数恒成立，

（法二）将直线代入椭圆得：，即，

由韦达定理得，

由知：，即，

代入得：，

由于为常数，故当且仅当时等式成立，

故存在常数使对任意实数恒成立，.

（法三）由知：，

设，则，

由此得到或者，或者

当，时，求得；

当，时，求得；

当，时，求得，不为常数；

当，时，求得，不为常数；

综上，存在常数使对任意实数恒成立，.

【点睛】关键点点睛：第二问，联立直线与椭圆，应用韦达定理结合已知关系得到恒等关系求参数，注意验证所得结果.

22．(1)

(2)

【分析】（1）代入求导得，再次设导函数为新函数进行求导得到其单调性和其零点，从而得到的单调增区间；

（2）法一：令，利用导数和零点存在定理得存在唯一正实数使得，从而得到，再利用隐零点法得，再次设新函数进行求导从而得到的范围；

法二：同法一求得，则

，利用基本不等式有，从而得到的范围.

【详解】（1）当时，，，

设

又，∴在上单调递增，

又，∴当时，当时，

∴的单调递增区间为.

（2）对函数求导得，，令，

则，∴在上单调递增，

又，当时，

故存在唯一正实数使得，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

∴，

由恒成立，得，

由得，∴

∴，∴，

∴，

设，则恒成立，

故在上单调递增，而，

∴，

又且函数在上是增函数，

故的取值范围为

法2：同法一得，

由得，

∴

，当且仅当时等号成立，

∴，

故的取值范围为

【点睛】关键点睛：本题第二问利用零点存在定理及隐零点法得到，从而有，再次重新设函数，根据其单调性和零点得到，从而得到.