2023年湖南省郴州市永兴县中考数学二模试卷（含解析）

2023年湖南省郴州市永兴县中考数学二模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列四个实数中，最大的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  截至年月日，世界第四大水电站云南昭通溪洛渡水电站累计生产清洁电能突破亿千瓦时，相当于替代标准煤约亿吨，减排二氧化碳约亿吨．亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图是由个相同的小立方块搭成的几何体，那么这个几何体从上面看是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  义务教育课程标准年版首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并作出明确规定．某班有名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

7.  不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，点和点在边上，，连接，轴，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  因式分解：______．

10.  函数的自变量的取值范围是______ ．

11.  若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则______．

12.  已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为______ ．

13.  小明从家跑步到学校，到达学校后马上沿原路步行回家如图所示为小明离家的路程与时间之间的函数图象，则小明回家的速度是每分钟步行______

14.  如图，直线，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，，若：：，，则的长为______ ．

15.  如图，在菱形中，按如下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，；作直线，与交于点，连接，若，直线恰好经过点，则的长为______ ．

16.  如图，等腰中，是上一动点，连接将绕点逆时针旋转得到，连接若，则周长最小值是______．

三、解答题（本大题共10小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
先化简，再求值：，其中，．

19.  本小题分
如图，▱，平分，平分，求证：四边形是矩形．

20.  本小题分
我市某中学举行“中国梦我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为，，，四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．

参加比赛的学生人数共有______名，在扇形统计图中，表示“等级”的扇形的圆心角为______度，图中的值为______；
补全条形统计图；
组委会决定从本次比赛中获得等级的学生中，选出两名去参加市中学生演讲比赛，已知等级中男生只有名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率．

21.  本小题分
如图，在坡顶处的同一水平面上有一座古塔，数学兴趣小组的同学在斜坡底处测得该塔的塔顶的仰角为，然后他们沿着坡度为：的斜坡攀行了米到达点，在坡顶处又测得该塔的塔顶的仰角为．
求坡顶到地面的距离；
计算古塔的高度结果精确到米参考数据：，，

22.  本小题分
已知每本甲图书的进价比每本乙图书的进价少元，花元购进甲图书的数量与花元购进乙图书的数量相同．
求甲乙两种图书每本的进价分别是多少元？
某中学计划购进甲、乙两种图书共本，总购书费用不超过元，则至少购进甲图书多少本？

23.  本小题分
如图，是的外接圆的直径，点在延长线上，且满足．
求证：是的切线；
若，，求的长．

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：
如果，那么称点为点的“关联点”．
例如点的“关联点”为点，点的“关联点”为点．
在点，，，中，______的“关联点”在函数的图象上；
如果一次函数图象上点的“关联点”是，求点的坐标；
如果点在函数的图象上，其“关联点”的纵坐标的取值范围是，求实数的取值范围．
 

25.  本小题分
如图，在矩形中，，，把绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于点，交矩形边于点．

求的最小值；
若点所经过的路径长为，求点到直线的距离；
如图，若，求的值．

26.  本小题分
如图，抛物线与轴相交于原点和点，直线与抛物线在第一象限的交点为点，抛物线的顶点为点．

求点和点的坐标；
抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；
如图，点是点关于抛物线对称轴的对称点，点是直线下方的抛物线上的动点，与直线交于点设和的面积分别为和，求的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键．
先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再求出最大的数即可．
【解答】
解：，
最大的数是．
故选D．  

2.【答案】 

【解析】解：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：亿，
故选：．
根据亿，再用科学记数法的表示即可．
本题主要考查科学记数法的知识，熟练掌握科学记数法的形式是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故此选项错误，不符合题意；
B、，故此选项错误，不符合题意；
C、，故此选项错误，不符合题意；
D、，故此选项正确，不符合题意．
故选：．
A、首先计算出的结果，再开方判断；
B、根据负整数指数幂：为正整数计算可判断；
C、首先看准底数，判断符号，再利用幂的乘方法则：底数不变，指数相乘计算即可判断；
D、根据单项式除以单项式法则：把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式计算即可判断．
本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握相关计算法则是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意得：从上面看几何体，得到的图形有三行，第一行在第二列处有一个正方形，第二行有三个正方形，第三行在第一列处有一个正方形．
故选：．
根据题意可得：从上面看几何体，得到的图形有三行，第一行在第二列处有一个正方形，第二行有三个正方形，第三行在第一列处有一个正方形，即可得到答案．
本题主要考查了几何体的三视图，根据题意得到从上面观察几何体所得到的的平面图形是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
根据众数和中位数的定义判断即可．
【解答】
解：这个数据中出现次数最多的数据是，
这组数据的众数是．
把这组数据按从小到大的顺序排列为：，，，，，，，
位于中间的数据为，
这组数据的中位数为．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：，
解，得，
解，得．
所以原不等式组的解集为：．
故符合条件的选项是．
故选：．
先求出不等式组的解集，再确定符合条件的选项．
本题考查了解一元一次不等式组，掌握不等式组的解法是解决本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴于点，设交轴于点，

轴，轴，
四边形是矩形，
，，
和点，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
矩形的顶点在反比例函数的图象上，
．
故选：．
过点作轴于点，设交轴于点，得矩形，根据点和点在边上，根据，可以求出和的长，进而可得的长，所以得点的坐标，即可得的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质，解决本题的关键是掌握反比例函数图象和性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

11.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
即，
解得，
故答案为：．
根据关于的一元二次方程有两个相等的实数根，列出方程，解方程即可．
本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根的条件．
 

12.【答案】 

【解析】解：底面半径是，则底面周长，
圆锥的侧面积
故答案为：．
圆锥的侧面积底面周长母线长．
本题考查圆锥的侧面积，解题的关键是记住圆锥是侧面积公式．
 

13.【答案】 

【解析】解：通过读图可知：小明家距学校，小明从学校步行回家的时间是，
所以小明回家的速度是每分钟步行．
故答案为：．
先分析出小明家距学校，小明从学校步行回家的时间是，再根据路程、时间、速度的关系即可求得．
本题主要考查了函数图象，先得出小明家与学校的距离和回家所需要的时间，再求解．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
：：，，
，
解得：，
，
故答案为：．
根据平行线分线段成比例得出，根据已知条件求得，进而即可求解．
本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据作图可知直线是线段的垂直平分线，
，，
菱形中，，
，，
在中，，
，
，
在中，．
故答案为：．
根据垂直平分线的性质可知，，再根据菱形的性质利用勾股定理即可求出结果．
本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键
 

16.【答案】 

【解析】解：将绕点逆时针旋转得到，
，，，
，是等腰直角三角形，
，
当取最小值时，的值最小，则周长的值最小，
当时，的值最小，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
周长最小值是，
故答案为：．
根据旋转的性质和等腰直角三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值和零次幂，再计算乘法，后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能确定准确的运算顺序，并能对各种运算进行准确计算．
 

18.【答案】解：


，
把，代入得：
原式


． 

【解析】先用完全平方公式和多项式乘多项式法则展开，再去括号、合并同类项，化简后将，代入计算即可．
本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式和多项式乘多项式法则，把所求式子化简．
 

19.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
平分，平分，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
平行四边形是矩形． 

【解析】先证四边形是平行四边形，再证，然后由矩形的判定即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

20.【答案】     

【解析】解：根据题意得：总人数为：人，
表示“等级”的扇形的圆心角为；
等级所占的百分比为，
所以，
故答案为：，，．
解：等级的人数为人，
补全统计图，如图所示：

解：根据题意，列出表格，如下：

共有种等可能结果，其中恰是一男一女的有种，
所以恰是一男一女的概率为．
根据等级为的人数除以所占的百分比求出总人数，用乘以等级对应比例可得其圆心角度数，根据百分比的概念可得的值；
求出等级的人数，补全条形统计图即可；
列表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，即可求出所求的概率．
此题考查了条形统计图，扇形统计图以及列表法与树状图法，弄清题意，从条形图和扇形图得到解题所需数据是解本题的关键．
 

21.【答案】解：过点作于，如图所示：

斜坡的坡度为：，
，
设，则，
则，
，解得，
，
坡顶到地面的距离为米．
延长交于，如图所示：

，，
，
四边形是矩形，，，
，
，
设，则，
，
在中，，
即，
解得，
古塔的高度约米． 

【解析】过点作于，根据斜坡的坡度为：，得出，设，则，，求出值即可求解．
延长交于，根据，可得，从而得出四边形是矩形，再根据，得出，利用中，即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、锐角三角函数、坡角与坡度、矩形的判定及性质，解题的关键根据题意作出辅助线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解．
 

22.【答案】解：设甲乙两种图书每本的进价分别是元、元，
则，
，
，
检验：当时，，
是该方程的解，
，
甲乙两种图书每本的进价分别是元、元．
设购进甲图书本，，，
至少购进甲图书本． 

【解析】设甲乙两种图书每本的进价分别是元、元，利用它们的数量相等建立分式方程则，求解即可．
设购进甲图书本，用一元一次不等式求解即可．
本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题关键是正确理解题意，根据题中的数量关系建立方程或不等式，注意分式方程的结果要检验．
 

23.【答案】证明是的直径，
，
，
，，
，
，
，
是的切线；
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，，
，
． 

【解析】先判断出，进而判断出，即可得出结论；
先证明，进而判断出∽，得出比例式即可求解．
此题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，判断出是解本题的关键．
 

24.【答案】解：、
当时，点，
则，解得：舍去；
当时，点，
，解得：，
点；
如图为“关联点”函数图象：
从函数图象看，“关联点”的纵坐标的取值范围是，
而，
函数图象只需要找到最大值直线与最小值直线直线从大于等于开始运动，直到与有交点结束．都符合要求，
即，解得：舍去负值，
观察图象可知满足条件的的取值范围为． 

【解析】解：点的“关联点”是，
点的“关联点”是，
点的“关联点”是，
点的“关联点”是，
将点的坐标代入函数，
得和在此函数图象上，
故答案为：、；
见答案；
见答案．

点的“关联点”是，点的“关联点”是，点的“关联点”是，点的“关联点”是，将点的坐标代入函数，看是否在函数图象上，即可求解；
当时，点，则；当时，点，则，解方程即可求解；
如图为“关联点”函数图象：从函数图象看，“关联点”的纵坐标的取值范围是，而，函数图象只需要找到最大值直线与最小值直线直线从大于等于开始运动，直到与有交点结束．都符合要求，只要求出关键点即可求解．
本题考查二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，属于创新题目，中考常考题型．
 

25.【答案】解：连接、，如图，

四边形是矩形，
，
，，
，
由旋转可得，，
，
当点落在上时，最小，最小值为，
最小值为；
解：由题意得，，解得：，
，
是等边三角形，
，，
，
过点作于点，

，
点到直线的距离为；
解：，，
，
，，
，
，
∽，
，
，
过作于点，

，
∽，
，
，，
，
． 

【解析】连接、，先由勾股定理求得，由旋转可得，，因为，所以当点落在上时，最小，据此求解即可；
先由弧长公式求得，得是等边三角形，从而求得，过点作于点，可由直角三角形性质得求解；
先证∽，得，即可求出，过作于点，则，证明∽，则，即可求出，，，即可由求解．
本题考查矩形的性质，旋转的性质，两点之间，线段最短，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角函数定义，弧形长公式，垂径定理等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．
 

26.【答案】解：抛物线，
，
当时，有最小值，
．
直线与抛物线在第一象限的交点为点，
联立，
解得或舍去，
．
故点和点的坐标分别为和；

设直线的解析式为：，
则将，代入得，
，
解得，
直线的解析式为：．
当点在直线的下方时，过点作轴，交轴于点，延长，交于，

，
，即，，
，
，
≌，
．
当时，，得：，
，
则，
，
易知直线的解析式为：，
联立：，
解得或舍去，
；
当点在直线的上方时，

，
，
直线的解析式为：，
直线的解析式为：，
联立：，解得：或舍去，
．
综上，当点的坐标为或时，使得；

点与点关于对称轴对称，
，
如图，分别过点，作轴的平行线，交直线于点，，

，，
设，则，
，
，，
，
当时，的最大值为． 

【解析】将函数化作顶点式可得出点的坐标，联立与可得出点的坐标；
分点在直线下方、上方两种情况，分别求解即可；
如图，分别过点，作轴的平行线，交直线于点，，则，，设，可表达，再利用二次函数的性质可得出结论．
本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，二次函数上的坐标特征，三角形的面积和全等三角形的判定及性质，解题的关键正确表达两个三角形面积的比．