2023年广东省广州市荔湾区育才中学中考数学一模试卷（含解析)

2023年广东省广州市荔湾区育才中学中考数学一模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中，无理数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  广州作为“志愿之城”，截至年底，全市实名注册志愿者人数达人，将用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的眠时间，统计结果如表，则这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

5.  下面几何体是由个相同的小正方体搭成的，这个几何体从左面看到的图形是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  若点，，在反比例函数为常数的图象上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  把半径长为的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，由边长为的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点和点，则(    )
 

A.
B.
C.
D.

9.  若二次函数，当时，，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  若代数式有意义，则实数的取值范围是______．

12.  分解因式：          ．

13.  曹老师用一张半径为的扇形纸板，做了一个圆锥形帽子接缝忽略不计，如果圆锥形帽子的半径是，则这张扇形纸板的圆心角是          ．

14.  菱形的两个内角的度数比是：，一边上的高长是，则菱形的面积是______．

15.  如图，正方形边长为，点在边上，以为旋转中心，将逆时针旋转得到，与交于点，若，则的值为______．

16.  如图，在矩形中，，，点是边上的一个动点，连接，若将沿折叠，点落在矩形的对角线上，则的长为______．

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

17.  已知：关于的一元二次方程的两根，满足，双曲线经过斜边的中点，与直角边交于如图，求．

四、解答题（本大题共8小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
解不等式：．

19.  本小题分
已知．
化简；
如图，在菱形中，，对角线，若的周长为，求的值．

20.  本小题分
如图，是矩形的边上的一点，于点，，，求的长度．

21.  本小题分
“中国梦”关平每个人的幸福生活，为进一步感知我们身边的幸福，展现青年人追梦的风采，我市某校开展了以“梦想中国，逐梦青春”为主题的摄影大赛，要求参赛学生每人交一件作品现将参赛的件作品的成绩单位：分进行统计如下：
请根据上表提供的信息，解答下列问题：

表中的的值为______ ，的值为______ ；
将本次参赛作品获得等级的学生一次用，，，表示，现该校决定从本次参赛作品中获得等级学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会，请用树状图或列表法求恰好抽到学生和的概率．

22.  本小题分
如图，在等腰中，．
尺规作图：过点作交于点再过、、三点作保留痕迹，不要求写作法；
求证：是过、、三点的圆的切线．

23.  本小题分
端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜元，某商家用元购进的猪肉粽和用元购进的豆沙粽盒数相同在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价元时，每天可售出盒；每盒售价提高元时，每天少售出盒．
求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
设猪肉粽每盒售价元，表示该商家每天销售猪肉粽的利润单位：元，求关于的函数解析式并求最大利润．

24.  本小题分
已知抛物线，
若，，求该抛物线与轴交点的坐标；
若，且当时，抛物线与轴有且只有一个交点求的取值范围；
若，且时，对应的；时，对应的，试判断当时，抛物线与轴是否有交点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．

25.  本小题分
如图已知正方形中，为对角线，边长为为边上一点，过点作于点，
如图连结，求线段的长；
保持不动，将正方形绕点旋转至如图的位置，连结，点为的中点，连接、，探求与关系，并证明你的结论；
保持不动，将正方形绕点旋转一周，求出的中点在这个过程中的运动路径长及的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，是整数，是分数，这些都属于有理数；
是无理数．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可求解．
本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、与不属于同类项，不能合并，故B不符合题意；
C、与不属于同类项，不能合并，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．

根据科学记数法的表示形式进行解答．
此题考查科学记数法的表示方法．
 

4.【答案】 

【解析】解：抽查学生的人数为：人，
这名学生的睡眠时间出现次数最多的是小时，共出现次，因此众数是小时，
将这名学生的睡眠时间从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是小时．
故选：．
根据中位数、众数的意义求解即可．
本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的计算方法是解决问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：从左面看第一层是个小正方形，第二层左边是一个小正方形，
故选：。
根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案。
本题考查了简单组合体的三视图，从左面看得到的图形是左视图是解题关键。
 

6.【答案】 

【解析】解：，
反比例函数为常数的图象位于一三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，
点在第三象限，，在第一象限，
，，
，
故选：．
根据的值确定反比例函数图象所在的象限，进而明确函数的增减性，再根据点，，所在的象限，确定、、大小关系．
本题考查反比例函数的图象和性质，考查当时，在每个象限内，随的增大而减小的性质，利用图象法比较直观．
 

7.【答案】 

【解析】解：设球的平面投影圆心为，过点作于点，延长交于点，连接，如图所示：

则，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，，
在中，由勾股定理得：，
，，
故选：．
设球的平面投影圆心为，过点作于点，延长交于点，连接，，，再利用勾股定理可得，进而可得的长．
本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用、矩形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：为直径，
，
在中，，
，
．
故选：．
先利用圆周角定理得到，，再利用正切的定义得到，从而得到的值．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆或直径所对的圆周角是直角．也考查了正切的定义．
 

9.【答案】 

【解析】解：在，，开口向下，对称轴为，
当时，，
时，取得最大值，为，
，
．
故选：．
根据二次函数解析式判断出开口方向和对称轴，再根据当时，，可得到在顶点处取得最大值，即可求出值．
本题考查二次函数的性质，解题关键是根据二次函数增减性判断出在何处取得最值．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数与一次函数图象的性质，解题的关键是根据、与的大小关系进行分类讨论，本题属于中等题型．
根据的图象判断、与的大小关系，进一步确定函数的图象即可作出判断．
【解答】
解：、一次函数的图象经过一、二、四象限，则，即，，所以函数的图象开口向上，对称轴，与轴的交点位于直线的上方，由整理得，由于，则两图象有交点，
故A错误；
B、一次函数的图象经过二、三、四象限，则，即，，所以函数开口向上，对称轴，
故B错误；
C、一次函数的图象经过一、二、三象限，则，即，，所以函数开口向下，对称轴，
故C错误；
D、一次函数的图象经过二、三，四象限，则，即，，所以函数开口向上，对称轴，由整理得，由于，则两图象有交点，
故D正确；
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
根据分式的分母不等于即可得出答案．
本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用分解因式．
应先提取公因式，再对其利用平方差公式分解即可．
【解答】

解：，
，
．
故答案为：．

13.【答案】 

【解析】解：设扇形纸板的圆心角是，
根据题意得：，
解得：，
所以扇形的圆心角为，
故答案为：．
根据底面周长等于扇形的弧长列式计算即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图所示：过点作于点，

菱形的两个内角的度数比是：，
，，
，
则，
，
，
菱形的面积是．
故答案为：．
直接利用菱形的性质结合平行线的性质得出，进而求出菱形的边长，即可得出答案．
此题主要考查了菱形的性质，正确求出菱形的内角度数是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
，
，，
将逆时针旋转得到，
，，
，
，
又，
∽，
，
，
，
，
故答案为：．
由锐角三角函数可求，通过证明∽，可求的长，即可求解．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
 

16.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题考查折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是分两种情况，正确作出图形，难点在于利用相似三角形的判定与性质求出的长．
分为点落在对角线和两种情况，当点落在上时，连接交于点，在上取一点使得，连接，，由矩形性质可得，由勾股定理可得，由折叠性质可得，可得，由可得，从而可得∽，可得，即可求得，由可得∽，从而可得，即可求解，当点落在上时，连接，由矩形性质和勾股定理可得，由折叠性质可得，，，可得，设，则，，由勾股定理即可求得，即可求解．
【解答】
解：如图，连接交于点，在上取一点使得，连接，，

在矩形中，，，
，，
由折叠性质可得，
，
，
，
∽，
，
，
，，
∽，
，
，
如图，当点落在上时，连接，

在矩形中，，，
，
，
由折叠性质可得：
，，，
，，
设，则，，
由勾股定理可得：
，
即，
解得：，
，
综上，的长为或，
故答案为：或．  

17.【答案】解：有两根，
，
即．
由得：．
当时，，解得，不合题意，舍去；
当时，，，
解得：符合题意．
，
双曲线的解析式为：．
过作于，则．
，，
，∽，
，，
． 

【解析】首先由一元二次方程根的判别式得出的取值范围，然后由得出或，再运用一元二次方程根与系数的关系求出的值，由的几何意义，可知如果过作于，则易证∽，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出，最后由，得出结果．
本题综合考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的性质等多个知识点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．
 

18.【答案】解：，
，
． 

【解析】根据不等式的性质解一元一次不等式．
本题考查解一元一次不等式，掌握不等式的基本性质是解题关键．
 

19.【答案】解：

；
四边形是菱形，
，
的周长为，，
，
，
，
当时，

． 

【解析】先算括号里，再算括号外，即可解答；
根据菱形的性质可得，再根据的周长为，从而求出的值，然后利用的结论进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，菱形的性质，熟练掌握因式分解是解题的关键．
 

20.【答案】解：四边形是矩形，
，．
，
．
，
，．
又，
，
∽，
，即，
，即的长度为． 

【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理，利用“两角对应相等，两个三角形相似”证出∽是解题的关键．
由矩形的性质可得出的长及，利用勾股定理可求出的长，由垂直的定义可得出，利用同角的余角相等可得出，进而可得出∽，再利用相似三角形的性质可求出的长度．
 

21.【答案】   

【解析】解：，，
故答案是：；；
获得等级的学生有人，用，，，表示，：

共有种等可能结果，抽到学生和的有两种结果，
获得等级学生中，恰好到学生和的概率为：．
用减去等级与等级的学生人数，即可求出等级的学生人数的值，用除以即可得出等级的频率即的值；
由可知获得等级的学生有人，用，，，表示，画出树状图，通过图确定恰好抽到学生和的概率．
本题考查读频数率分布表的能力和利用图表获取信息的能力．利用统计图表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．用到的知识点为：各小组频数之和等于数据总数；各小组频率之和等于；频率频数数据总数；概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】解：如图，先交于点，再作的垂直平分线交于点，接着以点为圆心，为半径作圆，
则和为所作；

证明：连接，如图，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
为的切线，
即是过、、三点的圆的切线． 

【解析】先过点作交于点，再作的垂直平分线得到的中点，然后以点为圆心，为半径作圆；
连接，如图，先利用三角形内角和定理计算出，再利用等腰三角形的性质得到，所以，则，然后根据切线的判定方法可判断为的切线．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质、圆周角定理和切线的判定．
 

23.【答案】解：设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽每盒进价元，
则，
解得：，经检验是方程的解，
猪肉每盒进价元，豆沙粽每盒进价元，
答：猪肉每盒进价元，豆沙粽每盒进价元；
由题意得，当时，每天可售出盒，
当猪肉粽每盒售价元时，每天可售盒，
，
配方，得：，
时，随的增大而增大，
当时，取最大值，最大值为：元．
答：关于的函数解析式为，且最大利润为元． 

【解析】本题考查了二次函数的应用以及分式方程的应用，关键是根据题意列出每天销售猪肉粽的利润与猪肉粽每盒售价元的函数关系式．
设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽每盒进价元，根据商家用元购进的猪肉粽和用元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可；
由题意得，当时，，每天可售出盒，当猪肉粽每盒售价元时，每天可售盒，列出每天销售猪肉粽的利润与猪肉粽每盒售价元的函数关系式，根据二次函数的性质及的取值范围求利润的最大值．
 

24.【答案】解：当，时，抛物线为，
方程的两个根为，，
该抛物线与轴交点的坐标是和；

当时，抛物线为，且与轴有交点．
对于方程，判别式，有．
当时，由方程，解得．
此时抛物线为与轴只有一个交点；
当时，时，；
时，．
由已知时，该抛物线与轴有且只有一个交点，考虑其对称轴为，
应有，即，
解得．
综上，或；

当时，抛物线与轴有交点，理由如下：
对于二次函数，
由已知时，；
时，，
又，
．
．
，
，即．
．
关于的一元二次方程的判别式，
抛物线与轴有两个交点，顶点在轴下方．
又该抛物线的对称轴，
由，，，
得，
．
对称轴大于小于
又由已知当时，；
时，，
在范围内，即在到有两个交点． 

【解析】把，，的值代入可得抛物线的解析式，求出两根即可；
把，代入解析式可得，等于时可直接求得的值；求出的相应的值后可得的取值范围；
抛物线与轴交点的个数就是一元二次方程的实数根的个数，因此，本题的解答就是研究在不同的条件下一元二次方程根的判别式的符号，依据判别式的符号得出相应的结论．
本题考查二次函数根与系数的关系，二次函数与轴的交点的纵坐标为，与轴交点的个数就是二元一次方程根的个数．
 

25.【答案】解：如图，作于点，连接，

在正方形中，为对角线，边长为，
，，，
，
，，
，
，
线段的长为；
与关系为，，
证明如下：如图，连接，，

由正方形的性质可得，，，
，，
，
∽，
，，
是中点，
，
，
，
如图，连接，，
由正方形的性质可得，，，
，，，
，
，
∽，
，，
，
，
如图，过作于点，令，则，
在中，，，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
与的关系为，；
如图，取线段中点记为，连接，，

是的中位线，
，目，
为定点，为定长，
在以为圆心，以的长为半径的圆上运动．
运动轨迹的路径长即为圆的周长，
由可知，，
最小时，最小，
由题意知点在以为圆心，线段的长为半径的圆上运动，如图，连接，延长交圆于点，

在中，，
当运动到位置时，有，
，
最小时为，且，
最小的的值为：，
中点在这个过程中的运动路径长为，的最小值为． 

【解析】如图，作于，连接，由正方形的性质可得，，，根据求出的值，在中，根据股定理计算的值即可；
如图，连接，，由正方形的性质可得，，证∽，证明∽，过作于点，令则，在中，，，可得，在中，由股定理得，根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理可证，进而结论得证；
如图，找线段中点记为，连接，，可得是的中位线，为定点，为定长，在以为圆心，以的长为半径的圆上运动，根据运动轨迹的路径长即为圆的周长计算求解即可，由可知，最小时，最小，由题意知点在以为圆心，线段的长为半径的圆上运动，如图，连接，延长交圆点，根据三角形三边关系可得在中，，当运动到位置时，有，则，求出最小时为的值，然后求出最小的值即可．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，中位线，圆的定义，勾股定理等知识，解题的关键在于对知识的灵活综合运用．