2023年广东省深圳市宝安中学（集团）实验学校中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省深圳市宝安中学（集团）实验学校中考数学一模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图，该几何体的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

2.  国家卫健委网站消息：截至年月日，个省自治区，直辖市和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗超过亿剂次，用科学记数法表示亿是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列算式中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量单位：平均数和方差分别为，，该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和方差分别为，，则下列结论一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  “天宫课堂”第二课月日在中国空间站开讲，包括六个项目：太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验、空间科学设施介绍与展示、天地互动环节．若随机选取一个项目写观后感，则恰好选到“实验”项目的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列说法正确的是(    )

A. 对角线互相垂直的四边形是菱形
B. 对应边成比例的四边形是相似四边形
C. 二次函数为常数的图象与轴有两个交点
D. 若代数式在实数范围内有意义，则

7.  如图，甲乙两楼相距米，乙楼高度为米，自甲楼顶处看乙楼楼顶处仰角为，则甲楼高度为(    )
 

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

8.  已知抛物线均为常数，的顶点是，且该抛物线经过点，，若，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D. 且

9.  我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，则下列结论正确的是(    )
 

A.
B.
C. 当直线与该图像恰有三个公共点时，则
D. 关于的方程的所有实数根的和为

10.  如图，在中，，作于点，以为边作矩形，使得，延长，交于点，作交于点，作分别交，于点、，若，，则边的长为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  因式分解：______．

12.  在函数中，自变量的取值范围是______．

13.  一桶油漆能刷的面积，用它恰好刷完个同样的正方体形状盒子的全部外表面．设其中一个盒子的棱长为，则可列出方程：          ．

14.  如图，点为双曲线上的一点，连接并延长与双曲线在第三象限交于点，为轴正半轴上一点，连接并延长与双曲线交于点，连接、，已知的面积为，则点的坐标为______．
 

15.  如图，在中，，点在边上，，将沿折叠，的对应边交于点，连接若，，则的长为        ．

三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）

16.  计算：．

四、解答题（本大题共6小题，共50.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
北京年冬奥会的成功举办，激起了同学们对冰雪运动的广泛兴趣．某校对部分学生进行了“我最喜欢的冰雪运动项目”的问卷调查，要求参加问卷调查的学生在冰球、冰壶、短道速滑、高山滑雪四项冰雪运动项目中选且只选一项．根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：
求参加这次调查的学生总人数和选择“冰壶”的学生人数；
求扇形统计图中“高山滑雪”对应扇形的圆心角度数；
该校共有名学生，请你估算其中最喜欢“短道速滑”的学生人数．
 

18.  本小题分
如图，是垂直于水平面的建筑物，为测量的高度，小红从建筑物底端出发，沿水平方向行走了米到达点，然后沿斜坡前进，到达坡顶点处，在点处放置测角仪，测角仪支架高度为米，在点处测得建筑物顶端点的仰角为点，，，在同一平面内，斜坡的坡度或坡比：，求建筑物的高度．精确到个位
参考数据：，，

19.  本小题分
如图，为的直径，点在直径上点与，两点不重合，，点在上且满足，连接并延长到点，使．
求证：是的切线；
若，试求的值．

20.  本小题分
某商家准备销售一种防护品，进货价格为每件元，并且每件的售价不低于进货价．经过市场调查，每月的销售量件与每件的售价元之间满足如图所示的函数关系．
求每月的销售量件与每件的售价元之间的函数关系式；不必写出自变量的取值范围
物价部门规定，该防护品每件的利润不允许高于进货价的设这种防护品每月的总利润为元，那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？

21.  本小题分
某公园内人工湖上有一座拱桥横截面如图所示，跨度为米．在距点水平距离为米的地点，拱桥距离水面的高度为米．小红根据学习函数的经验，对和之间的关系进行了探究．

下面是小红的探究过程，请补充完整：
经过测量，得出了和的几组对应值，如表．

在和这两个变量中，______是自变量，______是这个变量的函数；
在下面的平面直角坐标系中，画出中所确定的函数的图象；
结合表格数据和函数图象，解决问题：
桥墩露出水面的高度为______米；
公园欲开设游船项目，现有长为米，宽为米，露出水面高度为米的游船．为安全起见，公园要在水面上的，两处设置警戒线，并且，要求游船能从，两点之间安全通过，则处距桥墩的距离至少为______米．精确到米

22.  本小题分
【问题初探】
如图，等腰中，，点为边一点，以为腰向下作等腰，连接，，点为的中点，连接猜想并证明线段与的数量关系和位置关系．

【深入探究】
在的条件下，如图，将等腰绕点旋转，上述结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【拓展迁移】
如图，等腰中，，在中，，连接，，点为的中点，连接绕点旋转过程中，
线段与的数量关系为：        ；
若，，当点在等腰内部且的度数最大时，线段的长度为        ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意知，原几何体的左视图为一个长方形，长方形的内部有一条横向的虚线．
故选：．
根据左视图是从左边看，得出答案即可．
本题主要考查简单组合体的三视图，熟练掌握三视图的知识是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】
解：亿．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查完全平方公式、合并同类项法则、积的乘方以及负整数指数幂的意义，本题属于基础题型．
根据完全平方公式、合并同类项法则、积的乘方以及负整数指数幂的意义即可求出答案．
【解答】
解：、原式，故A不符合题意．
B、原式，故B符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，
货架上原有鸡蛋的质量的方差该顾客选购的鸡蛋的质量方差，而平均数无法比较．
故选：．
根据方差的意义求解．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
符合条件的情况数目；
全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】
解：共个项目，“实验”项目有太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验共个，
随机选取一个项目写观后感，则恰好选到“实验”项目的概率是，
故选：．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了相似多边形的性质，菱形的判定，二次函数的性质以及分式及二次根式有意义的条件，熟练掌握各知识点是解题的关键．
根据菱形的判定，相似多边形的判定，二次函数的性质以及分式及二次根式有意义分析即可得解．
【解答】
解：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该选项错误，不符合题意；
B.对应边成比例且对应角相等的四边形是相似四边形，故该选项错误，不符合题意；
C.对于二次函数为常数，，所以图象与轴有两个交点，故该选项正确，符合题意；
D.若代数式在实数范围内有意义，则，故该选项错误，不符合题意．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．
分析题意可得：过点作，交于点；可构造，利用已知条件可求；而乙楼高．
【解答】
解：过点作，交于点，

在中，米，，
米，
米．
甲楼高为米．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：抛物线均为常数，的顶点是，且该抛物线经过点，，，
该抛物线的开口向上，且，
且，
故选：．
根据抛物线均为常数，的顶点是，且该抛物线经过点，，，可以得到该抛物线的开口向上，且，然后即可得到的取值范围．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的应用、新定义、二次函数的性质，利用数形结合的思想解答是解题的关键．
由是函数图象和轴的交点，解得：可判断、B错误；由图象可判断C错误；由题意可得或 ，利用根与系数的关系可判断D正确．
【解答】
解：是函数图象和轴的交点，
，解得：，
，
故A、B错误；
如图，当直线与该图象恰有三个公共点时，应该有条直线，

故C错误；
关于的方程，即或，
当时，，
当时，，
关于的方程的所有实数根的和为，
故D正确，
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：在矩形中，，，
，
，
，
．
在和中，
，
≌，
，．
矩形，，
四边形是矩形，四边形是矩形，
，，，
，
又，
，
设，则，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理，得，
，
，
化简整理，得．
解得：或不符合题意，舍去，
．
故选：．
依据条件可判定，即可得到，，易证四边形是矩形，四边形是矩形，则，，，，又，则，设，则，，，再证，得，则，在中，由勾股定理，得，因为，所以，即，解之求出值，即可求解．
本题主要考查了矩形的性质，相似三角形判定与性质，全等三角形判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理，解一元二次方程，本题属四边形综合题目，熟练掌握相似三角形判定与性质，全等三角形判定与性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，立方体表面积公式，根据已知得出每个正方体的表面积是解题关键．
根据已知得出每个正方体形状的盒子的表面积，再利用一桶油漆可刷的面积即可得出答案．
【解答】
解：设其中一个盒子的棱长为，则这个盒子的表面积为平方分米，
根据一桶油漆可刷的面积，列出方程：
，
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：过点、分别作轴的平行线、垂线相交于，与轴、轴交于点、，
点为双曲线上，
，即：；
由双曲线的对称性可知：，
设点，，则，，，，，
设直线的关系式为，将代入得，
，，
直线的关系式为，
因此，是方程的两根，即的两根，
，
由得，
，
即：，
由和解得，，，
当时，，
，
故答案为：
根据双曲线的图象过点，可求出反比例函数的关系式，点、、三点在一条直线上，且、在双曲线上，设出点、的坐标，利用三角形的面积得出点、的坐标之间的方程，再根据一元二次方程与二次函数的关系得出坐标之间的另一个关系式，联立可求出答案．
考查反比例函数、一次函数、二次函数的图象和性质，利用点的坐标，表示线段的长，进而表示三角形的面积是常用的方法．
 

15.【答案】 

【解析】解：过点作射线于点，

将沿折叠，的对应边交于点，
，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，，
，，，
，
，
射线，
，
，
，
点与点重合，
．
故答案为：．
过点作射线于点，先证是等边三角形，再证∽，得，得，故，，由折叠的性质可知，利用三角函数求得的长，进而得点与点重合，从而求得的长．
本题主要考查了相似三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，解直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握等边三角形的判定及性质是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式

． 

【解析】先计算负整数指数幂、代入三角函数、去绝对值符号，计算零指数幂，再依次计算乘法和加减运算可得．
本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握负整数指数幂、三角函数、绝对值性质及零指数幂．
 

17.【答案】解：本次调查共抽取的学生数有：名，名，
答：参加这次调查的学生总人数是名，选择“冰壶”的学生人数是名；
，
答：“高山滑雪”对应扇形的圆心角度数是；
根据题意得：名，
答：最喜欢“短道速滑”的学生有名． 

【解析】用最喜欢短道速滑的学生人数除以所占的百分比即可得出抽取的总人数，再根据喜欢冰壶的学生所占的百分比可得喜欢冰壶的学生人数；
先算出喜欢“高山滑雪”的人数所占的百分比，再用乘百分比可得圆心角；
用总人数乘以最喜欢短道速滑的学生所占的百分比，即可得出答案．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 

18.【答案】解：过点作与点，延长交于，
斜坡的坡度或坡比：，米，
设，则．
在中，
，即，解得，
米，米，
米，米．
，，，
四边形是矩形，
米，米．
在中，
，
米，
米．
答：建筑物的高度约为米． 

【解析】过点作与点，根据斜坡的坡度或坡比：可设，则，利用勾股定理求出的值，进而可得出与的长，故可得出的长．由矩形的判定定理得出四边形是矩形，故可得出，，再由锐角三角函数的定义求出的长，进而可得出结论．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
 

19.【答案】证明：为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：设的半径为，
，
，
，
，
在中，，
，
，舍去，
，
在中，，
，
，
的值为． 

【解析】根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，根据等腰三角形的性质以及对顶角相等可得，然后根据等腰三角形的性质可得，从而可得，最后利用三角形内角和定理可得，即可解答；
设的半径为，则，在中，利用勾股定理可求出，从而求出，然后在中，根据勾股定理可求出的长，从而利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了切线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质，以及锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

20.【答案】解：由图象可知每月销售量件与售价元之间为一次函数关系，设其函数关系式为，
将，代入，得：

解得：，
每月销售件与售价元的函数关系式为；
由题意得：


，
，
当时，随的增大而增大，
该防护品的每件利润不允许高于进货价的，
，即，
当时，取得最大值：最大值．
售价定为元可获得最大利润，最大利润是元． 

【解析】由图象可知每月销售量件与售价元之间为一次函数关系，设其函数关系式为，用待定系数法求解即可；
由题意得关于的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．
 

21.【答案】       

【解析】解：是自变量，是这个变量的函数，
故答案为：，；
如图，

当时，，
桥墩露出水面的高度为米，
故答案为：；
设，把、、代入得，
，
解得，
，对称轴为直线，
令，则，
解得舍去或．
故答案为：．
根据常量和变量的定义可得答案；
根据点的坐标描点、连线即可；
根据图象与轴的交点坐标可得答案；
求出与的关系式，再把代入即可．
本题考查二次函数的实际应用，根据对应点的坐标得到二次函数关系式是解题关键．
 

22.【答案】  

【解析】解：理由：，，理由如下：
如图，延长交于点，

为等腰直角三角形，，
，
为等腰直角三角形，，
，，
又，
≌，
，
在中，
点为斜边的中点，
，
，
设，则，
≌，
，
在中，点为斜边的中点，
，
，
，
，
；
结论，，仍然成立，理由如下：
如图，取的中点，连接，，延长分别交，于点，，

点，分别是，的中点，
，
，
，
在等腰中，点是的中点，
，，
，
点，分别是，的中点，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
∽，
，
在和中，，，
，即．
综上：，；
如图，取的中点，连接，，延长分别交，于点，

，，
，
，
，
，
，
点，分别是，的中点，
，，
，
在等腰中，点是的中点，，
，，，
，
，即，
，
点，分别是，的中点，
，
，
，
，
，
∽，
，
；
故答案为：；
，，
点在以点为圆心，长为半径的圆上运动，
当时，最大，
过点作，

，
四边形为矩形，
，
在中，，
在中，，，
，
，
在中，，
由得：，
．
故答案为：．
延长交于点，根据等腰直角三角形的性质先证明≌，可得，再由直角三角形的性质可得，从而得到，设，则，可得，再由，，，即可；
取的中点，连接，，延长分别交，于点，，根据等腰直角三角形的性质可得，可证明∽，从而得到，，即可；
取的中点，连接，，延长分别交，于点，，根据等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，可得，可证明∽，即可；根据题意可得点在以点为圆心，长为半径的圆上运动，则可得当时，最大，过点作，可得四边形为矩形，从而得到，再由勾股定理求出，从而得到，在中，再由勾股定理求出，即可求解．
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．