2023年湖南省长沙市浏阳市中考数学一模试卷（含解析）

2023年湖南省长沙市浏阳市中考数学一模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  实数的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年世界杯在卡塔尔举办，为了办好这届世界杯，人口仅有万的卡塔尔投资亿美元修建各项设施数据亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图，一个由个大小相同、棱长为的正方体搭成的几何体，下列关于这个几何体的说法正确的是(    )

A. 主视图的面积为
B. 左视图的面积为
C. 俯视图的面积为
D. 俯视图的面积为

5.  某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的名学生的读书册数进行调查，结果如下表：

根据统计表中的数据，这名同学读书册数的众数，中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

6.  已知点与点关于原点对称，则、的值分别是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

7.  据省统计局发布，年我省有效发明专利数比年增长假定年的年增长率保持不变，年和年我省有效发明专利分别为万件和万件，则(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，直线，线段交，于，两点，过点作，交直线于点，若，则(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，是的弦，是的切线，为切点，经过圆心．若，则的大小等于(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中是曲线部分的最低点，则的面积是(    )
 

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  函数中自变量的取值范围是______．

12.  设，是一元二次方程的两个根，则的值是______ ．

13.  为了解某区九年级名学生中观看北京冬奥会开幕式的情况，随机调查了其中名学生，结果有名学生全程观看了开幕式，请估计该区全程观看冬奥会开幕式的九年级学生人数约为______ 人

14.  分式与的和为，则的值为______．

15.  如图，是半圆的直径，，为弦，于，交半圆于点，于，若，则的长为______ ．

16.  先阅读，再解答：对于三个数、、中，我们用符号来表示其中最大的数和最小的数，规定表示这三个数中最小的数，表示这三个数中最大的数例如：，；
______ ；
若，则的值为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
 

19.  本小题分
如图，某校为检测师生体温，在校门口安装一台测量体温的红外线测温仪．已知测温仪距地面，为了了解测温仪的有效测温区间，陈师傅做了如下实验：当他走到处时，测温仪开始显示额头温度，此时在额头处测得的仰角为；当他走到处时，测温仪停止显示额头温度，此时在额头处测得的仰角为若，求有效测温区间的长度．参考数据：，，

20.  本小题分
如图，，，点是，的交点，过点作于点．
求证：；
若，，求的长

21.  本小题分
民法典颁布实施已经一年多，胜利社区为了解社区居民对民法典内容的知晓情况，对社区居民进行了抽样调查，按知晓情况可分如下四类：类完全知晓；类知晓；类部分知晓；类不知晓并根据调查结果制作了如下不完整的统计图．

请根据图表中的数据回答下列问题：
表中 ______ ， ______ ， ______ ；
补全条形统计图；
为了加大民法典的宣传力度，社区管理部门准备在完全知晓的居民中征集名志愿宣传者，已知完全知晓的居民中有名女性，其他为男性，求恰好抽到一男和一女的概率是多少．

22.  本小题分

某初级中学为了提高教职工的身体素质，举办了“坚持锻炼，活力无限”的健身活动，并准备购买一些体育器材为活动做准备．已知购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元，购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元．

购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？

已知该中学需要购买两种球拍共副，羽毛球拍的数量不超过副．现商店推出两种购买方案，方案：购买一副羽毛球拍赠送一副乒乓球拍；方案：按总价的八折付款．试说明选择哪种购买方案更实惠．

23.  本小题分
如图，在平行四边形中，，平分交于，交延长线于，连接．
求证：四边形是菱形；
若，，求的面积．

24.  本小题分
如图，是的直径，是上的一个动点，延长至，使，垂直于弦，垂足为点，点在上．
当与相切时，求的度数；
芳芳观察后发现，的值为，点点说的值随动点的变化而变化，你认为谁的结论是正确的，请给予证明；
设，求与之间的函数关系式．

25.  本小题分
平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
求抛物线的解析式，并直接写出点，的坐标；
在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由；
如图，点是直线上的一个动点，连接，，是否存在点使最小，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：实数的倒数是：．
故选：．
直接利用倒数：乘积是的两数互为倒数，即可得出答案．
此题主要考查了倒数，正确掌握倒数的定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算正确，故此选项符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的除法法则、积的乘方的运算法则、合并同类项法则和完全平方公式解答即可．
此题考查同底数幂的除法、合并同类项、积的乘方和完全平方公式，解题的关键是能够根据法则和公式进行正确计算．
 

4.【答案】 

【解析】解：、从正面看，可以看到个正方形，面积为，故A选项错误；
B、从左面看，可以看到个正方形，面积为，故B选项错误；
C、从上面看，可以看到个正方形，面积为，故C选项正确；
D、从上面看，可以看到个正方形，面积为，故D选项错误．
故选：．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，看分别得到几个面，比较即可．
本题主要考查了几何体的三种视图面积的求法及比较，关键是掌握三视图的画法．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查众数和中位数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
找到出现次数最多的数据，即为众数；求出第、个数据的平均数即可得这组数据的中位数，从而得出答案．
【解答】
解：这名同学读书册数的众数为册，中位数为册，
故选A．  

6.【答案】 

【解析】解：由题意，得
，，
故选：．
关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意得：年我省有效发明专利数为万件，
年我省有效发明专利数为万件，即万件．
故选：．
根据题意可知年我省有效发明专利数为万件，年我省有效发明专利数为，再结合题意即可解答．
本题主要考查了增长率问题，弄清题意、找到各量之间的数量关系是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
故选：．
利用垂直定义和三角形内角和定理计算出的度数，再利用平行线的性质可得的度数，再根据邻补角的性质可得答案．
此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

是的切线，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，根据切线的性质，即可求得的度数．
本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图知，，
当时，的值最小，即中，边上的高为即此时，
当时，，
的面积，
故选：．
由图知，，当时，的值最小，即中，边上的高为即此时，即可求解．
本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、勾股定理、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

12.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的两个实数根为，，
，
故答案为：．
根据一元二次方程根与系数的关系即可得出答案．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

13.【答案】 

【解析】解：估计该区全程观看冬奥会开幕式的九年级学生人数约为人．
故答案为：．
用总人数乘样本中观看冬奥会开幕式的九年级学生人数所占比例即可．
本题主要考查用样本估计总体，求出全程观看冬奥会开幕式的九年级学生人数所占的百分比是解答本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了解分式方程问题，要熟练掌握，解分式方程的步骤：去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论．
首先根据分式与的和为，可得：，然后根据解分式方程的方法，求出的值为多少即可．
【解答】
解：分式与的和为，
，
去分母，可得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
的值为．
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，，
，
，
，
故答案为：．
由定理得出≌，推出，根据垂径定理求出的长，再根据勾股定理求解即可．
本题的是垂径定理，全等三角形的性质和判定等知识，解此题的关键是求出≌和求出的长，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．
 

16.【答案】 或 

【解析】解：，
，
故答案为：；
当最小时，，，此种情况不成立，
当最小时，，，，，解得：；
当最小时，，，
，
Ⅰ、当最大时，，，，，解得：舍去；
Ⅱ、当最大时，，，，，解得：；
Ⅲ、当最大时，，，此种情况不成立，
综上，的值为或．
根据，即可得出答案；
分情况分别列出关于的方程，解方程可得．
本题主要考查新定义下解不等式组和一元一次方程的能力，根据新定义列出不等式组和一元一次方程是根本，由已知等式找到的两个分界点以准确分类讨论是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
． 

【解析】由零指数幂、绝对值的意义、特殊角的三角函数进行化简，即可得到答案．
本题考查了实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
 

18.【答案】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
 

【解析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
 

19.【答案】解：如图，延长交于点，则．

．
在中，，
在中，，
，
．
答：有效测温区间的长度约为． 

【解析】延长交于点，则，根据锐角三角函数即可求解．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义．
 

20.【答案】证明：在与中，
，
≌，
，
；

解：由知，，
，
，
，
又，
． 

【解析】利用“”证明≌，进而得出答案；
首先证明，进而得出，根据勾股定理即可得出答案．
本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理，证明三角形全等是解答本题的关键．
 

21.【答案】     

【解析】解：总调查人数为人，
，
，
，
故答案为：，，；
补全条形统计图如图：

由题意知，五名完全知晓的居民中有名女性，名男性，画树状图如图：

共有种等可能的结果，恰好抽到一男和一女的结果有种，
恰好抽到一男和一女的概率为．
先求出总人数，根据总人数乘以得到；总人数减去、、的人数可得；除以总人数可得；
根据人数补图即可；
列树状图解答．
此题考查了统计表与条形统计图，利用部分的数量及频率求总体人数，画条形统计图，列树状图求概率，正确理解统计图表是解题的关键．
 

22.【答案】解：设购买一副乒乓球拍需元，一副羽毛球需元，
依题意得：，
解得：．
答：购买一副乒乓球拍需元，一副羽毛球需元．
设购买且为整数副羽毛球拍，则选择方案所需总费用为元，选项方案所需总费用为元．
当时，
，
，
；
当时，
；
当时，
，
，
．
答：当购买羽毛球拍的数量少于副时，选项方案更实惠；当当购买羽毛球拍的数量等于副时，选项两种购买方案所需总费用相同；当购买羽毛球拍的数量大于副且不超过副时，选项方案更实惠． 

【解析】设购买一副乒乓球拍需元，一副羽毛球需元，根据“购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元，购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买且为整数副羽毛球拍，则选择方案所需总费用为元，选项方案所需总费用为元，分，及三种情况，即可求出的取值范围或的值，此题得解．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出选项各方案所需总费用．
 

23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
又，
且，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；

解：四边形是菱形，
，，
又，
是的中位线，
，，，
，
，
． 

【解析】根据平行四边形的性质得出，根据平行线的性质得出，求出，推出，再根据菱形的判定推出即可；
根据菱形的性质得出，，求出是的中位线，求出和，再根据三角形的面积公式求出即可．
本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，三角形的面积，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形的中位线等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
 

24.【答案】解：当是的切线时，则，
，
，
，，
．
，
；
芳芳正确，如图所示，连接，

是的直径，
，
，
，
∽，
，
，
则，
即，
，
芳芳正确；
如图，连接，

是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
． 

【解析】当是的切线时，则，则，再利用直角三角形斜边 的中线等于斜边的一半，得出，即可由等腰三角形的判定定理得出结论；
连接，是的直径，，又得出，证明∽，进而即可求解．
连接，根据题意得出，又，所以，再根据，则，然后证∽，得，因为，代入即可求解．
本题考查直角三角形的性质，圆周角定理的推论，相似三角形的性质，正切的定义，熟练掌握相关性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：将代入，
即，
解得：，
，
令，则，
令，则，
解得：，，，；
存在点，使是直角三角形，
，对称轴为直线，
设，
，，
，，，
当时，，
，
解得：；
当时，，

解得：；
当时，，
解得：或，
综上所述：，，，；
存在点使最小，理由如下：
作点关于的对称点，连接交于点，连接，

由对称性可知，，
，
当、、三点共线时，有最小值，
，，
，
，
由对称性可知，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
联立方程组，
解得：，
 

【解析】将代入，待定系数法求解析式，进而分别令，，解方程即可求解；
根据题意，对称轴为直线，设，根据勾股定理，，，分当时，当时，当时，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解；
存在点使最小，作点关于的对称点，连接交于点，连接，求得直线的解析式，直线的解析式为，联立方程即可求解．
本题考查了二次函数综合运用，待定系数求解析式，勾股定理，轴对称的性质求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．