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2023年山东省济南市天桥区中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2023年山东省济南市天桥区中考数学二模试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −3的绝对值是( )
A. −3B. 3C. 13D. −13
2. 如图是某几何体的三视图，该几何体是( )
A.
B.
C.
D.
3. “丝绸之路经济带”首个实体平台——中哈(连云港)物流合作基地的年最大装卸能力达到410000标箱，其中“410000”用科学记数法表示为( )
A. 0.41×106B. 4.1×105C. D. 4.1×106
4. 将一副三角尺按如图摆放，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF//BC，∠B=∠EDF=90°，∠A=45°，∠F=60°，则∠CED的度数是( )
A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°
5. 许多数学符号蕴含着对称美，在下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的符号是( )
A. B. C. D.
6. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是( )
A. ab>0B. a0D. ab>0
7. 小冰和小雪自愿参加学校组织的课后托管服务活动，随机选择自主阅读、体育活动、科普活动三项中的某一项，那么小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为( )
A. 13B. 23C. 19D. 29
8. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将△ABC先沿y轴翻折，再向下平移3个单位长度，得到△A′B′C′，那么点B的对应点B′的坐标为( )
A. (2,−3)
B. (4,3)
C. (−1,−3)
D. (1,0)
9. 如图，已知矩形AOBC的三个顶点的坐标分别为O(0,0)，A(0,3)，B(4,0)，按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交OC，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠BOC内交于点F；③作射线OF，交边BC于点G，则点G的坐标为( )
A. (4,43)B. (43,4)C. (53,4)D. (4,53)
10. 已知二次函数y=−x2+2x+3，截取该函数图象在0≤x≤4间的部分记为图象G，设经过点(0,t)且平行于x轴的直线为l，将图象G在直线l下方的部分沿直线l翻折，图象G在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象M，若函数M的最大值与最小值的差不大于5，则t的取值范围是( )
A. 0≤t≤1B. −1≤t≤1C. −2≤t≤0D. −1≤t≤0
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 分解因式：m2−3m=______．
12. 一个不透明的布袋中装有3个红球，5个黄球，2个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一球，摸到红球的概率为______ ．
13. 已知a，b为两个连续的整数，且a< 514. 代数式52x−1与代数式3x的值相等，则x= ______ ．
15. 如图，一张扇形纸片的圆心角为90°，半径为6，C是OA的中点，CD//OB，则图中阴影部分的面积为______ ．
16. 如图，正方形ABCD中，AB=4，点E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF，交BD于点M，将△EFM沿EF翻折，得到△EFN，连接AN，交EF于点G，若点F是BC边的中点，则线段AN的长是______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：．
18. (本小题6.0分)
解不等式，并写出它的所有整数解．
19. (本小题6.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线BD上，BA⊥AF，DC⊥CE.求证：DF=BE．
20. (本小题8.0分)
某学校九年级共1200名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本，视力在4.5≤x≤5.0范围内的数据如下：
根据数据绘制了如下的表格和统计图：
根据上面提供的信息，回答下列问题：
(1)统计表中的a= ______ ，b= ______ ．
(2)请补全条形统计图．
(3)写出这40名同学视力的中位数是______ ．
(4)根据抽样调查结果，请估计该校九年级学生视力为“E级”的有多少人？
21. (本小题8.0分)
如图，某建筑物AD楼顶立有高为6米的广告牌DE，小雪准备利用所学的三角函数知识估测此建筑物的高度.她从地面点B处沿坡度为i=3：4的斜坡BC步行15米到达点C处，测得广告牌底部点D的仰角为45°，广告牌顶部点E的仰角为53°.(小雪的身高忽略不计，坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度，参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈1.3)
(1)求点C距离水平地面的高度；
(2)求建筑物AD的高度．
22. (本小题8.0分)
如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
(1)求证：AC平分∠DAB；
(2)若AD=8，AC=4 5，求线段BE的长．
23. (本小题10.0分)
“4G改变生活，5G改变社会”，不一样的5G手机给人们带来了全新的体验，某营业厅现有A，B两种型号的5G手机出售，售出1部A型、1部B型手机共获利600元，售出3部A型、2部B型手机共获利1400元．
(1)求A，B两种型号的手机每部利润各是多少元；
(2)某营业厅再次购进A，B两种型号手机共20部，其中B型手机的数量不超过A型手机数量的23，请设计一个购买方案，使营业厅销售完这20部手机能获得最大利润，并求出最大利润．
24. (本小题10.0分)
如图，在直角坐标系中，直线y=−34x与反比例函数y=kx的图象交于A(m,3)、B两点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将直线y=−34x向上平移后与y轴交于点C，与双曲线在第二象限内的部分交于点D，如果△ABD的面积为16，求直线向上平移的距离；
(3)E是y轴正半轴上的一点，F是平面内任意一点，使以点A，B，E，F为顶点的四边形是矩形，请求出所有符合条件的点E的坐标．
25. (本小题12.0分)
如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BC=2 5，点D为平面内任意一点，将线段CD绕点C逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接AE．
(1)若点D为△ABC内部任意一点时．
①如图1，判断线段AE与BD的数量关系并给出证明；
②如图2，连接DE，当点E，D，B在同一直线上且BD=2时，求线段CD的长；
(2)如图3，直线AE与直线BD相交于点P，当AD=AC时，延长AC到点F，使得CF=AC，连接PF，请直接写出PF的取值范围．
26. (本小题12.0分)
如图，抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若在线段BC上存在一点M，使得∠BMO=45°，过点O作OH⊥OM交CB的延长线于点H，求点H的坐标；
(3)在(2)的条件下，点P是y轴正半轴上的一个动点，连接PM，过M做交x轴与Q，N是PQ的中点，求BN的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：−3的绝对值是3．
故选：B．
直接利用绝对值的性质得出答案．
此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的性质是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体是圆锥．
故选：C．
由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
本题考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为三角形的几何体为锥体．
3.【答案】B
【解析】解：410000=4.1×105．
故选：B．
根据科学记数法的表示方法写成：a×10n(1≤|a|<10)，进行表示即可．
本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法：a×10n(1≤|a|<10)是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，以及三角形的外角性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
根据三角形的内角和定理，得∠ACB=45°，∠DEF=30°，根据EF//BC可得∠BDE=∠DEF=30°，根据三角形的外角性质得∠ACB=∠BDE+∠CED，进而可得答案．
【解答】
解：∵∠B=90°，∠A=45°，
∴∠ACB=45°．
∵∠EDF=90°，∠F=60°，
∴∠DEF=30°．
∵EF//BC，
∴∠BDE=∠DEF=30°，
∵∠ACB=∠BDE+∠CED，
∴∠CED=∠ACB−∠BDE=45°−30°=15°．
故选A．
5.【答案】D
【解析】解：A.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．
6.【答案】B
【解析】解：由a，b在数轴上对应点的位置可知：a<0，b>0，
∴ab<0，a故A、C、D错误，B正确．
故选：B．
由a，b在数轴上对应点的位置可知：a<0，b>0，即可得到答案．
本题考查实数与数轴，关键是由a，b在数轴上对应点的位置得到a<0，b>0．
7.【答案】C
【解析】解：设自主阅读、体育活动、科普活动分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小冰和小雪同时选择“体育活动”的结果有1种，
∴小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为19，
故选：C．
画树状图，共有9种等可能的结果，其中小冰和小雪同时选择“体育活动”的结果有1种，再由概率公式求解即可．
本题考查了用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8.【答案】D
【解析】解：由坐标系可得B(−1,3)，将△ABC先沿y轴翻折得到B点对应点为(1,3)，再向下平移3个单位长度，点B的对应点B′的坐标为(1,0)，
故选：D．
根据轴对称的性质和平移规律求得即可．
本题主要考查了坐标与图形的变化--对称和平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．
9.【答案】A
【解析】解：∵四边形AOBC是矩形，A(0,3)，B(4,0)，
∴OB=4，OA=BC=3，∠OBC=90°，
∴OC= 32+42=5，
作GH⊥OC于H．
由作图可知：OG平分∠BOC，
∵GB⊥OB，GH⊥OC，
∴GB=GH，
设GB=GH=x，
∵S△OBC=12×3×4=12×5x+12×4x，
∴x=43，
∴G(4,43).
故选：A．
首作GH⊥OC于H.先证明GB=GH，利用面积法求出GB即可解决问题．
本题考查基本作图，矩形的性质，角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10.【答案】D
【解析】解：如图1所示，当t等于0时，
∵y=−(x−1)2+4，
∴顶点坐标为(1,4)，
当x=0时，y=3，
∴A(0,3)，
当x=4时，y=−5，
∴C(4,−5)，
∴当t=0时，
D(4,5)，
∴此时最大值为5，最小值为0；
如图2所示，当t=−1时，
此时最小值为−1，最大值为4．
综上所述：−1≤t≤0，
故选：D．
找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则t的范围可知．
此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为5的t的值为解题关键．
11.【答案】m(m−3)
【解析】解：m2−3m=m(m−3)．
故答案为：m(m−3)．
首先确定公因式m，直接提取公因式m分解因式．
本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式m是解题的关键．
12.【答案】310
【解析】解：共有球3+2+5=10个，红球有3个，
因此摸出的球是红球的概率为：310．
故答案为：310．
红球的个数除以球的总数即为摸到红球的概率．
本题考查了概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
13.【答案】9
【解析】解：∵a，b为两个连续的整数，且a< 5∴a=2，b=3，
∴ba=32=9．
故答案为：9．
直接利用 5的取值范围得出a，b的值，即可得出答案．
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出a，b的值是解题关键．
14.【答案】3
【解析】解：由题意得，，
去分母得，，
解得x=3，
经检验x=3是原方程的解，
所以原方程的解为x=3，
故答案为：3．
根据题意列方程，再根据解分式方程的步骤和方法进行计算即可．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
15.【答案】3π
【解析】解：如图，连接OD，
∵CD//OB，
，，
∵C是OA的中点，
∴OC=12OA=12OD，
，
由对称性可知，S弓形AD=S弓形OD，
=3π，
故答案为：3π．
根据线段中点的定义，直角三角形的边角关系可得∠BOD=30°，再根据对称性得出阴影部分的面积等于扇形BOD的面积，由扇形面积的计算方法进行计算即可．
本题考查线段的中点，扇形面积的计算以及直角三角形的边角关系，掌握扇形面积的计算方法以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
16.【答案】10 23
【解析】解：如图，过点E作HK⊥AD于H，交BC于K，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，AB=BC=AD=4，
∵点F是AB的中点，
∴BF=12BC=2，
在Rt△ABF中，，
∵AD//BC，
∴△AMD∽△FMB，
，
∴AM=2FM，
，
，
∴FM=2 53，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∵EH⊥AD，
∴△DEH是等腰直角三角形，
∴DH=DE，
，
∴四边形CDHK是矩形，
，
，即EK=AH，
∵EF⊥AE，
，
∵∠AEH+∠EAH=90°，
，
，
∴△EFK≌△AEH(ASA)，
∴AE=EF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠EFM=45°，
∵将△EFM沿EF翻折，得到△EFN，
，，
，
．
故答案为：10 23．
过点E作HK⊥AD于H，交BC于K，利用勾股定理求出AF=2 5，再证明△AMD∽△FMB，得出，进而求得，可证得△EFK≌△AEH(ASA)，得出AE=EF，推出△AEF是等腰直角三角形，进而得出∠EFM=45°，由翻折得出：FG=FM，，可得∠AFN=90°，再运用勾股定理即可得出答案．
本题是几何综合题，也是常见的中考数学填空压轴题，有一定难度，主要考查了正方形的性质，翻折变换的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等，添加辅助线构造全等三角形是解本题的关键．
17.【答案】解：原式=2+1−2×12+3
=2+1−1+3
=5．
【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、二次根式的性质、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18.【答案】解：，
解不等式①，得x≤5，
解不等式②，得x>2，
所以不等式组的解集是2所以不等式组的整数解是3，4，5．
【解析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可．
本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴∠BAD=∠CDB，
∵BA⊥AF，DC⊥CE，
，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE(ASA)，
∴BF=DE，
∴DF=BE．
【解析】由“ASA”可证△ABF≌△CDE，可得BF=DE，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
20.【答案】6 25% 4.55
【解析】解：(1)由题意可知，4.5≤x≤4.7的人数有6人，即a=6，；
故答案为：6，25%；
(2)由图可知D组人数：40×20%=8(人)，
补全统计图如下所示：
(3)由中位数的定义可知，中位数在C组，从小到大排在中间的两位数的平均值，
中位数：；
故答案为：4.55；
(4)1200×25%=300(人)．
答：该校九年级学生视力为“E级”的约有300人．
(1)由已知数据直接可得a的值，用视力在5.1≤x≤5.3的频数除以40可得b的值；
(2)计算出C，D两组的人数即可；
(3)根据中位数的定义计算即可；
(4)用样本估计总体即可．
本题考查条形统计图，解题的关键是读懂题意，掌握中位数概念，能用样本估计总体．
21.【答案】解：(1)过点C作CF⊥AB，垂足为F，
由题意得：BC=15米，
∵斜坡BC的坡度为i=3：4，
，
∴设CF=3x米，则BF=4x米，
在Rt△CFB中，米)，
∴5x=15，
∴x=3，
米)，
∴点C距离水平地面的高度为9米；
(2)过点C作CG⊥AE，垂足为G，
由题意得：米，
设CG=x米，
在Rt△CDG中，∠DCG=45°，
米)，
在Rt△ECG中，，
米)，
，
，
解得：x=20，
∴DG=20米，
米)，
∴建筑物AD的高度约为29米．
【解析】(1)过点C作CF⊥AB，垂足为F，根据题意可得：BC=15米，根据已知可设CF=3x米，则BF=4x米，然后在Rt△CFB中，利用勾股定理进行计算求出CF的长，即可解答；
(2)过点C作CG⊥AE，垂足为G，根据题意可得：米，然后设CG=x米，分别在Rt△CDG和Rt△ECG中，利用锐角三角函数的定义求出DG，EG的长，从而根据，列出关于x的方程，进行计算可求出DG的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键
22.【答案】(1)证明：如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴AD//OC，
∴∠1=∠3，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AC平分∠DAB；
(2)解：连接AE，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，∠AEB=90°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE=45°，
∴∠BAE=∠ABE=45°，
∴△AEB为等腰直角三角形，
，
∵∠D=∠ACB=90°，∠DAC=∠CAB，
∴△ADC∽△ACB，
∴ADAC=ACAB，
，
∴AB=10，
．
【解析】(1)根据切线的性质得OC⊥CD，而AD⊥CD，则可判断AD//OC，根据平行线的性质得∠1=∠3，加上∠2=∠3，则∠1=∠2，即可得到AC平分∠DAB；
(2)连接AE，证明△AEB是等腰直角三角形，再证明，利用相似比即可计算出AB的长即可解决问题．
本题考查了切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径，圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设A种型号手机每部利润是a元，B种型号手机每部利润是b元，由题意得：
，
解得a=200b=400．
答：A种型号手机每部利润是200元，B种型号手机每部利润是400元；
(2)设购进A种型号的手机x部，则购进B种型号的手机(20−x)部，获得的利润为w元，
w=200x+400(20−x)=−200x+8000，
∵B型手机的数量不超过A型手机数量的23，
∴20−x≤23x，
解得x≥12，
∵w=−200x+8000，k=−200，
∴w随x的增大而减小，
∴当x=12时，w取得最大值，此时w=−2400+8000=5600，
20−x=20−12=8．
答：营业厅购进A种型号的手机12部，B种型号的手机8部时获得最大利润，最大利润是5600元．
【解析】(1)根据题意由等量关系：售出1部A型、2部B型手机共获利1000元，售出2部A型、1部B型手机共获利800元可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得营业厅购进A、B两种型号手机每部利润各是多少元；
(2)根据题意，可以得到利润与A种型号手机数量的函数关系式，然后根据B型手机的数量不多于A型手机数量的23，可以求得A种型号手机数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
24.【答案】解：(1)令一次函数y=−34x中y=3，则，
解得：x=−4，即点A的坐标为(−4,3)，
∵点A(−4,3)在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=−4×3=−12，
∴反比例函数的表达式为y=−12x；
(2)连接AC、BC如图所示．
设平移后的解析式为y=−34x+b，
∵该直线平行直线AB，
∴S△ABD=S△ABC，
∵△ABD的面积为16，
，
，
∴b=4，
∴直线向上平移的距离为4个单位长度；
(3)如图，∵E是y轴正半轴上的一点，F是平面内任意一点，以点A，B，E，F为顶点的四边形是矩形，
∴∠BAE=90°，
过A作AH⊥y轴于H，
，
，
，
∴△AOH∽△EOA，
，
∵A(−4,3)，
∴AH=4，OH=3．
，
∴EH=163，
，
∴点E的坐标为(0,253).
【解析】(1)将y=3代入一次函数解析式中，求出x的值，即可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的表达式；
(2)连接AC、BC如图所示，设平移后的解析式为y=−34x+b，根据三角形的面积公式即可得到结论；
(3)如图，过A作AH⊥y轴于H，得到，根据余角的性质得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题是反比例函数的综合题，考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，相似三角形的判定和性质，数形结合是解题的关键．
25.【答案】解：(1)①AE=BD，理由如下：、
∵将线段CD绕点C逆时针方向旋转90°得到线段CE，
∴CD=CE，∠DCE=90°=∠ACB，
∴∠ACE=∠BCD，
又∵AC=BC，
∴△ACE≌△BCD(SAS)，
∴AE=BD；
②∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BC=2 5，
，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBD，AE=BD=2，
，
∴∠AEB=90°，
，
∴DE=6−2=4，
∵CD=CE，∠DCE=90°，
∴CD=2 2；
(2)∵△ACE≌△BCD，
∴∠E=∠CDB，∠ACE=∠DCB，
，
，
，
∴∠EPB=90°，
∴点P在以AB为直径的圆上运动，
如图3，取AB的中点O，过点O作OH⊥AF于H，
当点O在线段PF上时，PF有最大值，点P在线段OF上时，PF有最小值，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BC=2 5，
∴AB=2 10，AO=BO= 10，
∵OH⊥AC，BC⊥AC，
∴OH//BC，
，
，
，
，
∴PF的最大值为5 2+ 10，PF的最小值为5 2− 10，
．
【解析】(1)①由“SAS”可证△ACE≌△BCD，可得AE=BD；
②由全等三角形的性质可得∠CAE=∠CBD，AE=BD=2，由勾股定理可求BE的长，即可求解；
(2)由题意可得点P在以AB为直径的圆上运动，则当点O在线段PF上时，PF有最大值，点P在线段OF上时，PF有最小值，由勾股定理可求OF的长，即可求解．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
26.【答案】解：(1)将点A(−1,0)，B(3,0)代入y=ax2+bx+6，
得a−b+6=09a+3b+6=0，
解得a=−2b=4，
∴抛物线的解析式为y=−2x2+4x+6；
(2)过点M作MG⊥y轴于点G，过点H作轴于点T，
则∠QGO=90°，，
，
∵OH⊥OM，∠BMO=45°，
∴∠MOH=90°，∠OHM=45°，
，OM=OH，
，
在△MGO和△OTH中，
，
∴△MGO≌，
，，
∵点C坐标为(0,6)，
设直线BC的解析式为y=kx+n(k≠0,k,n为常数)，
代入点B(3,0)，点C(0,6)，
得，
解得k=−2n=6，
∴直线BC解析式为y=−2x+6，
设点H坐标为(m,−2m+6)，
则，，
∴点M坐标为，
∵点M在线段BC上，
，
解得m=185，
，
∴点H坐标为；
(3)由(2)可知，点M坐标为(65,185)，
∵PM⊥MQ，
∴△PMQ是直角三角形，
∵N是PQ的中点，
，
∵∠POQ=90°，
，
∴MN=ON，
∴点N在线段MO的垂直平分线上，
作线段MO的垂直平分线l，直线l与直线MO交于点R，直线l与x轴交于点K，
则R坐标为，
当BN⊥l时，BN取得最小值，如图所示：
设直线MO的解析式为，
代入点，
得，
解得e=3，
∴直线MO的解析式为y=3x，
设直线l的解析式为，
代入点，
得，
解得f=2，
∴直线l的解析式为y=−13x+2，
当时，x=6，
∴点K坐标为(6,0)，
，
：KO=1：2，
，，
∴△BNK∽△ORK，
∴BN：：KO=1：2，
，
，
∴BN的最小值为310 10．
【解析】(1)利用待定系数法求函数解析式即可；
(2)过点M作MG⊥y轴于点G，过点H作轴于点T，易证△MGO≌，根据全等三角形的性质可得，，利用待定系数法求出直线BC的解析式，设点H坐标为(m,−2m+6)，则，，可得点M坐标，代入直线BC的解析式，求出m的值，即可确定点H坐标；
(3)由(2)可知点M坐标，根据直角三角形斜边的中线的性质，可得MN=ON，可知点N在线段MO的垂直平分线上，作线段MO的垂直平分线l，直线l与直线MO交于点R，直线l与x轴交于点K，则R坐标为，当BN⊥l时，BN取得最小值，先求出直线MO的解析式，进一步可得直线l的解析式，求出点K的坐标，再证明△BNK∽△ORK，根据相似三角形的性质可得BN的最小值．
本题考查了二次函数的综合运用，涉及待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线的性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线等，本题综合性较强，难度较大．
等级
视力(x)
频数
百分比
A
x<4.2
4
10%
B
4.2≤x≤4.4
12
30%
C
4.5≤x≤4.7
a
D
4.8≤x≤5.0
20%
E
5.1≤x≤5.3
10
b%
合计
40
100%
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −3的绝对值是( )
A. −3B. 3C. 13D. −13
2. 如图是某几何体的三视图，该几何体是( )
A.
B.
C.
D.
3. “丝绸之路经济带”首个实体平台——中哈(连云港)物流合作基地的年最大装卸能力达到410000标箱，其中“410000”用科学记数法表示为( )
A. 0.41×106B. 4.1×105C. D. 4.1×106
4. 将一副三角尺按如图摆放，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF//BC，∠B=∠EDF=90°，∠A=45°，∠F=60°，则∠CED的度数是( )
A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°
5. 许多数学符号蕴含着对称美，在下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的符号是( )
A. B. C. D.
6. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是( )
A. ab>0B. a
7. 小冰和小雪自愿参加学校组织的课后托管服务活动，随机选择自主阅读、体育活动、科普活动三项中的某一项，那么小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为( )
A. 13B. 23C. 19D. 29
8. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将△ABC先沿y轴翻折，再向下平移3个单位长度，得到△A′B′C′，那么点B的对应点B′的坐标为( )
A. (2,−3)
B. (4,3)
C. (−1,−3)
D. (1,0)
9. 如图，已知矩形AOBC的三个顶点的坐标分别为O(0,0)，A(0,3)，B(4,0)，按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交OC，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠BOC内交于点F；③作射线OF，交边BC于点G，则点G的坐标为( )
A. (4,43)B. (43,4)C. (53,4)D. (4,53)
10. 已知二次函数y=−x2+2x+3，截取该函数图象在0≤x≤4间的部分记为图象G，设经过点(0,t)且平行于x轴的直线为l，将图象G在直线l下方的部分沿直线l翻折，图象G在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象M，若函数M的最大值与最小值的差不大于5，则t的取值范围是( )
A. 0≤t≤1B. −1≤t≤1C. −2≤t≤0D. −1≤t≤0
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 分解因式：m2−3m=______．
12. 一个不透明的布袋中装有3个红球，5个黄球，2个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一球，摸到红球的概率为______ ．
13. 已知a，b为两个连续的整数，且a< 5
15. 如图，一张扇形纸片的圆心角为90°，半径为6，C是OA的中点，CD//OB，则图中阴影部分的面积为______ ．
16. 如图，正方形ABCD中，AB=4，点E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF，交BD于点M，将△EFM沿EF翻折，得到△EFN，连接AN，交EF于点G，若点F是BC边的中点，则线段AN的长是______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：．
18. (本小题6.0分)
解不等式，并写出它的所有整数解．
19. (本小题6.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线BD上，BA⊥AF，DC⊥CE.求证：DF=BE．
20. (本小题8.0分)
某学校九年级共1200名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本，视力在4.5≤x≤5.0范围内的数据如下：
根据数据绘制了如下的表格和统计图：
根据上面提供的信息，回答下列问题：
(1)统计表中的a= ______ ，b= ______ ．
(2)请补全条形统计图．
(3)写出这40名同学视力的中位数是______ ．
(4)根据抽样调查结果，请估计该校九年级学生视力为“E级”的有多少人？
21. (本小题8.0分)
如图，某建筑物AD楼顶立有高为6米的广告牌DE，小雪准备利用所学的三角函数知识估测此建筑物的高度.她从地面点B处沿坡度为i=3：4的斜坡BC步行15米到达点C处，测得广告牌底部点D的仰角为45°，广告牌顶部点E的仰角为53°.(小雪的身高忽略不计，坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度，参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈1.3)
(1)求点C距离水平地面的高度；
(2)求建筑物AD的高度．
22. (本小题8.0分)
如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
(1)求证：AC平分∠DAB；
(2)若AD=8，AC=4 5，求线段BE的长．
23. (本小题10.0分)
“4G改变生活，5G改变社会”，不一样的5G手机给人们带来了全新的体验，某营业厅现有A，B两种型号的5G手机出售，售出1部A型、1部B型手机共获利600元，售出3部A型、2部B型手机共获利1400元．
(1)求A，B两种型号的手机每部利润各是多少元；
(2)某营业厅再次购进A，B两种型号手机共20部，其中B型手机的数量不超过A型手机数量的23，请设计一个购买方案，使营业厅销售完这20部手机能获得最大利润，并求出最大利润．
24. (本小题10.0分)
如图，在直角坐标系中，直线y=−34x与反比例函数y=kx的图象交于A(m,3)、B两点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将直线y=−34x向上平移后与y轴交于点C，与双曲线在第二象限内的部分交于点D，如果△ABD的面积为16，求直线向上平移的距离；
(3)E是y轴正半轴上的一点，F是平面内任意一点，使以点A，B，E，F为顶点的四边形是矩形，请求出所有符合条件的点E的坐标．
25. (本小题12.0分)
如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BC=2 5，点D为平面内任意一点，将线段CD绕点C逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接AE．
(1)若点D为△ABC内部任意一点时．
①如图1，判断线段AE与BD的数量关系并给出证明；
②如图2，连接DE，当点E，D，B在同一直线上且BD=2时，求线段CD的长；
(2)如图3，直线AE与直线BD相交于点P，当AD=AC时，延长AC到点F，使得CF=AC，连接PF，请直接写出PF的取值范围．
26. (本小题12.0分)
如图，抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若在线段BC上存在一点M，使得∠BMO=45°，过点O作OH⊥OM交CB的延长线于点H，求点H的坐标；
(3)在(2)的条件下，点P是y轴正半轴上的一个动点，连接PM，过M做交x轴与Q，N是PQ的中点，求BN的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：−3的绝对值是3．
故选：B．
直接利用绝对值的性质得出答案．
此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的性质是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体是圆锥．
故选：C．
由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
本题考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为三角形的几何体为锥体．
3.【答案】B
【解析】解：410000=4.1×105．
故选：B．
根据科学记数法的表示方法写成：a×10n(1≤|a|<10)，进行表示即可．
本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法：a×10n(1≤|a|<10)是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，以及三角形的外角性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
根据三角形的内角和定理，得∠ACB=45°，∠DEF=30°，根据EF//BC可得∠BDE=∠DEF=30°，根据三角形的外角性质得∠ACB=∠BDE+∠CED，进而可得答案．
【解答】
解：∵∠B=90°，∠A=45°，
∴∠ACB=45°．
∵∠EDF=90°，∠F=60°，
∴∠DEF=30°．
∵EF//BC，
∴∠BDE=∠DEF=30°，
∵∠ACB=∠BDE+∠CED，
∴∠CED=∠ACB−∠BDE=45°−30°=15°．
故选A．
5.【答案】D
【解析】解：A.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．
6.【答案】B
【解析】解：由a，b在数轴上对应点的位置可知：a<0，b>0，
∴ab<0，a
故选：B．
由a，b在数轴上对应点的位置可知：a<0，b>0，即可得到答案．
本题考查实数与数轴，关键是由a，b在数轴上对应点的位置得到a<0，b>0．
7.【答案】C
【解析】解：设自主阅读、体育活动、科普活动分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小冰和小雪同时选择“体育活动”的结果有1种，
∴小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为19，
故选：C．
画树状图，共有9种等可能的结果，其中小冰和小雪同时选择“体育活动”的结果有1种，再由概率公式求解即可．
本题考查了用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8.【答案】D
【解析】解：由坐标系可得B(−1,3)，将△ABC先沿y轴翻折得到B点对应点为(1,3)，再向下平移3个单位长度，点B的对应点B′的坐标为(1,0)，
故选：D．
根据轴对称的性质和平移规律求得即可．
本题主要考查了坐标与图形的变化--对称和平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．
9.【答案】A
【解析】解：∵四边形AOBC是矩形，A(0,3)，B(4,0)，
∴OB=4，OA=BC=3，∠OBC=90°，
∴OC= 32+42=5，
作GH⊥OC于H．
由作图可知：OG平分∠BOC，
∵GB⊥OB，GH⊥OC，
∴GB=GH，
设GB=GH=x，
∵S△OBC=12×3×4=12×5x+12×4x，
∴x=43，
∴G(4,43).
故选：A．
首作GH⊥OC于H.先证明GB=GH，利用面积法求出GB即可解决问题．
本题考查基本作图，矩形的性质，角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10.【答案】D
【解析】解：如图1所示，当t等于0时，
∵y=−(x−1)2+4，
∴顶点坐标为(1,4)，
当x=0时，y=3，
∴A(0,3)，
当x=4时，y=−5，
∴C(4,−5)，
∴当t=0时，
D(4,5)，
∴此时最大值为5，最小值为0；
如图2所示，当t=−1时，
此时最小值为−1，最大值为4．
综上所述：−1≤t≤0，
故选：D．
找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则t的范围可知．
此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为5的t的值为解题关键．
11.【答案】m(m−3)
【解析】解：m2−3m=m(m−3)．
故答案为：m(m−3)．
首先确定公因式m，直接提取公因式m分解因式．
本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式m是解题的关键．
12.【答案】310
【解析】解：共有球3+2+5=10个，红球有3个，
因此摸出的球是红球的概率为：310．
故答案为：310．
红球的个数除以球的总数即为摸到红球的概率．
本题考查了概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
13.【答案】9
【解析】解：∵a，b为两个连续的整数，且a< 5
∴ba=32=9．
故答案为：9．
直接利用 5的取值范围得出a，b的值，即可得出答案．
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出a，b的值是解题关键．
14.【答案】3
【解析】解：由题意得，，
去分母得，，
解得x=3，
经检验x=3是原方程的解，
所以原方程的解为x=3，
故答案为：3．
根据题意列方程，再根据解分式方程的步骤和方法进行计算即可．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
15.【答案】3π
【解析】解：如图，连接OD，
∵CD//OB，
，，
∵C是OA的中点，
∴OC=12OA=12OD，
，
由对称性可知，S弓形AD=S弓形OD，
=3π，
故答案为：3π．
根据线段中点的定义，直角三角形的边角关系可得∠BOD=30°，再根据对称性得出阴影部分的面积等于扇形BOD的面积，由扇形面积的计算方法进行计算即可．
本题考查线段的中点，扇形面积的计算以及直角三角形的边角关系，掌握扇形面积的计算方法以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
16.【答案】10 23
【解析】解：如图，过点E作HK⊥AD于H，交BC于K，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，AB=BC=AD=4，
∵点F是AB的中点，
∴BF=12BC=2，
在Rt△ABF中，，
∵AD//BC，
∴△AMD∽△FMB，
，
∴AM=2FM，
，
，
∴FM=2 53，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∵EH⊥AD，
∴△DEH是等腰直角三角形，
∴DH=DE，
，
∴四边形CDHK是矩形，
，
，即EK=AH，
∵EF⊥AE，
，
∵∠AEH+∠EAH=90°，
，
，
∴△EFK≌△AEH(ASA)，
∴AE=EF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠EFM=45°，
∵将△EFM沿EF翻折，得到△EFN，
，，
，
．
故答案为：10 23．
过点E作HK⊥AD于H，交BC于K，利用勾股定理求出AF=2 5，再证明△AMD∽△FMB，得出，进而求得，可证得△EFK≌△AEH(ASA)，得出AE=EF，推出△AEF是等腰直角三角形，进而得出∠EFM=45°，由翻折得出：FG=FM，，可得∠AFN=90°，再运用勾股定理即可得出答案．
本题是几何综合题，也是常见的中考数学填空压轴题，有一定难度，主要考查了正方形的性质，翻折变换的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等，添加辅助线构造全等三角形是解本题的关键．
17.【答案】解：原式=2+1−2×12+3
=2+1−1+3
=5．
【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、二次根式的性质、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18.【答案】解：，
解不等式①，得x≤5，
解不等式②，得x>2，
所以不等式组的解集是2
【解析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可．
本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴∠BAD=∠CDB，
∵BA⊥AF，DC⊥CE，
，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE(ASA)，
∴BF=DE，
∴DF=BE．
【解析】由“ASA”可证△ABF≌△CDE，可得BF=DE，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
20.【答案】6 25% 4.55
【解析】解：(1)由题意可知，4.5≤x≤4.7的人数有6人，即a=6，；
故答案为：6，25%；
(2)由图可知D组人数：40×20%=8(人)，
补全统计图如下所示：
(3)由中位数的定义可知，中位数在C组，从小到大排在中间的两位数的平均值，
中位数：；
故答案为：4.55；
(4)1200×25%=300(人)．
答：该校九年级学生视力为“E级”的约有300人．
(1)由已知数据直接可得a的值，用视力在5.1≤x≤5.3的频数除以40可得b的值；
(2)计算出C，D两组的人数即可；
(3)根据中位数的定义计算即可；
(4)用样本估计总体即可．
本题考查条形统计图，解题的关键是读懂题意，掌握中位数概念，能用样本估计总体．
21.【答案】解：(1)过点C作CF⊥AB，垂足为F，
由题意得：BC=15米，
∵斜坡BC的坡度为i=3：4，
，
∴设CF=3x米，则BF=4x米，
在Rt△CFB中，米)，
∴5x=15，
∴x=3，
米)，
∴点C距离水平地面的高度为9米；
(2)过点C作CG⊥AE，垂足为G，
由题意得：米，
设CG=x米，
在Rt△CDG中，∠DCG=45°，
米)，
在Rt△ECG中，，
米)，
，
，
解得：x=20，
∴DG=20米，
米)，
∴建筑物AD的高度约为29米．
【解析】(1)过点C作CF⊥AB，垂足为F，根据题意可得：BC=15米，根据已知可设CF=3x米，则BF=4x米，然后在Rt△CFB中，利用勾股定理进行计算求出CF的长，即可解答；
(2)过点C作CG⊥AE，垂足为G，根据题意可得：米，然后设CG=x米，分别在Rt△CDG和Rt△ECG中，利用锐角三角函数的定义求出DG，EG的长，从而根据，列出关于x的方程，进行计算可求出DG的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键
22.【答案】(1)证明：如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴AD//OC，
∴∠1=∠3，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AC平分∠DAB；
(2)解：连接AE，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，∠AEB=90°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE=45°，
∴∠BAE=∠ABE=45°，
∴△AEB为等腰直角三角形，
，
∵∠D=∠ACB=90°，∠DAC=∠CAB，
∴△ADC∽△ACB，
∴ADAC=ACAB，
，
∴AB=10，
．
【解析】(1)根据切线的性质得OC⊥CD，而AD⊥CD，则可判断AD//OC，根据平行线的性质得∠1=∠3，加上∠2=∠3，则∠1=∠2，即可得到AC平分∠DAB；
(2)连接AE，证明△AEB是等腰直角三角形，再证明，利用相似比即可计算出AB的长即可解决问题．
本题考查了切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径，圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设A种型号手机每部利润是a元，B种型号手机每部利润是b元，由题意得：
，
解得a=200b=400．
答：A种型号手机每部利润是200元，B种型号手机每部利润是400元；
(2)设购进A种型号的手机x部，则购进B种型号的手机(20−x)部，获得的利润为w元，
w=200x+400(20−x)=−200x+8000，
∵B型手机的数量不超过A型手机数量的23，
∴20−x≤23x，
解得x≥12，
∵w=−200x+8000，k=−200，
∴w随x的增大而减小，
∴当x=12时，w取得最大值，此时w=−2400+8000=5600，
20−x=20−12=8．
答：营业厅购进A种型号的手机12部，B种型号的手机8部时获得最大利润，最大利润是5600元．
【解析】(1)根据题意由等量关系：售出1部A型、2部B型手机共获利1000元，售出2部A型、1部B型手机共获利800元可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得营业厅购进A、B两种型号手机每部利润各是多少元；
(2)根据题意，可以得到利润与A种型号手机数量的函数关系式，然后根据B型手机的数量不多于A型手机数量的23，可以求得A种型号手机数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
24.【答案】解：(1)令一次函数y=−34x中y=3，则，
解得：x=−4，即点A的坐标为(−4,3)，
∵点A(−4,3)在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=−4×3=−12，
∴反比例函数的表达式为y=−12x；
(2)连接AC、BC如图所示．
设平移后的解析式为y=−34x+b，
∵该直线平行直线AB，
∴S△ABD=S△ABC，
∵△ABD的面积为16，
，
，
∴b=4，
∴直线向上平移的距离为4个单位长度；
(3)如图，∵E是y轴正半轴上的一点，F是平面内任意一点，以点A，B，E，F为顶点的四边形是矩形，
∴∠BAE=90°，
过A作AH⊥y轴于H，
，
，
，
∴△AOH∽△EOA，
，
∵A(−4,3)，
∴AH=4，OH=3．
，
∴EH=163，
，
∴点E的坐标为(0,253).
【解析】(1)将y=3代入一次函数解析式中，求出x的值，即可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的表达式；
(2)连接AC、BC如图所示，设平移后的解析式为y=−34x+b，根据三角形的面积公式即可得到结论；
(3)如图，过A作AH⊥y轴于H，得到，根据余角的性质得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题是反比例函数的综合题，考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，相似三角形的判定和性质，数形结合是解题的关键．
25.【答案】解：(1)①AE=BD，理由如下：、
∵将线段CD绕点C逆时针方向旋转90°得到线段CE，
∴CD=CE，∠DCE=90°=∠ACB，
∴∠ACE=∠BCD，
又∵AC=BC，
∴△ACE≌△BCD(SAS)，
∴AE=BD；
②∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BC=2 5，
，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBD，AE=BD=2，
，
∴∠AEB=90°，
，
∴DE=6−2=4，
∵CD=CE，∠DCE=90°，
∴CD=2 2；
(2)∵△ACE≌△BCD，
∴∠E=∠CDB，∠ACE=∠DCB，
，
，
，
∴∠EPB=90°，
∴点P在以AB为直径的圆上运动，
如图3，取AB的中点O，过点O作OH⊥AF于H，
当点O在线段PF上时，PF有最大值，点P在线段OF上时，PF有最小值，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BC=2 5，
∴AB=2 10，AO=BO= 10，
∵OH⊥AC，BC⊥AC，
∴OH//BC，
，
，
，
，
∴PF的最大值为5 2+ 10，PF的最小值为5 2− 10，
．
【解析】(1)①由“SAS”可证△ACE≌△BCD，可得AE=BD；
②由全等三角形的性质可得∠CAE=∠CBD，AE=BD=2，由勾股定理可求BE的长，即可求解；
(2)由题意可得点P在以AB为直径的圆上运动，则当点O在线段PF上时，PF有最大值，点P在线段OF上时，PF有最小值，由勾股定理可求OF的长，即可求解．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
26.【答案】解：(1)将点A(−1,0)，B(3,0)代入y=ax2+bx+6，
得a−b+6=09a+3b+6=0，
解得a=−2b=4，
∴抛物线的解析式为y=−2x2+4x+6；
(2)过点M作MG⊥y轴于点G，过点H作轴于点T，
则∠QGO=90°，，
，
∵OH⊥OM，∠BMO=45°，
∴∠MOH=90°，∠OHM=45°，
，OM=OH，
，
在△MGO和△OTH中，
，
∴△MGO≌，
，，
∵点C坐标为(0,6)，
设直线BC的解析式为y=kx+n(k≠0,k,n为常数)，
代入点B(3,0)，点C(0,6)，
得，
解得k=−2n=6，
∴直线BC解析式为y=−2x+6，
设点H坐标为(m,−2m+6)，
则，，
∴点M坐标为，
∵点M在线段BC上，
，
解得m=185，
，
∴点H坐标为；
(3)由(2)可知，点M坐标为(65,185)，
∵PM⊥MQ，
∴△PMQ是直角三角形，
∵N是PQ的中点，
，
∵∠POQ=90°，
，
∴MN=ON，
∴点N在线段MO的垂直平分线上，
作线段MO的垂直平分线l，直线l与直线MO交于点R，直线l与x轴交于点K，
则R坐标为，
当BN⊥l时，BN取得最小值，如图所示：
设直线MO的解析式为，
代入点，
得，
解得e=3，
∴直线MO的解析式为y=3x，
设直线l的解析式为，
代入点，
得，
解得f=2，
∴直线l的解析式为y=−13x+2，
当时，x=6，
∴点K坐标为(6,0)，
，
：KO=1：2，
，，
∴△BNK∽△ORK，
∴BN：：KO=1：2，
，
，
∴BN的最小值为310 10．
【解析】(1)利用待定系数法求函数解析式即可；
(2)过点M作MG⊥y轴于点G，过点H作轴于点T，易证△MGO≌，根据全等三角形的性质可得，，利用待定系数法求出直线BC的解析式，设点H坐标为(m,−2m+6)，则，，可得点M坐标，代入直线BC的解析式，求出m的值，即可确定点H坐标；
(3)由(2)可知点M坐标，根据直角三角形斜边的中线的性质，可得MN=ON，可知点N在线段MO的垂直平分线上，作线段MO的垂直平分线l，直线l与直线MO交于点R，直线l与x轴交于点K，则R坐标为，当BN⊥l时，BN取得最小值，先求出直线MO的解析式，进一步可得直线l的解析式，求出点K的坐标，再证明△BNK∽△ORK，根据相似三角形的性质可得BN的最小值．
本题考查了二次函数的综合运用，涉及待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线的性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线等，本题综合性较强，难度较大．
等级
视力(x)
频数
百分比
A
x<4.2
4
10%
B
4.2≤x≤4.4
12
30%
C
4.5≤x≤4.7
a
D
4.8≤x≤5.0
20%
E
5.1≤x≤5.3
10
b%
合计
40
100%
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