2023年山东省陵城区德州市江山实验学校中考数学一模试卷

这是一份2023年山东省陵城区德州市江山实验学校中考数学一模试卷，共26页。试卷主要包含了 下列计算正确的是等内容，欢迎下载使用。

2023年山东省陵城区德州市江山实验学校中考数学一模试卷
1. 在实数−4，7，−18，π3，0.131131113…中，有理数的个数是(    )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 下列四个图案中，具有一个共有性质.则下面四个数字中，满足上述性质的一个是(    )

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
3. 下列计算正确的是(    )
A. (−1)2023=−2023 B. −32=9
C. 4=±2 D. (a3)2=a6
4. 有一个几何体如图所示，该几何体的俯视图为(    )
A.
B.
C.
D.
5. 某人5次射击成绩为6，a，10，8，b.若这组数据的平均数为8，方差为85，则ab的值是(    )
A. 48 B. 50 C. 64 D. 68
6. 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为点O.若∠1=52∘，则∠2的度数为(    )
A. 28∘
B. 38∘
C. 52∘
D. 42∘
7. 如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37∘，同时测得BC=20米，则树的高AB(单位：米)为(    )

A. 20sin37∘ B. 20tan37∘ C. 20tan37∘ D. 20sin37∘
8. 如图，点P是反比例函数y=2x图象上的一点，过点P作PD⊥x轴于点D，若△POD的面积为m，则函数y=mx−1的图象为(    )
A.
B.
C.
D.
9. 为守住国家耕地底线，确保粮食安全，某地区积极相应国家“退林还耕”号召，将该地区一部分林地改为耕地，改变后，耕地面积和林地面积共有2000亩，林地面积是耕地面积的30%.设改变后耕地面积为x亩，林地面积为y亩，则下列方程正确的是(    )
A. x+y=2000x−y=30% B. x+y=2000y−x=30% C. x+y=2000x=y⋅30% D. x+y=2000y=x⋅30%
10. 如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE、CE，∠BCE=70∘，则∠EAD为(    )
A. 10∘
B. 15∘
C. 20∘
D. 30∘
11. 如图，已知正方形的顶点A(2,0)，C(0,2)，D是AB的中点，以顶点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OC，OD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线OG交边BC于点H，则点H的坐标为(    )
A. (4− 5,2)
B. (3− 3,2)
C. (43,2)
D. ( 5−1,2)
12. 如图，点A，B分别在y轴正半轴、x轴正半轴上，以AB为边构造正方形ABCD，点C，D恰好都落在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，点E在BC延长线上，CE=BC，EF⊥BE，交x轴于点F，边EF交反比例函数y=kx(k≠0)的图象于点P，记△BEF的面积为S，若S=k2+12，则△CEP的面积是(    )

A. 2 17+2 B. 2 17−2 C. 17+2 D. 17−2
13. 将数字4040000用科学记数法表示为______ .
14. 若 1−3x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______ .
15. 一个不透明的袋子中装有3个小球，其中2个红球、1个白球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是______ .
16. 已知x1，x2是方程x2+3x−2=0的两根，则x12+2x1−x2的值为______ .
17. 如图，△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点I，过点I的直线分别与AB，AC边相交于点M，N，若△AMN是直角三角形，则线段CN的长为______ .


18. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60∘，AB=4，E，F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE=DF，则AE+AF的最小值为______ .

19. (1)计算：(−2)×3+ 9+3−2−|−19|.
(2)化简：m2m−2+42−m.
20. 某校为了七、八、九年级学生对“创建文明城市”知识的掌握情况，从七、八、九年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩(百分制)进行整理、描述和分析.部分信息如下：
a.九年级成绩频数分布直方图
b.九年级成绩在70≤x<80这一组的是：71 73 74 74 75 75 76 76 76 77 78
c.七、八、九年级成绩的平均数、中位数如下：
年级
平均数
中位数
七
75.9
77
八
77.2
78.5
九
77.5
m
根据以上信息，回答下列问题：
(1)在这次测试中，九年级在70分以上的有______ 人；
(2)表中m的值为______ ；
(3)在这次测试中，七年级学生甲、八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；
(4)该校九年级学生有450人，假设全部参加此次测试，请估计九年级成绩超过平均数77.5分的人数.

21. 如图，已知一次函数y1=k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y2=k2x的图象分别交于C、D两点，点D(2,−4)，点B是线段AD的中点.
(1)求一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=k2x的解析式；
(2)求△COD的面积；
(3)直接写出y1>y2时自变量x的取值范围.

22. 某服装销售商用48000元购进了一批时髦服装，通过网络平台进行销售，由于行情较好，第二次又用100000元购进了同种服装，第二次购进数量是第一次购进数量的2倍，每件的进价多了10元.
(1)该销售商第一次购进了这种服装多少件，每件进价多少元？
(2)该销售商卖出第一批服装后，统计发现：若按每件300元销售，每天平均能卖出80件，销售价每降低10元，则多卖出20件.依此行情，卖第二批服装时，让利促销，并使一天的利润恰好为3600元，销售价应为多少？
23. 如图，以等腰△ABC的腰AB为直径作⊙O，交底边BC于点D，过点D作DG⊥AC于点G，延长CA交⊙O于点E，连接DE，交AB于点F.
(1)求证：DG是圆O的切线；
(2)若EA=EF=1，求圆O的半径.

24. 如图，已知抛物线y=ax2−32x+c与x轴交于点A(−4,0)，B(1,0)，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q使QB+QC最小？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点P为AC上方抛物线上的动点，过点P作PD⊥AC，垂足为点D，连接PC，当△PCD与△ACO相似时，求点P的坐标.

25. 如图1，在矩形ABCD中，AB=4，∠ACB=30∘.P，Q分别是AC，CD上的动点，且满足DQCP=35，E是射线AD上一点，AP=EP，设DQ=x，AP=y.

(1)求y关于x的函数表达式.
(2)当△PQE中有一条边与AC垂直时，求DQ的长.
(3)如图2，当点Q运动到点C时，点P运动到点F.连结FQ，以FQ，PQ为边作平行四边形PQFG.
①当GF所在直线经过点D时，求平行四边形PQFG的面积；
②当点G在△ABC的内部(不含边界)时，直接写出x的取值范围.
答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：有理数有：−4，7，−18三个数，
故选：C.
根据有理数的定义进行解答即可．
本题考查了有理数的定义，解题的关键是熟记整数与分数统称有理数．

2.【答案】C 
【解析】解：四个图形都是轴对称图形，在6，7，8，9中是轴对称图形的只有8.
故选：C.
题目中的四个图形都是轴对称图形，据此即可作出判断．
本题主要考查了对称图形的性质，正确理解题目中各个图形之间的关系是解题关键．

3.【答案】D 
【解析】解：A.(−1)2023=−1，故本选项不符合题意；
B.−32=−9，故本选项不符合题意；
C. 4=2，故本选项不符合题意；
D.(a3)2=a6，故本选项符合题意；
故选：D.
根据有理数的乘方，算术平方根和幂的乘方进行计算即可．
本题考查了有理数的乘方，算术平方根和幂的乘方等知识点，能熟练掌握有理数的乘方，算术平方根和幂的乘方是解此题的关键，①(am)n=amn，②当a≥0时， a2=a.

4.【答案】C 
【解析】解：从上面可看，左上有一条横向的实线．
∴俯视图是
故选：C.
根据三视图进行判断即可，注意看得见的部分用实线，看不见的部分用虚线表示．
本题考查了三视图的知识，掌握“俯视图是从物体的上面看到的视图”是解本题的关键．

5.【答案】C 
【解析】解：∵某人5次射击成绩为6，a，10，8，b.这组数据的平均数为8，方差为85，
∴6+a+10+8+b5=8(6−8)2+(a−8)2+(10−8)2+(8−8)2+(b−8)25=85，
解得a=8b=8，
∴ab=64，
故选：C.
根据某人5次射击成绩为6，a，10，8，b.这组数据的平均数为8，方差为85，可以列出关于a、b的方程组，然后求出a、b的值，即可得到ab的值．
本题考查算术平均数、方差，解答本题的关键是明确算术平均数和方差的计算方法．

6.【答案】B 
【解析】解：∵EO⊥CD，
∴∠COE=90∘，
∵∠1+∠COE+∠2=180∘，
∴∠2=180∘−90∘−52∘=38∘.
故选：B.
根据垂直的定义可得∠COE=90∘，根据平角的定义求解即可．
本题主要考查了垂线的定义、平角的定义等知识点，根据图形明确各角的关系是解题的关键．

7.【答案】B 
【解析】解：如图，在直角△ABC中，∠B=90∘，∠C=37∘，BC=20m，
∴tanC=ABBC，
则AB=BC⋅tanC=20tan37∘.
故选：B.
通过解直角△ABC可以求得AB的长度．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．

8.【答案】A 
【解析】解：设P点坐标为(x,y)，
∵P点在第一象限且在函数y=2x的图象上，
∴S△POD=12×2=1，即m=1.
∴一次函数y=mx−1的解析式为：y=x−1，
∴一次函数的图象是经过点(0,−1)，(1,0)的直线．
故选：A.
先根据反比例函数系数k的几何意义，求出m的值等于1，然后求出一次函数的解析式，再确定一次函数的图象经过点(0,−1)(1,0)，即可确定选项．
考查了反比例函数图象上点的坐标特点及一次函数的图象，解答此题的关键是根据反比例函数系数k的几何意义求出m的值，再根据一次函数解析式确定一次函数的图象与坐标轴的交点．

9.【答案】D 
【解析】解：∵改变后，耕地面积和林地面积共有2000亩，
∴x+y=2000；
∵改变后，林地面积是耕地面积的30%，
∴y=x⋅30%.
∴根据题意可列方程组x+y=2000y=x⋅30%.
故选：D.
根据“改变后，耕地面积和林地面积共有2000亩，林地面积是耕地面积的30%”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

10.【答案】C 
【解析】解：∵正方形ABCD，
∴∠ADE=∠CDE=∠EBC=45∘，AD=CD，
∵DE=DE，
∴△AED≌△CED(SAS)，
∴∠EAD=∠ECD，
又∵∠BCE=70∘，
∴∠ECD=∠BCD−∠BCE=90∘−70∘=20∘，
∴∠EAD=20∘.
故选：C.
先根据SAS证出△AED≌△CED，可得∠EAD=∠ECD，根据正方形的性质以及∠BCE=70∘可求∠BCD的度数，最终可求出∠EAD的度数．
本题主要考查正方形对角线平分对角的性质，解题的关键还需要借助正方形的性质角的关系，再灵活运用三角形全等进行转化．

11.【答案】D 
【解析】解：如图，延长AB交射线OG于点I，

∵正方形的顶点A(2,0)，C(0,2)，
∴AO=OC=AB=BC=2，∠A=90∘，AB//OC，
∵D是AB的中点，
∴AD=BD=1，
在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD= 5，
由题意可得：AG平分∠COD，
∴∠COG=∠IOD，
∵AB//OC，
∴∠COG=∠DIO，
∴∠DIO=∠IOD，
∴DI=DO= 5，
∴BI= 5−1，
∵AB//OC，
∴△COH∽△BIH，
∴CHBH=COBI，
∴CH2−CH=2 5−1，
解得CH= 5−1.
经检验CH= 5−1是原分式方程的解，且符合题意，
∴H( 5−1,2).
故选：D.
延长AB交射线OG于点I，由勾股定理可得OD，由∠DOI=∠DIO可得DI，进而可得IB，由△COH∽△BIH，可得CHBH=COBI，再解关于CH的分式方程便可解答．
本题考查了作图-基本作图，坐标与图形性质，正方形的性质，角平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识；根据相似三角形的性质列方程是解题关键．

12.【答案】B 
【解析】解：如图作DM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N.设OA=b，OB=a.

∵四边形ABCD是正方形，
∵AD=AB=BC，∠DAB=∠ABC=90∘，
易证△AOB≌△BNC≌△DMA，
∴DM=OA=BN=b，AM=OB=CN=a，
∴D(b,a+b)，C(a+b,a)，
∵点C，D恰好都落在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，
∴b(a+b)=a(a+b)，
∵a+b≠0，
∴a=b，
∴OA=OB，
∴∠ABO=45∘，∠EBF=45∘，
∵BE⊥EF，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∵BC=EC，
∴可得E(3a,2a)，F(5a,0)，
∴12×4a×2a=k2+12，
∵D(a,2a)，
∴2a2=k，
∴a=2，k=8，
∴E(6,4)，F(10,0)，
∴直线EF的解析式为y=−x+10，
由y=8xy=−x+10，解得x=5+ 17y=5− 17或x=5− 17y=5+ 17，
∴p(5+ 17,5− 17)，
∴PE= 34− 2，
∴S△ECP=12⋅EC⋅EP=12⋅( 34− 2)×2 2=2 17−2，
故选：B.
如图作DM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N.设OA=b，OB=a.首先利用全等三角形的性质求出D、C两点坐标，再证明a=b，再构建方程求出a、k，再求出直线EF的解析式，利用方程组确定点P坐标即可解决问题；
本题考查反比例函数图象的点的特征，正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

13.【答案】4.04×106 
【解析】解：4040000=4.04×106，
故答案为：4.04×106.
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定a和n的值．

14.【答案】x≤13 
【解析】解：要使 1−3x在实数范围内有意义，必须1−3x≥0，
解得：x≤13.
故答案为：x≤13.
根据二次根式有意义的条件得出1−3x≥0，再求出答案即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记 a中a≥0是解此题的关键．

15.【答案】23 
【解析】解：从袋子中随机摸出一个小球共有3种等可能结果，其中摸出的小球是红球的有2种结果，
∴摸出的小球是红球的概率为23，
故答案为：23.
用红球的个数除以球的总个数即可．
本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．

16.【答案】5 
【解析】解：∵x1，x2是方程x2+3x−2=0的两根，
∴x12=2−3x1，x1+x2=−3，
∴x12+2x1−x2
=2−3x1+2x1−x2
=2−x1−x2
=2−(x1+x2)
=2−(−3)
=5.
故答案为：5.
根据一元二次方程根与系数关系可得到x12+2x1−x2的值．
本题考查了一元二次方程根与系数关系，一元二次方程的解，合并同类项，已知式子的值求代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系是解题的关键．

17.【答案】1或14 
【解析】解：∵AC2+BC2=42+32=25，AB2=52=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90∘，
分两种情况：①当∠ANM=90∘时，过点I作ID⊥CD于D，IE⊥AB于E，连接AI，

∵∠ACB=∠INC=∠IDC=90∘
∴四边形IDCN为矩形，
∵CI平分∠ACB，ID⊥CD，IN⊥AC，
∴ID=IN，
∴四边形IDCN为正方形，
∴CD=CN，
∵IB平分∠ABC，
∴∠IBD=∠IBE，
在△IBD与△IBE中，
∠IBD=∠IBE∠IDB=∠IEB=90∘IB=IB，
∴△IBD≌△IBE(AAS)，
∴BD=BE，
同理可得AE=AN，
∴2CN=CN+CD=AC−AN+BC−BD=AC−AE+BC−BE=AC+BC−(AE+BE)=AC+BC−AB=4+3−5=2，
∴CN=1；
②当∠AMN=90∘时，过点I作ID⊥CD于D，IE⊥AC于E，连接AI，

由(1)可得CE=IE=IM=ID=1，
∴AE=AM=AC−CE=4−1=3，
∵∠AMN=∠IEN=90∘，∠ANM=∠INE
∴△AMN∽△IEN
∴AMIE=MNNE=ANIN，即31=1+INNE=3+NEIN，
解得：IN=54，NE=34，
∴CN=CE−NE=1−34=14.
综上，线段CN的长为1或14，
故答案为：1或14.
先由勾股定理证明∠ACB=90∘，再分两种情况：①当∠ANM=90∘时，②当∠AMN=90∘时，分别求解即可．
本题考查勾股定理的逆定理，角平分线的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．

18.【答案】4 2 
【解析】解：如图，BC的下方作∠CBT=30∘，截取BT，使得BT=AD，连接ET，AT.

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60∘，
∴∠ADC=∠ABC=60∘，∠ADF=12∠ADC=30∘，
∵AD=BT，∠ADF=∠TBE=30∘，DF=BE，
∴△ADF≌△TBE(SAS)，
∴AF=ET，
∵∠ABT=∠ABC+∠CBT=60∘+30∘=90∘，AB=AD=BT=2，
∴AT= AB2+BT2= 42+42=4 2，
∴AE+AF=AE+ET，
∵AE+ET≥AT，
∴AE+AF≥4 2，
∴AE+AF的最小值为4 2，
故答案为4 2.
如图，BC的下方作∠CBT=30∘，截取BT，使得BT=AD，连接ET，AT.证明△ADF≌△TBE(SAS)，推出AF=ET，AE+AF=AE+ET，根据AE+ET≥AT求解即可．
本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．

19.【答案】解：(1)原式=−6+3+19−19=−3；
(2)原式=m2m−2−4m−2
=m2−4m−2
=(m+2)(m−2)m−2
=m+2. 
【解析】(1)先利用负整数指数幂及算术平方根的意义、计算乘方和开方，再化简绝对值和计算乘法，最后算加减；
(2)按同分母分式加减法法则计算即可．
本题考查了实数的混合运算和分式的加减，掌握实数的运算法则、运算顺序及分式的加减法法则是解决本题的关键．

20.【答案】3476.5 
【解析】解：(1)在这次测试九年级在70分以上(含70分)的有11+15+8=34(人)；
故答案为：34；
(2)九年级50人成绩的中位数按从小到大排列是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为76、77，
∴m=76+772=76.5
故答案为：76.5；
(3)甲学生在该年级的排名更靠前，
∵七年级学生甲的成绩高于中位数7，
所以其名次在该年级抽查的学生数的25名及以前，
八年级学生乙的成绩小于中位数78.其名次在该年级抽查的学生数的26名及以后，
∴甲学生在该年级的排名更靠前．
(4)估计九年级成绩超过平均数77.5分的人数为450×1+15+850=216(人).
答：估计九年级成绩超过平均数77.5分的人数是216人．
(1)由九年级成绩频数分布直方图即可计算出人数；
(2)把数据按大小排列，中间两位数是第25、26两个数据，分别为76、77，则可求得中位数m；
(3)根据两位同学所在年级的中位数即可作出判断；
(4)由样本估计总体，求得九年级成绩超过平均数77.(5分)所占的百分比，即可求得．
本题考查频率分布直方图，统计图表的综合，考查了平均数、中位数及众数，根据中位数作出判断，样本估计总体等知识，读懂图表是解题的关键．

21.【答案】解：(1)将D(2,−4)代入y2=k2x，
得：k22=−4，
解得k2=−8，
即反比例函数解析式为：y2=−8x；
∵点B为AD的中点，点B横坐标为0，点A纵坐标为0，点D(2,−4)，
∴B点坐标为(0,−2)，
将B(0,−2)、D(2,−4)代入一次函数y1=k1x+b，
得：2k1+b=−4b=−2，
解得：k1=−1b=−2，
即一次函数解析式为：y1=−x−2；
(2)∵B(0,−2)，
∴OB=2，
联立y=−x−2y=−8x，
解得x1=2y1=−4，x2=−4y2=2，
即C的坐标(−4,2).
又∵D(2,−4)，
则△COD的面积是S△COD=12|OB|×[|xC|+|xD|]=12×2×(2+4)=6，
即所求面积为6；
(3)y1>y2时自变量x的取值范围即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量x的取值范围，如图，

结合图象可得：x<−4或者0 【解析】(1)将D(2,−4)代入y2=k2x，即可求出反比例函数解析式；根据点B为AD的中点，点B横坐标为0，点A纵坐标为0，点D(2,−4)，求出B点坐标为(0,−2)，再利用待定系数法即可作答；
(2)联立y=−x−2y=−8x，求出C的坐标(−4,2).再利用S△COD=12|OB|×[|xC|+|xD|]即可作答；
(3)根据图象，数形结合即可作答．
本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，利用函数图象解不等式．熟练掌握待定系数法是解(1)的关键，求出点C的坐标是解(2)(3)的关键．

22.【答案】解：(1)设第一次购进了这种服装x件，
由题意可得：48000x+10=1000002x.
解之得x=200，经检验x=200是方程的解，并符合题意．
则48000÷200=240.
答：第一次购进了这种服装200件，每件进价240元；
(2)设销售价为t元/件，则每天销售量为：80+300−t10×20=680−2t(件).
则由题意可得：(t−250)×(680−2t)=3600，
整理，得t2−590t+86800=0，
解得t1=280，t2=310.
∵让利促销，
∴t2=310(舍去)，取t1=280.
答：销售价定为280元/件． 
【解析】(1)设第一次购进了这种服装x件，根据关键描述语“第二次购进数量是第一次购进数量的2倍，每件的进价多了10元”列出方程并解答；
(2)设销售价为t元/件，则每天销售量为80+300−t10×20=680−2t(件)，根据利润，销售数量以及销售价格的关系列出方程并解答．
本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出方程．

23.【答案】(1)证明：如图所示，连接OD，

∵AB=AC，OB=OD，
∴∠B=∠C，∠B=∠ODB，
∴∠C=∠ODB，
∴OD//AC，
∵DG⊥AC，
∴DG⊥OD，
又∵OD为半径，
∴DG是圆O的切线；

(2)解：如图所示，连接AD，

∵EF=EA，
∴∠EFA=∠EAF，
∵OD//AE，
∴∠DOF=∠EAF，
又∵∠DFO=∠EFA，
∴∠DOF=∠DFO，
∴OD=FD，
设OD=OA=FD=r，
∴DE=FD+EF=r+1，
∵∠B=∠E，∠B=∠C，
∴∠E=∠C，
∴CD=DE=r+1，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90∘，
又∵AB=AC，
∴BD=CD=r+1，
又∵∠BFD=∠EFA，∠EAF=∠BDF，∠EFA=∠EAF，
∴∠BFD=∠BDF，
∴BF=BD=r+1，
∴AF=AB−DF=r−1，
∴OF=1；
∵OD//AE，
∴△ODF∽△AEF，
∴AEOD=AFOF，即1r=r−11，
解得r= 5+12，
∴圆O的半径为 5+12. 
【解析】(1)如图所示，连接OD，先根据等边对等角证明∠C=∠ODB，即可证明OD//AC，再由DG⊥AC，得到DG⊥OD，由此即可证明DG是圆O的切线；
(2)如图所示，连接AD，先根据等边对等角得到∠EFA=∠EAF，再由平行线的性质推出∠DOF=∠DFO，则OD=FD，设OD=OA=FD=r，则DE=r+1，再证明∠E=∠C，得到CD=DE=r+1；又三线合一定理得到BD=CD=r+1，进一步证明∠BFD=∠BDF，得到BF=BD=r+1，则AF=r−1，OF=1；证明△ODF∽△AEF，得到1r=r−11，解得r= 5+12，则圆O的半径为 5+12.
本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．

24.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2−32x+c与x轴交于点A(−4,0)，B(1,0)，
∴16a−32×(−4)+c=0a−32+c=0，
解得a=−12c=2，
∴抛物线的解析式为y=−12x2−32x+2；
(2)存在，如图：因为A，B关于对称轴对称，AC与对称轴的交点即为所求：

由(1)可知，对称轴为：x=−b2a=−−322×(−12)=−32，C(0,2)，
∵A(−4,0)，C(0,2)，
∴AC所在直线解析式为：y=12x+2，
令x=−32，y=12×(−32)+2=54，
∴Q(−32,54)；
(3)∵点A(−4,0)，B(1,0)，
∴OA=4，OB=1，
在抛物线y=−12x2−32x+2中，当x=0时，y=2，
∴C(0,2)，
∴OC=2，
∴AC= OA2+OC2= 42+22=2 5.
∵PD⊥AC，
∴∠PDC=90∘=∠AOC，
∴当△PCD与△ACO相似时，则△PCD∽△CAO或△PCD∽△ACO，
①若△PCD∽△CAO，则∠PCD=∠CAO，

∴CP//AO，
∵C(0,2)，
∴点P的纵坐标为2，
∵点P为AC上方抛物线上的动点，
∴2=−12x2−32x+2，
解得：x1=0(不合题意，舍去)，x2=−3，
∴此时点P的坐标为(−3,2)；
②若△PCD∽△ACO，则∠PCD=∠ACO，PDAO=CDCO，
∴PDCD=AOCO=42=2，
过点A作AC的垂线，交CP的延长线于点G，过点G作GH⊥x轴于点H，如图：

∵PD⊥AC，GA⊥AC，
∴GA//PD，
∴△GAC∽△PDC，
∴GAPD=ACCD，
∴GAAC=PDCD=2，
∵GA⊥AC，GH⊥x轴，
∴∠GAC=∠GHA=90∘，
∴∠AGH+∠GAH=90∘，∠GAH+∠CAO=90∘，
∴∠AGH=∠CAO，
∵∠GHA=∠AOC=90∘，
∴△GHA∽△AOC，
∴GHAO=AHCO=GAAC，
即GH4=AH2=2，
∴GH=8，AH=4，
∴HO=AH+OA=8，
∴G(−8,8)，
设直线CG的解析式为y=−34x+2，
令−34x+2=−12x2−32x+2，
解得：x1=0(不合题意，舍去)，x2=−32，
把x=−32代入y=−34x+2得：y=−34x+2=−34×(−32)+2=258，
∴此时点P的坐标为(−32,258)，
综上所述，符合条件的点P的坐标为(−3,2)或(−32,258). 
【解析】(1)由待定系数法求解即可；
(2)作点B关于对称轴对称的点B′，连接B′C交对称轴于一点即为Q；
(3)当△PCD与△ACO相似时，则△PCD∽△CAO或△PCD∽△ACO，故分分类讨论即可：①若△PCD∽△CAO，则∠PCD=∠CAO，可推出点P的纵坐标与点C的纵坐标相同，由点P为AC上方抛物线上的动点，得关于x的一元二次方程，求解并作出取舍则可得答案；②若△PCD∽△ACO，则∠PCD=∠ACO，PDAO=CDCO，过点A作AC的垂线，交CP的延长线于点G，过点G作GH⊥x轴于点H，判定△GAC∽△PDC，△GHA∽△AOC，由相似三角形的性质得比例式，解得点G的坐标，从而可得直线CG的解析式，求得直线CG与抛物线的交点横坐标，再代入直线CG的解析式求得其纵坐标，即为此时点P的坐标．
本题考查二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数的解析式、“一线三直角“模型及相似三角形的判定与性质等知识点是解题的关键．

25.【答案】解：(1)在矩形ABCD中，CD=AB=4.
∵∠ACB=30∘，AB=4，
∴AC=2AB=8.
∵AP=y，
∴CP=8−y.
∵DQCP=35，
∴x8−y=35.
∴y=−53x+8.

(2)(i)当PQ⊥AC时，
∵DQ=x，AP=y，
∴CQ=4−x，CP=8−Y.
∵cos∠ACD=PCCQ=12，
∴8−y4−x=12，
解得x=1213，即DQ=1213.
(ii)当QE⊥AC时，
延长EQ交AC于点H.
∵AD//BC，
∴∠CAD=∠ACB=30∘，∠ACD=80∘.
∵AP=PE，
∴∠EPA=2∠EAC=60∘，
∴△KPC是等边三角形．
∴KC=CP=8−y=53x，
∴DK=4−53x.
在Rt△DEK中，DE= 3DK，
在Rt△DEQ中，DE= 33DQ，
∴ 3DK= 33DQ，即 3(4−53x)= 33x，
解得x=2，即DQ=2.

(iii)∵∠AEP=∠CAD=30∘，
∴∠APE=120∘，
综上，DQ的值为1213或2；
∴PE不可能垂直于AC.
(3)当x=4时，y=−53x+8=−53×4+8=43，即AF=43，
∴CF=8−AF=203.
①在平行四边形PQFG中，DG//PQ，
∴FCCP=DCCQ，即20353x=44−x，
解得x=2，
∴CQ=4−2=2，PF=FC−CP=103.
过点Q作QH⊥PC，则QH= 32QC= 3.
∴S平行四边形PQFG=2S△FQP=PF⋅QH=1033.

②411 提示：当点G落在AB边上时，

∵FG//QP，
∴∠GFP=∠QPF，
∴∠AFG=∠QPC.
∵AB//CD，
∴∠BAC=∠DCA.
∵FG=PQ，
∴△AFG≌△CQP(AAS).
∴AF=CP，即53x=43，
解得x=45.
当点G落在BC边上时，

作QN//AD交AC于点N，作NM⊥AD于点M，
则MN=DQ=x，QN//BC，
∴AN=2x，NF=43−2x.∠QNF=∠BCP，
∵四边形PQFG是平行四边形，
∴QF=PG，∠QFP=∠GPF，
∴∠QFN=∠GPC，
∴△QNF≌△GCP(AAS)，
∴NF=CP，即43−2x=53x，
解得x=411，
∴411 【解析】(1)利用∠ACB=30∘，AB=4得到AC=2AB=8，求出CP=8−y，代入比例即可得到函数解析式；
(2)分情况：(i)当PQ⊥AC时，(ii)当QE⊥AC时，(iii)由∠AEP=∠CAD=30∘，得PE不可能垂直于AC，依次分析求解；
(3)①由DG//PQ，得到FCCP=DCCQ，得CQ=4−2=2，PF=FC−CP=103.过点Q作QH⊥PC，则QH= 32QC= 3.利用S平行四边形PQFG=2S△FQP求出答案；②当点G落在AB边上时，证明△AFG≌△CQP，得AF=CP，即53x=43，求得x=45.当点G落在BC边上时，作QN//AD交AC于点N，作NM⊥AD于点M，得△QNF≌△GCP，即43−2x=53x，求得x=411，即可得到x的取值范围．
此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，求函数解析式，综合掌握各知识点是解题的关键．