2023年天津市红桥区中考数学一模试卷（含解析）

2023年天津市红桥区中考数学一模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算的结果等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列图案中，可以看作是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  将用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  估计的值在(    )

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

7.  方程组的解是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，四边形是矩形，，两点的坐标分别是，，点在第一象限，则点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

11.  如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，当的延长线经过点时，则下列结论一定正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

12.  开口向下的抛物线为常数，与轴的负半轴交于点，对称轴为直线有下列结论：；函数的最大值为；若关于的方程无实数根，则其中，正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  计算的结果等于______ ．

14.  计算的结果等于______ ．

15.  不透明袋子中装有个球，其中有个红球和个蓝球，这些球除颜色外无其他差别从袋子中随机取出个球，则它是蓝球的概率是______ ．

16.  若一次函数是常数的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是______ ．

17.  如图，已知正方形的边长为，为的中点，为上一点，且，若，分别为，的中点，连接，则的长为______ ．

18.  如图，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点，，均在格点上，是的内切圆．
Ⅰ线段的长等于______ ；
Ⅱ的半径的长等于______ ；
Ⅲ是上的动点，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的不要求证明 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
Ⅰ解不等式，得______ ；
Ⅱ解不等式，得______ ；
Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来：

原不等式组的解集为______ ．

20.  本小题分
某校在一次体育测试中，随机抽取了部分男生每人完成引体向上的次数根据统计的结果，绘制出如下的统计图和图．

请根据相关信息，解答下列问题：
Ⅰ本次接受随机抽样调查的男生人数为______ ，图中的值为______ ；
Ⅱ求统计的这组次数数据的平均数、众数和中位数．

21.  本小题分
在中，为直径，过上一点作的切线，与的延长线交于点，连接．
Ⅰ如图，若，求的大小；
Ⅱ如图，过点作的垂线，垂足为，交于点，连接，若，，求的长．
 

22.  本小题分
小琪要测量某建筑物的高度如图，小琪在点处测得该建筑物的最高点的仰角为，再往该建筑物方向前进至点处测得最高点的仰角为根据测得的数据，计算该建筑物的高度结果取整数．
参考数据：，，．

23.  本小题分
在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．

已知小明家、体育馆、图书馆依次在同一条直线上小明从家出发，匀速骑行到达体育馆；在体育馆停留一段时间后，匀速步行到达图书馆；在图书馆停留一段时间后，匀速骑行返回家中，给出的图象反映了这个过程中小明离开家的距离与离开家的时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
Ⅰ填表：

Ⅱ填空：
体育馆与图书馆之间的距离为______ ；
小明从体育馆到图书馆的步行速度为______ ；
当小明离开家的距离为时，他离开家的时间为______
Ⅲ当时，请直接写出关于的函数解析式．

24.  本小题分
将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点在边上点不与点，重合，折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点，并与轴的正半轴相交于点，且，点的对应点落在第一象限设．
Ⅰ如图，当时，求的大小和点的坐标；
Ⅱ如图，若折叠后重合部分为四边形，点的对应点为，且在直线的下方，，分别与边相交于点，，试用含有的式子表示重合部分的面积，并直接写出的取值范围；
Ⅲ若折叠后重合部分的面积为，求的值直接写出结果即可．
 

25.  本小题分
抛物线为常数，交轴于，两点．
Ⅰ求该抛物线的解析式；
Ⅱ点，是线段上的动点点不与点，重合．
点关于轴的对称点为，当点在该抛物线上时，求点的坐标；
是线段上的动点点不与点，重合，且，连接，，当取得最小值时，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据有理数乘法法则：负负得正，
．
故选：．
根据有理数乘法法则进行计算即可．
此题考查了有理数的乘法，熟练掌握乘法法则是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答．
本题考查了特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、此图形旋转后不能与原图形重合，
此图形不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、此图形旋转后不能与原图形重合，
此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、此图形旋转后能与原图形重合，
此图形是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、此图形旋转后不能与原图形重合，
此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的定义绕一个点旋转能够与自身重合的图形判断即可．
此题考查了利用旋转设计图案，中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示为：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

5.【答案】 

【解析】解：从正面看，共有三列，从左到右小正方形的个数分别为、、．
故选：．
根据主视图是从物体的正面看得到的视图解答即可．
本题考查的是几何体简单组合体的三视图，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
故选：．
根据平方运算，先估算出的近似值，即可解答．
本题考查了无理数的估算，熟练掌握平方数是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
由得：，
把代入得：
，
解得：，
把代入得：
，
原方程组的解为：．
故选：．
利用代入法解答即可．
本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：点，，都在反比例函数的图象上，
，，，
，
故选：．
先根据点，，都在反比例函数的图象上，求得，，的值，进而可得出，，的大小关系．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：原式．
故选：．
利用同分母分式的减法法则运算即可．
本题主要考查了分式的加减法，熟练掌握同分母分式的加减法法则是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：在矩形中，，，，
，两点的坐标分别是，，
，，
点在第一象限，
点坐标为，
故选：．
根据矩形的性质可得，，，，根据点和点坐标可知，，进一步可得点坐标．
本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：将绕点顺时针旋转得到，的延长线经过点，
，，
，
故选：．
根据旋转的性质得，，再利用等腰三角形的性质即可得出结论．
本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线交轴于正半轴，
，
，
，
，故错误．
抛物线与轴交于点，对称轴为直线，
抛物线交轴于另一点，
可以假设抛物线的解析式为，
当时，的值最大，最大值为，故正确．
无实数根，
无实数根，
，，
，
，
，故正确，
故选：．
根据抛物线的开口方向和对称轴以及与轴的交点即可判断；由抛物线对称轴得到抛物线的解析式为，当时，的值最大，最大值为，即可判断；把问题转化为一元二次方程，利用判别式，即可判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点，根的判别式，二次函数的性质，二次函数的最值等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型，
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，进而得出答案．
此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接利用平方差公式计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：它是蓝球的概率为，
故答案为：．
利用概率公式可直接得到答案．
此题主要考查了概率公式，关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

16.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象经过第一、二、三象限，
，
．
故答案为：．
根据一次函数图象与系数的关系进行判断．
本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于与轴交于，当时，在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当时，在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴．记住，的图象在一、二、三象限；，的图象在一、三、四象限；，的图象在一、二、四象限；，的图象在二、三、四象限．
 

17.【答案】 

【解析】解：正方形的边长为，为的中点，
，
，
，
，
，
，
如图，取的中点，连接，过点作于点，过点作于点，
得矩形，
，，
，
，
∽，
，
，
，

为的中点，
，
是的中点，
，
，
设，则，
，
，
，
，则，
，
，
，
，分别为，的中点，
．
故答案为：．
根据正方形的性质和勾股定理可得，取的中点，连接，过点作于点，过点作于点，得矩形，然后证明∽，得，所以，利用勾股定理求出，则，求出，再根据三角形中位线定理即可解决问题．
本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到∽．
 

18.【答案】   

【解析】解：Ⅰ线段的长等于，
故答案为：；
Ⅱ设的半径的长为，
则，
解得：，
故答案为：；
Ⅲ连接，，延长交于点，在上取一点使得，连接．
由题意，，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
．
的最小值为．
Ⅰ利用勾股定理求解；
Ⅱ利用面积法求解；
Ⅲ连接，，延长交于点，在上取一点使得，连接构造相似三角形把问题转化为两点之间线段最短．
本题考查作图复杂作图，勾股定理，三角形的内切圆与内心等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线吗，构造相似三角形解决问题．
 

19.【答案】     

【解析】解：Ⅰ解不等式，得；
Ⅱ解不等式，得；
Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来：

原不等式组的解集为，
故答案为：，，．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：Ⅰ本次接受调查的学生人数为：人，
，即；
故答案为：，；
Ⅱ这组项数数据的平均数是：；
次出现了人，出现的次数最多，
众数是；
把这些数从小到大排列，中位数是第、个数的平均数，
则中位数是．
Ⅰ根据次的人数和所占的百分比，求出调查的学生总人数，用次的人数除以总人数，即可得出的值；
Ⅱ根据加权平均数的公式可以计算出平均数；根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，中位数：将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，即可求出众数与中位数．
本题考查的是条形统计图，平均数，众数，中位数，以及样本估计总体．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息，掌握众数、中位数的定义是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
 

21.【答案】解：Ⅰ如图，连接，

与相切于点，
，即，
，
，
，
，
，
；
Ⅱ直径，
，
与相切于点，
，
，
，即，
，即，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，

过作于，
则四边形是矩形，，
，
． 

【解析】Ⅰ连接，首先根据切线的性质得到，进而求出，然后利用三角形外角定理和等腰三角形的性质即可求得答案；
Ⅱ根据切线的性质得到，推出四边形是菱形，得到，过作于，根据垂径定理得到，于是得到结论．
本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，菱形的判定和性质，垂径定理，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】解：设，
，，
，
在中，，
，
解得：，
答：该建筑物的高度是． 

【解析】设，所以，然后根据锐角三角函数的定义列出方程可求出答案．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
 

23.【答案】         或 

【解析】解：Ⅰ由图象可得，
在前的速度为，
故当时，小明离开家的距离为，
当时，速度为，
当时，，
在时，距离不变，都是，故当时，小明离开家的距离为，
故答案为：，，；
Ⅱ由图象可得，
体育馆与图书馆之间的距离为，
故答案为：；
小明从体育馆到图书馆的步行速度为：，
故答案为：；
当时，
小明离家的距离为时，小明离开家的时间为，
当时，
小明离家的距离为时，小明离开家的时间为，
故答案为：或；
Ⅲ由图象可得，
当时，设，
，
解得，
；
当时，，
当时，设，
则，
解得，
；
由上可得，当时，关于的函数解析式是．
Ⅰ根据题意和函数图象，可以将表格补充完整；
Ⅱ根据函数图象中的数据，可以得到体育馆与图书馆之间的距离；
根据速度路程时间计算即可；
根据图象可知，分两种情况，然后计算即可；
Ⅲ根据Ⅱ中的结果和函数图象中的数据，可以写出当时，关于的函数解析式．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

24.【答案】解：Ⅰ如图，过点作于，

由折叠性质得：，
又，
，
，
在中，，，
，，
，
的坐标为
Ⅱ如图，过点作，垂足为，

则四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
，
由折叠得，，
，
，
，
，
即，
过点作于，则，
，
在直线的下方，
，
，
又，
，
的取值范围为；
Ⅲ，
点与点重合时，，即，
解得：，
当时，重叠部分为，
，
，
，
；
当时，由Ⅱ知，
令，
解得：，舍去，
当时，如图，重叠部分为，

则，
，
，
是等边三角形，
，
；
当时，如图，重叠部分为四边形，

则，，
，
，
，
，
，
令，
解得：，舍去，
综上所述，的值为或． 

【解析】Ⅰ过点作于，利用折叠的性质和特殊直角三角形三边关系可得点坐标，应用三角形内角和定理可求得的度数；
Ⅱ过点作，垂足为，利用矩形性质和解直角三角形可得，根据梯形和三角形面积公式可得，过点作于，则，由在直线的下方，得出，可推出的取值范围；
Ⅲ分四种情况讨论：当时，重叠部分为；当时，由Ⅱ知，由题意建立方程求解即可；当时，重叠部分为；当时，重叠部分为四边形，根据，建立方程求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换的性质，等边三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用数形结合思想和分类讨论思想解决问题，属于中考常考题型．
 

25.【答案】解：Ⅰ把，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
Ⅱ如图：

由，得直线解析式为，
设，
点关于轴的对称点为，
，
把代入得：
，
解得与重合，舍去或，
；
过在轴左侧作轴，且，连接，如图：

，
，，
≌，
，
最小时，最小，
此时，，共线，
，，
，
，
由，得直线解析式为，
解得，
的坐标为 

【解析】Ⅰ用待定系数法可得抛物线的解析式为；Ⅱ由，得直线解析式为，设，可得，代入解得与重合，舍去或，故D；
过在轴左侧作轴，且，连接，证明≌，有，故CE最小时，最小，此时，，共线，求出，可得直线解析式为，解即得的坐标为
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，对称变换，三角形全等的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．