2023年天津市河东区中考数学一模试卷（含解析）

2023年天津市河东区中考数学一模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算的结果等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  计算的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  被誉为：“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜的反射面总面积约为，将用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面四个汉字中，可以看作轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图是一个由个相同的小正方体组成的立体图形，从正面看，能得到的平面图形是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  估计的值在(    )

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

7.  计算的结果为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，的顶点与坐标原点重合，顶点，分别在第二、三象限，且轴，若，，则点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  方程的根是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

10.  若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，在中，，是斜边的中点，把沿着折叠，点的对应点为点，连接下列结论一定正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

12.  抛物线为常数开口向下且过点，，下列结论：
；；若方程有两个不相等的实数根，则其中正确结论的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  计算的结果是______ ．

14.  计算的结果为______ ．

15.  一个不透明的袋子里装有个黄色球和个白色球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球是白色球的概率为______ ．

16.  已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则的值可以是______ 写出一个即可

17.  已知，如图，已知菱形的边长为，，点，分别在，的延长线上，且，是的中点，连接，则的长是______ ．

18.  如图，在每个小正方形的边长为的网格中，边上的点，点，点及点均落在格点上，且经过格点，点，点是圆上的点．
线段的长等于______ ；
在网格内有一点，满足，在线段上有一点，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，点，并简要说明点，点的位置是如何找到的不要求证明 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
解不等式组．
请结合解题过程，完成本题的解答．
Ⅰ解不等式，得______ ；
Ⅱ解不等式，得______ ；
Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来；
Ⅳ原不等式组的解集为______ ．
 

20.  本小题分
在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动成绩单位：，绘制出如下的统计图和图，请根据相关信息，解答下列问题；

图中的值为______；
求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数．

21.  本小题分
如图，为的切线，为切点，是上一点，过点作，垂足为，交于点．
如图，若，求的度数；
如图，连接并延长交于点，连接，，若，的半径为，求的长．
 

22.  本小题分
小宸想利用测量知识测算湖中小山的高度．他站在湖边看台上，清晰地看到小山倒映在平静的湖水中，如图所示，他在点处测得小山顶端的仰角为，小山顶端在水中倒影的俯角为若点到湖面的距离，，，、、三点共线，，求小山的高度光线的折射忽略不计；结果保留根号

23.  本小题分
某蔬菜公司要从市调运两车蔬菜运往市已知市离市，甲、乙两辆货车同时沿同一路线从市出发前往市，且行驶过程中甲车速度保持不变乙车行驶时发生故障，此时甲车刚好到达市乙车在发生故障地原地维修，甲车在市停留了，卸载蔬菜后原路行驶了到达乙车发生故障地，用了把乙车的蔬菜装上甲车，然后甲车立即沿原路行驶了到达市，在此过程中乙车一直在发生故障地维修甲车离市的距离与行驶所用时间之间的对应关系如图．
请根据相关信息，解答下列问题：
填表：

填空：
市到乙车发生故障地的距离为______ ；
当两车之间的距离是时，甲车离开市的时间为______
当时，请直接写出关于的函数解析式．

24.  本小题分
将两个三角形，放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点，分别在边，上，且满足．
如图，求点的坐标．
以点为中心，顺时针旋转，得到，点，的对应点分别为点，．
如图，连接，则在旋转过程中，当时，求线段的长；
如图，连接，点为的中点，则在旋转过程中，当点到线段的距离取得最大值时，直接写出点的坐标．
 

25.  本小题分
在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，与轴交于点和点，与轴交于点．
Ⅰ求点的坐标；
Ⅱ点是抛物线上的动点，当时，求出点的坐标；
Ⅲ直线为该二次函数图象的对称轴，交轴于点若点为轴上方二次函数图象上一动点，过点作直线，分别交直线于点，，在点的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：

，
故计算的结果等于．
故选：．
根据有理数的减法法则，求出的结果等于多少即可．
此题主要考查了有理数的减法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行减法运算时，首先弄清减数的符号．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：将 用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：选项A、、均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是不轴对称图形；
选项D能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；
故选：．
根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

5.【答案】 

【解析】解：从正面看，底层有个正方形上层最中间有一个正方形．
故选：．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
，
即在和之间，
故选：．
估算出的范围，即可得出选项．
本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：原式

．
故选：．
直接利用分式的加减运算法则计算，再利用分式的性质化简得出答案．
此题主要考查了分式的加减，正确化简分式是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设与轴交于点，

，，，
，
由勾股定理得：，
点的坐标为，
故选：．
根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据坐标与图形性质写出点的坐标．
本题考查的是等腰三角形的性质、坐标与图形性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
或，
解得，，
故选：．
利用十字相乘法因式分解即可．
本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，掌握十字相乘法因式分解是解答本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：点，，都在反比例函数的图象上，
，即，
，即；
，即，
，
；
故选：．
将点，，分别代入反比例函数，求得，，的值后，再比较它们的大小．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．所有反比例函数图象上点的坐标都满足该函数的解析式．
 

11.【答案】 

【解析】解：在中，，是斜边的中点，
，
根据折叠的性质可得，，
，
故A选项正确，符合题意；
当时，和为等边三角形，此时，
不一定为，
故B选项错误，不符合题意；
当点在边上时，，
当点不在边上时，根据三角形三边关系可得，，
故C选项错误，不符合题意；
当时，点在边上，
此时和不平行，
故D选项错误，不符合题意．
故选：．
根据折叠的性质可得，则，即可判断选项；假如，则，但无法得出的度数，则无法判断的大小，以此可判断选项；根据三角形的三边关系即可判断选项；取一个特殊的点，当点在边上，此时和不平行，以此即可判断选项．
本题主要考查折叠的性质、直角三角形斜边上的中线、三角形的三边关系，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：抛物线经过，
，
，
抛物线开口向下，，
时，，
，
，正确．
抛物线开口向下，
，
，，，
，正确．
若有两个不相等的实数根，
则，有两个不相等的实数根，
抛物线开口向下，
抛物线顶点纵坐标大于，
即，
，正确．
故选：．
由抛物线经过可得，由时可推出，，从而判断，由及可判断，将方程有两个不相等的实数根转化为抛物线与直线有两个交点的问题可判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
利用幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，进而得出答案．
此题主要考查了幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：


，
故答案为：．
利用平方差公式进行计算，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：从袋中任意摸出一个球共有种等可能结果，其中是白色球的有种结果，
所以从袋中任意摸出一个球是白色球的概率为，
故答案为：．
从袋中任意摸出一个球共有种等可能结果，其中是白色球的有种结果，再根据概率公式求解即可．
本题主要考查了概率公式，熟练掌握概率公式进行求解是解决本题的关键．
 

16.【答案】答案不唯一 

【解析】解：一次函数的图象经过第一、二、四象限，
，
．
故答案为：答案不唯一．
根据一次函数的图象经过第一、二、四象限判断出的取值范围，从中任意找一个的值即可．
本题考查了一次函数的性质，属于基础题，一次函数的图象经过第几象限，取决于的系数及常数是大于或是小于．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，延长到，使，连接，，，，过点作，过点作于，

是线段的中点，
，
，
≌，
，，
，，
是等边三角形，
，
，，
，
，，
在中，由勾股定理得：，
，，
，，
，
，
，
四边形是菱形，
，，点，，在同一直线上，
，
是等边三角形，
，
，
≌，
，，
，即，
，，
，，
，
，
．
故答案为：．
如图，延长到，使，连接，，，，过点作，根据全等三角形的性质得到，，根据菱形的性质得到，，点，，在同一直线上，根据全等三角形的性质得到，，根据等腰三角形的性质和含角的直角三角形的性质得到结论．
本题主要考查了等边三角形的性质和判定，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，通过添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
 

18.【答案】  连接交圆于点，连接，点即为所求．作点关于的对称点，连接交于点，连接，点即为所求 

【解析】解：．
故答案为：；
如图，点，为所求．

方法：连接交圆于点，连接，点即为所求．作点关于的对称点，连接交于点，连接，点即为所求．
故答案为：连接交圆于点，连接，点即为所求．作点关于的对称点，连接交于点，连接，点即为所求．
利用勾股定理求解；
连接交圆于点，连接，点即为所求．作点关于的对称点，连接交于点，连接，点即为所求．
本题考查作图复杂作图，勾股定理，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

19.【答案】     

【解析】解：Ⅰ解不等式，得：；
故答案为：；
Ⅱ解不等式，得：；
故答案为：；
Ⅲ在数轴上表示为：

Ⅳ原不等式组的解集为：．
故答案为：．
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：
调查人数：人，米的人数：人，
平均数为：米，
众数是米，米出现次数最多，出现次，
从大到小排列后处于第、位的数都是米，因此中位数是米，
答：平均数为米、众数为米，中位数为米．
从减去其它部分的百分比，就得到的值，
求出调查人数和米的人数，进而可求出平均数，根据中位数、众数的意义求出中位数、众数．
考查条形统计图、扇形统计图的制作方法和特点、平均数、众数、中位数的意义等知识，善于从两个统计图中获取有用的数据，利用数据之间的关系进行相关的计算，是解题的常用方法．
 

21.【答案】解：如图，连接，

与相切于点，
，
，
，
，
，
；
如图，连接，，

，
，
，
，
为的切线，为切点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
半径为，
，
 是的直径，
，
在中，． 

【解析】如图，连接，由切线的性质证出，由圆周角定理得出答案；
连接，，证出是等边三角形，得出，由锐角三角函数的定义可得出答案．
本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的性质和等边三角形的判定与性质是解决问题的关键．
 

22.【答案】解：过点作，垂足为，

由题意得：
，
设，则，
，
在中，，
，
在中，，
，
解得：，
经检验：是原方程的根，
米，
小山的高度为米． 

【解析】过点作，垂足为，根据题意可得：，然后设，则，从而可得，先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】        或或 

【解析】解：由图象可得，
甲车的速度为：，
当时，；
当时，由图象知；
当时，．
故答案为：，，；
甲车小时到达乙车发生故障地，
市到乙车发生故障地的距离为，
故答案为：；
乙车的速度为，
设甲车出发小时，两车之间的距离是，
当时，
，
解得；
当时，
，
解得；
当时，
，
解得．
综上所述，当两车之间的距离是时，甲车离开市的时间为或或．
故答案为：或或；
当时，设与的函数解析式为，
则，
解得，
；
当时，；
当时，设与的函数解析式为，
则，
解得，
，
综上所述，当时，与的函数解析式为．
先求出甲车的速度，再根据图象求出，，时的值即可；
根据甲车小时到达乙车发生故障地，由甲小时所走的路程即可得出结论；
根据题意可知分三种情况，然后分别计算即可；
分段用待定系数法求出函数解析式．
本题考查一次函数和一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．
 

24.【答案】解：如图，过点作于，

由题意得，，，
，
，
，
，
，
，，
，，
，，
点的坐标为；
由题意得，，，
当点在上方时，如图，延长交于点，

，，
点为的中点，
在中，，，
，，
当点在下方时，同理可得；
综上所述：的长为或；
如图，取的中点，连接，

点为的中点，点是的中点，
，点，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，
即当时，点到线段的距离有最大值，
如图，延长交于，过点作轴于，过点作于，

，，
，
，，
，
，
，，
点坐标为： 

【解析】由锐角三角函数可求，由直角三角形的性质可求，的长，即可求解；
分两种情况讨论，由勾股定理可求解；
由三角形中位线定理可得，可得点在以为圆心，为半径的圆上运动，即当时，点到线段的距离有最大值，由等边三角形的性质可求解．
本题是几何变换综合题，考查了锐角三角函数，直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

25.【答案】解：Ⅰ将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
则抛物线的对称轴为，
当时，，
则点的坐标为：；

Ⅱ当点在轴上方时，
过点作轴交抛物线于点，

则，
则点、关于抛物线对称轴对称，
故点；
当点在轴下方时，
设直线交轴于点，
由抛物线的表达式知，点，
，
则，
设点，
则，
解得：，
即点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
联立得：，
解得：，
即点的坐标为：，
故点的坐标为：或；

Ⅲ设点的坐标为：，
则直线的表达式为：，

将点的坐标代入上式得：，
则，
则直线的表达式为：，
当时，，
则；
同理可得，直线的表达式为：，
当时，，
则为定值，
即为定值，定值为：． 

【解析】Ⅰ将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，进而求解；
Ⅱ当点在轴上方时，过点作轴交抛物线于点，即可求解；当点在轴下方时，证明，进而求解；
Ⅲ求出直线的表达式为：，得到，同理得到的长度，进而求解．
本题考查二次函数的应用，解本题的关键掌握代入法求解析式，等腰三角形的性质，二次函数的性质等．