2023年陕西省西安交大附中浐灞右岸学校中考数学四模试卷（含解析）

2023年陕西省西安交大附中浐灞右岸学校中考数学四模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算：(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图所示的几何体的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  下列计算结果为的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  某班学生对三角形内角和为展开证明讨论，以下四个学生的作法中，不能证明的内角和为的是(    )

A. 过点作
B. 延长到点，过点作
C. 过点作于点
D. 过上一点作，

5.  若直线：经过点，，且时，，则直线不可能经过的点是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在矩形中，，，，分别为，的中点，连接，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，内接于，是的直径，点是圆上一点，连接，，，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  已知抛物线的顶点到轴的距离为，抛物线与轴交点之间的距离为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.            ．

10.  书籍和纸张的长与宽的比值都有固定的尺寸，即同一系列的纸张长与宽的比均相同将如图所示的纸张沿长边对折裁剪，得到两张型号纸张若与原纸张属同一系列纸张，则该系列纸张的长与宽长大于宽之比为______ ．

11.  某农户月份购买了只兔子进行养殖，经过两个月后，农户养殖的兔子数量增长至只，若兔子的月平均增长率都相同，则开始养殖一个月后，农户养殖的兔子数量为______ 只

12.  已知反比例函数且的图象与一次函数的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积，请写出一个满足条件的值为______ ．

13.  如图，在菱形中，，，在边上有一线段由向运动，点到达点后停止运动，在的左侧，，连接，，则周长的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分
计算：．

15.  本小题分
解不等式组：，并将不等式组的解集表示在数轴上．

16.  本小题分
解分式方程：．

17.  本小题分
如图，在平行四边形中，，．
请用尺规作图法，在上求作一点，使得保留作图痕迹，不写作法

18.  本小题分
如图，在等边中，与交于点给出下列两个条件：，．
请从中任选一个作为已知条件，余下一个作为结论进行证明．

19.  本小题分
如图，正方形的顶点的坐标为，将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，求点的坐标．

20.  本小题分
现有，两个不透明的盒子，中有个完全相同的黑色棋子，中有个完全相同的白色棋子．
从中摸出两个棋子放入中，再从中随机摸出一个棋子，则摸出棋子颜色为黑色的概率为______ ．
在的基础上，求从中一次摸出个棋子都是白色的概率．

21.  本小题分
西安市广仁寺的康熙御碑亭中碑文书法精美，引得无数游客驻足拍照留念某数学兴趣小组到此测量这座亭子的高度如图，他们在地面的点处用高的测角仪测得亭子顶部点的仰角为，然后沿着前进到达点，在点处用测角仪测得亭子顶部点的仰角为已知，，，求康熙御碑亭的高度结果精确到，参考数据：，，
 

22.  本小题分
某施工队承接了一项修路任务，每天下班前登记施工进度，如表记录了开工天以来的修路情况，其中表示开工的天数单位：天，表示剩余未修道路长度单位：千米．

为描述剩余未修道路长度与开工天数的关系，现有以下三种函数关系式可供选择；，，．
请在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，并判断其他点是否在所求函数图象上；
若想要比原计划提前一天完成施工任务，求之后几天平均每天比原计划多修的长度．

23.  本小题分
七年级学生平均每周户外运动时间的调查报告

请根据以上调查报告，解答下列问题：
如表中样本选取方式为______ 填字母；
被抽取学生参加讲座前每周参加户外运动时间数据的众数是______ ，中位数是______ ；
若该校七年级共有名学生，讲座开展一周后，对七年级所有学生进行统计，发现平均每周参加户外运动时间不少于的人数为人，试判断此讲座是否有效果？并说明理由．

24.  本小题分
如图，是的直径，与相切于点，与的延长线交于点，连接，点在线段上，过点作的垂线交的延长线于点，交于点．
求证：；
若，点为的中点，求的长．

25.  本小题分
已知抛物线与轴交于点，点在点的左侧，与轴交于点．
求抛物线的表达式及顶点坐标；
将抛物线沿轴方向向上平移个单位平移后抛物线的顶点为点，且点在轴下方，是否存在点，使得以，，为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

26.  本小题分
问题提出
如图，在中，，点为斜边的中点，且，求的值；
问题解决
如图，现有一块边长为米的正方形钢板，其中，，均有不同程度的磨损，不能使用，王师傅计划过点裁出一个形如四边形的零件，其中点，，分别在边，，上，且点为的中点．
王师傅想要使得，在手头没有直角尺的情况下，进行如下操作：
第一步：取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上任意点出，两点；
第二步：将木棒斜放在钢板上，使点与点重合，保持点不动，将木棒进行旋转，使点落在上，在钢板上将点对应的位置标记为点；
第三步：将延长，再将木棒绕点旋转，使点落在的延长线上，记点的对应点为点；
第四步：作射线交于点，则．
请问，王师傅的操作方法是否能够得到？请证明．
在的条件下，王师傅想要得到最大面积的四边形，请你计算四边形面积的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：

，
故选：．
运用有理数减法法则进行计算求解．
此题考查了有理数减法的运算能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算．
 

2.【答案】 

【解析】解：从左边看，可得如选项B所示的图形．
故选：．
到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的形状是正确判断的前提．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

4.【答案】 

【解析】解：：根据两直线平行，同旁内角互补，把三角形的内角和转化为一对同旁内角进行证明；
：根据平行线的性质，把三角形的内角转化为一个平角证明；
：由垂线得，根三角形的内角没有关系，故不能证明；
：根据平行线的性质，把三角形的内角转化为一个平角证明；
故选：．
根据平行线的性质，把三角形的内角转化为平角或同旁内角．
本题考查了复杂作图，掌握平行线的性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：直线：经过点，，且时，，
直线经过二、三、四象限，不经过第一象限，
直线不可能经过的点是，
故选：．
根据题意可得直线经过二、三、四象限，不经过第一象限，即可进行判断．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知在一次函数的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，分别为，的中点，
，
，，
，
，
故选：．
根据题意和图形，可以计算出的面积．
本题考查矩形的性质、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
连接，根据圆周角定理得到，根据圆内接四边形的性质即可得到结论．
本题考查了圆的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
抛物线对称轴为直线，
将代入得，
抛物线顶点坐标为，
抛物线开口向下，抛物线与轴有交点，顶点到轴的距离为，
，
，
，
抛物线与轴交点之间的距离为，
抛物线经过，，
将代入得，
或舍，
故选：．
由抛物线解析式可得抛物线开口方向及抛物线的对称轴，从而可得抛物线的顶点坐标，即可用含的代数式表示，再由抛物线与轴的交点坐标求解．
本题考查抛物线与轴的交点问题，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
直接利用求出立方根求解即可．
本题考查的是简单的开立方问题，注意正负号即可．
【解答】
解：的立方为，
的立方根为
．  

10.【答案】： 

【解析】解：设型号纸张的长为，宽为，则原纸张的长为，宽为，
由题意得：
，
，

，
：：，
该系列纸张的长与宽长大于宽之比为：，
故答案为：：．
设型号纸张的长为，宽为，则原纸张的长为，宽为，根据题意可得：，然后进行计算即可解答．
本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：设兔子的月平均增长率为，
由题意得：，
解得：，不合题意，舍去，
开始养殖一个月后，农户养殖的兔子数量为：只，
故答案为：．
设兔子的月平均增长率为，由题意：某农户月份购买了只兔子进行养殖，经过两个月后，农户养殖的兔子数量增长至只，列出一元二次方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

12.【答案】答案不唯一 

【解析】解：令，
整理得，
反比例函数且的图象与一次函数的图象两交点横坐标为、，
，
，
，
，
满足条件的值为答案不唯一，
故答案为：答案不唯一．
令，根据函数与方程的关系、由根与系数的关系得到，由，得到，即可．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了函数与方程的关系，根与系数的关系，熟练掌握函数与方程的关系是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：在菱形外作等边三角形，连接，连接交于点，过点作交于点，连接，

四边形是菱形，，
≌，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
周长，
即周长的最小值为，
，
，
，，
，，
，
在中，
，
，
，
在中，
，
周长的最小值为．
利用轴对称将变换到菱形的下方，将平移到处，
本题考查最短路径问题，解题涉及轴对称，平移，菱形的性质，等边三角形的性质，三角函数，勾股定理．通过轴对称和平移将，变换为不同侧且有公共端点的两条线段，且只有一个动点是解题的关键．
 

14.【答案】解：

． 

【解析】先计算乘法、绝对值、二次根式和零次幂，再计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序，并能进行正确地计算．
 

15.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
 

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
 

16.【答案】解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为． 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

17.【答案】解：如图，以点为圆心，为半径画弧交于点，
则点为所作．
 

【解析】在上截取，则，由于四边形为平行四边形，则可计算出，从而得到．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质．
 

18.【答案】解：方案一：选择作为条件，作为结论，证明如下：
在等边中，，，
，
，
在和中，
，
≌，
．
方案二：选择作为条件，作为结论，证明如下：
在等边中，，，
在和中，
，
≌，
，
，
即． 

【解析】方案一：选择作为条件，作为结论，根据等边三角形的性质，易证≌，根据全等三角形的性质可证；
方案二：选择作为条件，作为结论，根据等边三角形的性质，易证≌，根据全等三角形的性质可证．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：过点作轴于点，如图所示：
正方形的顶点的坐标为，
，
根据旋转的性质，可得，，
，
，
根据勾股定理，得，
坐标为． 

【解析】过点作轴于点，根据正方形的性质，可得，根据旋转的性质可得，，根据含角的直角三角形的性质可得的长，进一步可得的长，即可确定点坐标．
本题考查了正方形的性质，旋转的性质，含角的直角三角形的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：摸出棋子颜色为黑色的概率；
故答案为：；
画树状图为：

共有种等可能的结果，其中个棋子都是白色的结果数为，
所以摸出个棋子都是白色的概率．
直接根据概率公式计算；
画树状图展示所有种等可能的结果，再找出个棋子都是白色的结果数，然后根据概率公式计算即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率．
 

21.【答案】解：如图：

由题意得：，，，，
设，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得：，
，
，
康熙御碑亭的高度约为． 

【解析】根据题意可得：，，，，然后设，则，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算可求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图所示：

根据图象可知，与满足一次函数，
把，代入解析式得，
解得，
，
当时，；
当时，；
当时，．
其他点都在图象上；
令，则，
解得，
按原计划天完成任务，
要比原计划提前一天完成施工任务，则再需要天完成剩余千米，
每天平均完成千米，
千米，
之后天平均每天比原计划多修千米． 

【解析】先画出函数图象，根据图象确定函数模型，再由待定系数法求函数解析式，然后再把其他数据代入解析式验证；
先求出原计划完成的天数，再求出时间提前后每天平均完成剩余工程即可．
本题考查一次函数的应用，关键是画出函数图象，求出函数解析式．
 

23.【答案】       

【解析】解：上表中样本选取方式为随机抽取七年级名学生．
故答案为：；
被抽取学生参加讲座前每周参加户外运动的时间数据中，出现的次数最多，故众数为；
把名学生每周参加户外运动的时间从小到大排列为：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，
排在中间的两个数分别是，故中位数时，
故答案为：；；
人，
，
所以此讲座有效果．
根据全面调查和抽样调查的定义解答即可；
根据众数和中位数的定义解答即可；
用乘样本中平均每周参加户外运动时间不少于的人数所占比例即可解答．
本题考查抽样调查的可靠性、频数分布分布表、中位数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，掌握相关统计量的计算方法．
 

24.【答案】证明：连接，
与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：连接，
是的直径，
，
，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，，
，
，
设，，
，
，
，，
点为的中点，
，
，，
∽，
，
，
． 

【解析】连接，根据切线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
连接，根据圆周角定理得到，求得，根据相似三角形的判定和性质定理以及勾股定理即可得到结论．
本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】解：抛物线与轴交于点，
，
抛物线的表达式为，
顶点坐标为；
解法一：抛物线的表达式为，
将抛物线沿轴方向向上平移个单位平移后抛物线的顶点，
点在轴下方，
，
，
令，得，
解得：，，
点在点的左侧，
，，
当时，如图，直线交轴于点，

则，
，
，
，
，
，
，
，即，
；
当时，如图，

，，，
，
，
，
在中，，
，
解得：或舍去．
综上，当以，，为顶点的三角形为直角三角形时，或．
解法二：答题不要用此解法，此方法不是初中所学，仅供拓展内容学习，
抛物线的表达式为，
将抛物线沿轴方向向上平移个单位平移后抛物线的顶点，
点在轴下方，
，
，
令，得，
解得：，，
点在点的左侧，
，，
当时，
设直线所在直线解析式的斜率为，直线所在直线解析式的斜率为，
，，，
，，
，
整理得：，
解得：或舍去；
当，
设直线所在直线解析式的斜率为，直线所在直线解析式的斜率为，
，，，
，，
，
整理得：，
解得：．
综上，当以，，为顶点的三角形为直角三角形时，或． 

【解析】将点的坐标代入抛物线表达式中即可求出，得到抛物线的表达式，将抛物线表达式化为顶点式即可得到顶点坐标；
解法一：根据题意可得，点在直线上运动，且，分和两种情况，分别求出点的坐标即可求出的值．
解法二答题不要用此解法，此方法不是初中所学，仅供拓展内容学习：根据题意可得，点在直线上运动，且，分和两种情况，根据两直线互相垂直，斜率的乘积等于可列出方程，求出值即可．
本题考查二次函数图象中特殊三角形的存在性问题、用待定系数法求函数解析式，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质，学会利用数形结合思想，并注意分情况讨论．
 

26.【答案】解：过点作于点，如图，

点为斜边的中点，
，
为等腰三角形，
，，
，
，
，
在中，，
；
王师傅的操作方法能够得到，证明如下：
由题意可得，，
为边上的中线，且，
为直角三角形，，
即；
解：过点作于，连接、，

四边形是边长为米的正方形，为的中点，
米，米，，
四边形为矩形，
米，米，
平方米，
当点在线段上时，则米，
平方米，
平方米，
当点不与点重合时，，
平方米，
平方米，
平方米，
平方米，
当点与点重合时，
则平方米，
平方米，
设米，则米，
，
，
，
，
∽，
，即，
，
当时，取得最大值，此时点与点重合，
四边形面积的最大值为平方米． 

【解析】过点作于点，根据直角三角形的中线性质得，由等腰三角形三线合一性质得，在中，，代入计算即可求解；
由题意可得，，利用直角三角形斜边上的中线逆定理：如果一个三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，且这条边为直角三角形的斜边，以此即可证明；
由图可知，，为定值，要求的最大值，即求的最大值，过点作于，连接、，易得四边形为矩形，当点在线段上时，平方米，由，得到平方米，进而得到平方米，当点与点重合时，则平方米，设米，则米，易证明∽，根据相似三角形的性质得到，即的最大值为米，则四边形面积的最大值为平方米．
本题主要考查正方形的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数的定义、直角三角形斜边上的中线性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质，此题综合性强，难度较大，属于中考压轴题．