2023年安徽省马鞍山十二中中考数学二模试卷（含解析）

2023年安徽省马鞍山十二中中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年中国粮食产量再获丰收，突破亿斤，其中亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  一个由圆柱和球组成的几何体如图水平放置，其俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  将两块含角的直角三角板，按如图方式放置，其中点在上，点在上，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  关于的一元二次方程的根的情况，以下说法正确的是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 根的情况与的取值有关

7.  有，，三个小球，按如图所示的方式悬挂在天花板上，每次摘下一个小球且摘之前需先摘下，直到个小球都被摘下，则第二个摘下的小球是的概率是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  已知一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  一个三边长分别为，，的等腰三角形与另一个腰长为的等腰三角形拼接，得到一个腰长为的等腰三角形，其中，则的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在矩形中，，，为中点，是线段上一点，设，连接并将它绕点顺时针旋转得到线段，连接，，则在点从点向点运动的过程中，下列说法错误的是(    )

A.  B. 点始终在直线上
C. 的面积为 D. 的最小值为

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.  若分式有意义，则的取值范围为          ．

12.  因式分解：______．

13.  如图，的一条直角边在轴正半轴上，双曲线过的斜边的中点，与另一直角边相交于点，若的面积是，则的值是______ ．

14.  已知：抛物线与轴交于点、点在轴正半轴，且．
此抛物线的顶点坐标为          ；
若点为抛物线上一动点，作轴，交一次函数的图象于点，当时，的长度随的增大而增大，则的取值范围是          ．

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：．

16.  本小题分
解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
 

17.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点为原点，，，．
以原点为位似中心，相似比为，作的位似图形，得到，请在图中作出点，，分别为点，，的对应点；
若将绕原点逆时针旋转，得到，请在图中作出点，，分别为点，，的对应点；旋转过程中，点经过的路径长为______ ．
 

18.  本小题分
用相同的菱形按如图的方式搭图形．

按图示规律完成下表：

按这种方式搭下去，搭第为自然数个图形需要        个菱形；用含的式子表示
小亮同学说他按这种方式搭出来的一个图形用了个菱形，你认为可能吗？如果能那是第几个图形？如果不可能请说明理由．

19.  本小题分
如图，山的南北两面分别有两条索道和，索道的底端与山脚的距离为米，在和处分别测得山顶的仰角，，在山的另一面处测得山顶的仰角分别求两条索道和的长参考数据：，，，

20.  本小题分
如图，以为直径的与相切于点，点、在上，连接、、，连接并延长交于点，与交于点．
求证：；
若点是弧的中点，的半径为，，求的长．

21.  本小题分
在“双减”政策的落实中，某区教育部门想了解该区，两所学校九年级各名学生每天的课后书面作业的时长单位：分钟情况，从这两所学校分别随机抽取名九年级学生进行调查，整理数据保留整数得如下不完整的统计图表作业时长用分钟表示：
A、两所学校被抽取名学生每天的课后书面作业的时长频数分布表

学校名九年级学生中课后书面作业时长在的具体数据如下：
，，，，，，，，，，，，，，，，，．
请根据以上信息，完成下列问题：
       ，补全频数分布直方图；
学校名九年级学生课后书面作业时长的中位数是        ；
依据国家政策，九年级学生每天课后书面作业时长不得超过分钟，估计两所学校名学生中，能在分钟内包含分钟完成当日课后书面作业的学生共有多少人？
 

22.  本小题分
已知菱形中，，，分别在边，上，是等边三角形．
如图，对角线交于点，求证：；
如图，点在上，且，若，，求的值．

23.  本小题分
某公园要在小广场建造一个喷泉景观在小广场中央处垂直于地面安装一个高为米的花形柱子，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为米时达到最大高度，此时离地面米．

以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为米，水流喷出的高度为米，求出在第一象限内的抛物线解析式不要求写出自变量的取值范围；
张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为米，求的取值范围；
为了美观，在离花形柱子米处的地面、处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图所示，光线交汇点在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，当原数绝对值小于时，是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：该几何体的俯视图是：

故选：．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：、与不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
根据合并同类项，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，单项式除以单项式的法则，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：和是含角的直角三角形，
，，
，
，
，
故选：．
由等腰直角三角形的性质得，，再由三角形的外角性质得，即可解决问题．
本题考查了等腰直角三角形的性质以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根．
故选：．
先计算出判别式得到，然后根据判别式的意义判断根的情况．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

7.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

由树状图知，共有种等可能结果，其中则第二个摘下的小球是的有种结果，
所以则第二个摘下的小球是的概率为，
故选：．
画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查列表法或树状图法求随机事件的概率，列举出所有可能出现的结果情况是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：一次函数图象知，，，
则，，
由一次函数过点，则，则，
则二次函数表达式，
令，则或，
即抛物线开口向下，且过点、，
故选：．
由一次函数图象知，，，且一次函数过点，得到，且，进而求解．
本题考查了二次函数图象，一次函数图象，根据一次函数图象判断出系数的符号和、的关系，是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图：

，且都为底角，
∽，
，
即：，
整理得：，
即：，
解得或舍去，
因此．
故选：．
由条件可画图，如图所示，易得：、、均为等腰三角形，得到∽，列出比例式，解方程即可．
本题考查了相似三角形的性质，相关知识点有：等腰三角形的性质、相似三角形对应边成比例、解一元二次方程以及整体思想，根据相似列出比例式是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，
，
点在线段上，
为中点，
，
将绕顺时针旋转得到线段，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，故选项A不合题意，
，
，
点在直线上，故选项B不合题意；
，
，故选项C不合题意；
点在上移动，
当时，有最小值，
，，
，
，
，
的最小值为，故选项D符合题意，
故选：．
由“”可证≌，可得，，可求，可求，可判断选项，由等腰直角三角形的性质可得，可得点在直线上，可判断选项，由三角形的面积关系可求，可判断选项，当时，有最小值，由等腰直角三角形的性质可求的最小值为，可判断选项，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键．
根据分母不为零，分式有意义，可得答案．
【解答】
解：由题意，得．
解得，
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有项，可采用完全平方公式继续分解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
 

13.【答案】 

【解析】解：设点的坐标为，则，
，
，
解得，
，
，
点是的中点，
，
即，
又点在双曲线上，
，
，
故答案为：．
设点的坐标为，则，先根据三角形的面积公式可得，从而可得点的坐标为，再根据线段中点的定义可得点的坐标为，然后将点的坐标代入双曲线的解析式即可得．
本题考查了反比例函数的几何应用，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．
 

14.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了二次函数图象的性质，抛物线与轴的交点，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，抛物线上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
利用抛物线的解析式求出点，的坐标进而得到的长度，列出方程求得值，再利用配方法求得结论；
利用函数的解析式用表示出点，的坐标，进而求得线段，利用配方法结合函数的图象即可列出关于的不等式，解不等式则结论可得．
【解答】
解：令，则，
解得：或，
点在轴正半轴，
，．
，
，
抛物线的解析式为．
，
抛物线的顶点坐标为，
故答案为：；
点为抛物线上一动点，
，
轴，交一次函数的图象于点，
，
当时，的长度随的增大而增大，
，
，
当时，的值随的增大而增大，
，
，
，
故答案为．  

15.【答案】解：原式
． 

【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

16.【答案】解：，
由得，
由得：，
则不等式组的解集为，
在数轴上表示：
． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求．
如图，即为所求．
由勾股定理得，，
旋转过程中，点经过的路径长为．
故答案为：．

根据位似的性质作图即可．
根据旋转的性质作图即可；由勾股定理求出的长，再利用弧长公式计算即可．
本题考查作图位似变换、旋转变换、勾股定理、弧长公式，熟练掌握位似和旋转的性质、勾股定理、弧长公式是解答本题的关键．
 

18.【答案】     

【解析】解：根据表中的数据得，图形中有个菱形，图形中有个菱形，
故答案为：，；
根据中的规律，第个图形中有个菱形，
故答案为：；
当时，
解得：，
，
所以第个图形中有个菱形．
根据图表中的规律，从开始，依次加，加，加，加，求值；
根据的规律，列出通式；
利用中的规律列出方程求解．
本题考查了图形的变化类，找出变化规律是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图所示，过点作于点，

在中，，
在中，，
，
，即，
解得：，
在中，米，
在中，米 

【解析】过点作于点，在，中，分别求得，，根据，求得，进而在，中，求得米，米．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．
 

20.【答案】证明：为的直径，
，
，
与相切于点，
，
，
，
又，
；
解：点是弧的中点，
，
由得，，
又，，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
． 

【解析】本题考查了圆周角定理、切线的性质、勾股定理，解题的关键是利用同角的余角相等求得．
由为的直径得到，由与相切于点得，进而得到，然后由圆周角定理得到，最后得到；
先由点是弧的中点得到，然后由得到，进而得到，然后设，最后用勾股定理列出方程求得的值，即可得到的长．
 

21.【答案】   

【解析】解：由题意知，，
补全直方图如下：

故答案为：；
学校名九年级学生课后书面作业时长的中位数是第、个数据的平均数，而这两个数据分别为、，
所以学校名九年级学生课后书面作业时长的中位数是，
故答案为：；
人，
答：估计两所学校名学生中，能在分钟内包含分钟完成当日课后书面作业的学生共有人．
根据、学校抽查总人数分别为人可求出、的值，从而补全图形；
根据中位数的定义求解即可；
总人数乘以样本中分钟内包含分钟人数所占比例即可．
本题主要考查了统计图表，中位数的综合运用，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

22.【答案】证明：四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
解：连接，
由知是等边三角形，，
，，
四边形是菱形，
，
，
，
，
是等边三角形，，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
． 

【解析】由“”可证≌，可得；
连接，由知是等边三角形，，根据菱形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，推出四边形是平行四边形，得到，于是得到结论．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为，，
设第一象限内的抛物线解析式为，
将点代入物线解析式，
，
解得，
第一象限内的抛物线解析式为；
根据题意，令，
即，
解得，，
，抛物线开口向下，
当时，，
的取值范围为；
作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点，作，垂足为，如图所示，

，
设直线的解析式为，
联立直线与抛物线解析式，
，
整理得，
直线与抛物线相切，
方程只有一个根，
，
解得，
直线的解析式为，
令，则，
，
，
即，
射灯射出的光线与地面成角，
，
，
，
，
光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米． 

【解析】根据题意得到第一象限内的抛物线的顶点坐标，将抛物线设成顶点式，再将点坐标代入即可求出第一象限内的抛物线解析式；
直接令，解方程求出的值，再根据函数的图象和性质，求出时的取值范围即可；
先作辅助线，作出直线的平行线，使它与抛物线相切于点，然后设出直线的解析式，联立直线与抛物线解析式，利用相切，方程只有一个解，解出直线的解析式，从而得到直线与轴交点，最后利用锐角三角函数求出直线与直线之间的距离．
本题考查二次函数的应用，直线的平移，直线和抛物线相切等知识，关键是求抛物线解析式．