2023年广西玉林市中考数学一模试卷（含解析）

2023年广西玉林市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  天宫二号空间实验室的运行轨道距离地球约米，将用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，直线，相交于点，射线平分，，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  化简：的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列几何体中，主视图与左视图的形状不一样的几何体是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  “学雷锋”活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，已知正方形，点、分别是、边上，且，将绕点逆时针旋转，得到下列结论正确的是(    )

A. 是的中点
B.
C. ≌
D.

8.  如图，在由边长相同的个正六边形组成的网格中，点，在格点上．再选择一个格点，使是以为腰的等腰三角形，符合点条件的格点个数是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知，是线段上的两点，，，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则一定是(    )

A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形

10.  如图，将数轴上与两点间的线段七等分，这六个等分点所对应的数依次为，，，，，，则下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  我国南宋数学家杨辉在田亩比类乘除捷法中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是平方步，其中长与宽和为步，问长比宽多多少步？若设长比宽多步，则下列符合题意的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

12.  如图，点为矩形的对称中心，点从点出发沿向点运动，移动到点停止，延长交于点，则四边形形状的变化依次为(    )

A. 平行四边形菱形平行四边形矩形
B. 平行四边形正方形平行四边形矩形
C. 平行四边形正方形菱形矩形
D. 平行四边形菱形正方形矩形

二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）

13.             ．

14.  已知一组数据，，，，，则这组数据的极差是______ ．

15.  按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是______．

16.  如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，则阴影部分的面积是______ ．

17.  反比例函数的图象上有一点，将点向右平移个单位，再向下平移个单位得到点，若点也在该函数的图象上，则 ______ ．

18.  把二次函数：的图象作关于轴的对称变换，所得图象的解析式为：，若取得最小值，则此时 ______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
先化简再求值：，其中．

21.  本小题分
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位．
画出将向下平移个单位后得到的；
画出将绕点顺时针旋转后得到的；并求由点旋转到点所经过的路径长．

22.  本小题分
在数学课上，老师提出如下问题，尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线．
已知：如图，直线及其外一点求作：的垂线，使它经过点．
小云的作法如下：
在直线上任取一点，连接．
以为圆心，线段的长度为半径作弧，交直线于点．
分别以，为圆心，线段的长度为半径作弧，两弧相交于点．
作直线直线即为所求如图．
证明：直线．
若，，求四边形的周长．

23.  本小题分
综合实践
收集数据：月日是世界读书日，某校为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下：从全校随机抽取名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如下单位：


整理数据：

分析数据：

解决问题：
直接写出，，的值；
样本中的中位数和众数落在哪个范围内？
该校现有学生人，估计课外阅读时间在“”内的学生有多少名？

24.  本小题分
我市倡导“幸福生活，健康生活”，提升幸福指数，某社区积极推进全民健身，计划购进，两种型号的健身器材套，已知，两种型号健身器材的购买单价分别为每套元和元，且每种型号健身器材必须整套购买．
若购买这两种型号的健身器材恰好支出元，求这两种型号的健身器各购买多少套；
若购买时恰逢健身器材店店庆，所有商品打九折销售，要使购买这两种健身器材的总支出不超过元，那么种型号健身器材最多只能购买多少套？

25.  本小题分
如图，线段是的直径，延长至点，使，点是线段的中点，交于点，连接．
求证：是的切线；
点是上一动点不与点，重合，连接，求的值．

26.  本小题分
我们不妨约定：二次函数与轴交于、两点，其中为顶点，当为等腰直角三角形时，我们称二次函数为“等腰直角函数”．
证明为“等腰直角函数”；
如图，在的“等腰直角函数”图象中，过中点的直线与二次函数相交于，两点，求面积的最小值；
如图，、为“等腰直角函数”上不重合的两个动点，且关于过原点的直线对称，当点的横坐标为时，求出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是，
故选：．
根据倒数的定义，可得答案．
本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示应为，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：射线平分，
，
，
，
，
故选：．
先利用角平分线的定义可得，再根据垂直定义可得，然后利用角的和差关系，进行计算即可解答．
本题考查了垂线，角平分线的定义，熟练掌握垂直定义是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
分母相同，分母不变，分子相加减，再约分即可．
本题考查了分式的加减运算，解题的关键是掌握分式的加减运算法则．
 

5.【答案】 

【解析】解：正方体的主视图和左视图都是正方形，故本选项不符合题意；
B.圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，故本选项不符合题意；
C.球的主视图和左视图都是圆，故本选项不符合题意；
D.该圆柱主视图的主视图是矩形，左视图是圆，故本选项符合题意．
故选：．
找到从物体正面、左面看得到的图形不相同的几何体即可．
本题考查了简单几何体的三视图，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体．
 

6.【答案】 

【解析】解：画树状图为：用、、分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆

共有种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场馆的结果数为，
所以两人恰好选择同一场馆的概率．
故选：．
画树状图用、、分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆展示所有种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一场馆的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
由旋转得：，，，
，
、、三点在同一条直线上，
，
，
，
又，，
≌，
故选：．
由旋转的性质可得，，，由“”可证≌，即可求解．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定，正方形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：的长等于六边形的边长最长对角线的长，
据此可以确定共有个点，位置如图，
故选：．
确定的长度后确定点的位置即可．
考查了正多边形和圆及等腰三角形的判定，解题的关键是确定的长，难度不大．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，
，，
，，，
由题意得：，，
，，
，
一定是直角三角形．
故选：．
由题意得：，，，因此，，故AC，由勾股定理的逆定理，得到是直角三角形．
本题考查勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理．
 

10.【答案】 

【解析】解：与两点间的线段的长度，
七等分后每个等分的线段的长度，
，，，，，，表示的数为：，，，，，，
选项，，故该选项不符合题意；
选项，，故该选项符合题意；
选项，，，故该选项不符合题意；
选项，，故该选项不符合题意；
故选：．
先计算出与两点间的线段的长度为，再求出七等分后每个等分的线段的长度为，从而求出，，，，，，表示的数，然后判断各选项即可．
本题考查了数轴，两点间的距离，求出，，，，，，表示的数是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
根据长与宽之间的关系，可得出长为步，宽为步，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】
解：长与宽和为步，长比宽多步，
长为步，宽为步．
依题意得：．
故选：．  

12.【答案】 

【解析】解：画图如下，
，
由图可知最后会与原有矩形重合，
四边形形状的变化依次为平行四边形菱形平行四边形矩形，
故选：．
通过作图观察即可得出答案．
本题考查了图形的变换，解题关键在于又空间想象能力．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得．
故答案为：．
绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．
考查了绝对值的性质．
 

14.【答案】 

【解析】解：这组数据的极差．
故答案为：．
极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差，由此计算即可．
本题考查了极差的知识，属于基础题，掌握极差的定义是关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：第个单项式，
第个单项式，
第个单项式，
第个单项式，

第为正整数个单项式为，
故答案为：．
观察字母的系数、次数的规律即可写出第个单项式．
本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是分别从系数、字母指数寻找其与序数间的规律．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接、，

为半圆的直径，
，
，
，又，
，，
，
图中阴影部分的面积是，
故答案为：．
连接、，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形中位线定理求出，根据梯形的面积公式、扇形面积公式计算即可．
本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式、三角形中位线定理、梯形的面积公式是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：点的坐标为，则点的坐标为，
依题意得：，
解得：，
，
故答案为：．
根据平移的特性写出点的坐标，由点、均在反比例函数的图象上，即可得出，解得即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数的几何意义，解题的关键：由点坐标表示出点坐标．
 

18.【答案】 

【解析】解：变换后图象解析式为，
抛物线顶点坐标为，
原函数图象解析式为，
，即，
将代入得，
将代入，得，
，
，
时，有最小值为，
故答案为：．
由变换后解析式可得变换前解析式，从而可得顶点坐标，即可求出与的关系，将分别代入与变换前解析式可得与的关系，进而求解．
本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数的性质．
 

19.【答案】解：



． 

【解析】先算乘方和零指数幂，再算乘除，后算加减，有括号先算括号里，即可解答．
本题考查了有理数的混合运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

20.【答案】解：

，
当时，原式． 

【解析】根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

21.【答案】解：如图即为所求作；
如图即为所求作，
，
点旋转到所经过的路线长． 

【解析】将、、按平移条件找出它的对应点、、，顺次连接、，即得到平移后的图形；
利用对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，分别作出点、的对应点，然后顺次连接即可；因为旋转到所经过的路线是以为圆心为半径，圆心角度数为的弧，利用弧长公式即可求解．
本题考查作图旋转变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键．
 

22.【答案】证明：由作法得，，
四边形为菱形，
，
即直线．
解：与相交于点，如图，
四边形为菱形，
，，
在中，，
四边形的周长． 

【解析】利用基本作图得到，，则可判断四边形为菱形，根据菱形的性质得到结论；
与相交于点，如图，根据菱形的性质得到，，然后利用勾股定理计算出，从而得到四边形的周长．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了菱形的判定与性质．
 

23.【答案】解：由题意知，，，
中位数；
根据上表统计显示，样本中的中位数和众数都是，都落在“”内；
名，
答：估计课外阅读时间在“”内的学生有名． 

【解析】根据题干提供数据和中位数的定义求解即可；
根据表中提供的数据求解即可；
用总人数乘以样本中课外阅读时间在“”内的学生人数所占比例即可．
此题主要考查数据的统计和分析的知识．准确把握三数平均数、中位数、众数和理解样本和总体的关系是关键．
 

24.【答案】解：设购买种型号健身器材套，种型号健身器材套，
依题意得，
解得套，
套．
答：购买种型号健身器材套，种型号健身器材套；
设购买种型号健身器材套，则购买种型号健身器材套，
依题意得，
解得：，
又为整数，
的最大值为．
答：种型号健身器材最多要购买套． 

【解析】设购买种型号健身器材套，种型号健身器材套，利用总价单价数量，结合购买，两种型号的健身器材共支出元，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
设购买种型号健身器材套，则购买种型号健身器材套，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

25.【答案】证明：如图中，连接，，

点是线段的中点，交于点，
垂直平分，
，．
，
，
是等边三角形，
，
，且为的外角，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
 解：连接，如图，

由已知可得：．
，
又，
∽，
． 

【解析】连接，，利用线段垂直平分线的性质，同圆的半径相等，得到为等边三角形，利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质求得，则，再利用圆的切线的判定定理解答即可；
连接，利用相似三角形的判定与性质解答即可．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂直的意义，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，圆的切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
 

26.【答案】解：由题意得：时，
解得：，，
故A，
，
故AC，
是等腰直角三角形，
为“等腰直角函数”；
设直线的解析式为，，，
直线经过点，
则直线的解析式为，
由，
可得：，
，，
，
，
，
当时，的面积有最小值为；
根据“等腰直角函数”可设，
的横坐标为，
易得，
、关于直线对称，

即，
解得：，
当，
当，
当、不重合所以不合题意舍去，
当，
综上所述，点的坐标为或或． 

【解析】根据函数解析式分别求出，，三点的坐标，再求出，，三边长度符合等腰直角三角形结论即得证；
设出直线的解析式和、两点的坐标，的解析式和二次函数的解析式联立可得关于、两点横坐标的一元二次方程，根据跟与系数关系导出三角形面积关系式然后求最值即可；
根据解析式可设，再写出点的坐标，根据可得关于的方程，解方程确定值即可求出点的坐标．
本题考查二次函数和一元二次方程的综合性知识，设计到的运算较多，难点在于要把所求的量用含有一个未知数的代数式或者方程来表示，还要注意题目要求舍去不符合条件的值．