2022-2023学年安徽省淮北市五校联考八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省淮北市五校联考八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列的值使二次根式无意义的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3.  在四边形中，且，若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，在中，，交的延长线于点，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，矩形的顶点，在数轴上，点表示，，，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧，交数轴的正半轴于点，则点所表示的数为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

8.  如图，在中，，，点是的中点，点在上，且，若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在矩形中，点是上一点，连接，将沿折叠，使点的对应点落在上，若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在正方形中，点，在对角线上，，若点，是的三等分点，点在正方形的边上从点开始按逆时针方向运动一周，直至返回点，则在此过程中的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.  化简的结果为______ ．

12.  如图，在中，，点是边的中点，若，，则 ______ ．

13.  如图，在▱中，的平分线与的延长线相交于点，，，则的长为______ ．

14.  如图，在正方形中，点是边的中点，连接，过点作于点，且，．
______ ．
若点，分别是，的中点，连接，，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：．

16.  本小题分
的三边长分别为，，，若该三角形是以为斜边的直角三角形，求的值．

17.  本小题分
已知，，求的值．

18.  本小题分
如图，已知，．
利用尺规作图作出以，为邻边的平行四边形不写作法，保留作图痕迹．
计算直线与直线之间的距离．

19.  本小题分
如图，在四边形中，，，点，分别是，上的点，且，求证：四边形是平行四边形．

20.  本小题分
观察下列各式．
第个等式：；
第个等式；
第个等式；

请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
第个等式：______ ．
请你按照上面三个等式反映的规律，猜想第个等式，并给出证明．

21.  本小题分
消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米．
求处与地面的距离．
完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？
 

22.  本小题分
如图，在中，平分交于点，且，点在上，点为的中点，连接，，，，．
求证：四边形是平行四边形．
若，，求的长．

23.  本小题分
如图，四边形为正方形，点是对角线上的一点，连接，过点作交于点．
求证：．
如图，以，为邻边作矩形，连接．
求证：；
若正方形的边长为，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据题意，得．
解得．
观察选项，只有选项D符合题意．
故选：．
二次根式无意义时，被开方数是负数．
本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
不可以组成三角形，不符合题意；
，
可以组成直角三角形，符合题意；
，
不可以组成直角三角形，不符合题意；
，
不可以组成直角三角形，不符合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理如果三角形三边满足，那么三角形是直角三角形，逐一判断即可．
本题考查了三角形三边关系，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：且，
四边形是平行四边形，
，
，
故选：．
先证四边形是平行四边形，则，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的邻角互补是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，原计算错误，不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
C、，正确，符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意．
故选：．
根据二次根式的加减法则及二次根式的性质对各选项进行分析即可．
本题考查的是二次根式的加减法及二次根式的性质与化简，熟知二次根式的加减法则是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
在中，，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
故选：．
根据含角的直角三角形的性质求出的长，得出的长，再根据勾股定理求出的长，最后在中由勾股定理求出的长即可．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
四边形是矩形，
，
在中，由勾股定理得，
，
以点为圆心，对角线的长为半径作弧，交数轴的正半轴于点，
，
点表示，
点所表示的数为：，
故选：．
由矩形的性质得出的长，再根据勾股定理求出的长，即可推出结果．
本题考查了勾股定理，实数与数轴，矩形的性质，根据勾股定理求出的长是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，但与不一定平行，
由，不能判断四边形是平行四边形，
故A选项符合题意；
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
由，能判断四边形是平行四边形，
故B选项不符合题意；
，，
四边形是平行四边形，
由，能判断四边形是平行四边形，
故C选项不符合题意；
，，且，
，，
，，
四边形是平行四边形，
由，能判断四边形是平行四边形，
故D选项不符合题意，
故选：．
，，但与不一定平行，这样的四边形可能是等腰梯形，所以由，不能判断四边形是平行四边形，可知选项符合题意；由，，得，则，，根据平行四边形的定义可证明四边形是平行四边形，可知选项不符合题意；由，，根据平行四边形的定义可证明四边形是平行四边形，可知选项不符合题意；由，，可推导出，，则，，可证明四边形是平行四边形，可知选项不符合题意，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的判定、平行线的判定、多边形的内角和等知识，适当选择平行四边形的定义或判定定理证明四边形是平行四边形是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设，
，，
，，
点是的中点，
，
，，
，
，
，
，
作于点，

则，，
，
在中，，
，
解得，
．
故选：．
设，则，，，可得，作于点，根据勾股定理得，即，解得，即可得出答案．
本题考查了含度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的识别图形并熟记熟记含度直角三角形的性质是解决问题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由翻折变换可知，，，
，
，
，
在中，
，
，
，
故选：．
由翻折变换可知，，，得出，所以，在中，，即可求出．
本题考查翻折变换的性质，直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提．
 

10.【答案】 

【解析】解：点，是的三等分点，
点在正方形的任何一条边上情况相同，
不妨设点在边上，
作点关于的对称点，连接，交于点，此时的值最小．
过点作的延长线于点，

正方形中，点，将对角线三等分，且，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
根据勾股定理，得
．
故选：．
根据对称性作点关于的对称点，连接交于点，此时的值最小，再根据勾股定理即可求解．
本题考查了最短路线问题、正方形的性质、勾股定理，解决本题的关键是利用对称性将动点所在直线同侧的两点变成异侧的两点，再利用两点之间线段最短解决问题．．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据二次根式的性质化简即可．
本题考查了二次函数的性质与化简，掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，点是边的中点，，
，
，
，
故答案为：．
先利用直角三角形斜边上的中线性质可得，然后再利用勾股定理进行计算，即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形为平行四边形，
，，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由平行四边形的性质和角平分线的定义可求得，，则可求得的长．
本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等是解题的关键．
 

14.【答案】  

【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
由勾股定理可得，，
，
，
，
∽，
，
即，
，
故答案为：；
解：过作于，
由可知，，，，
，
，
由勾股定理可得，，
，
，
点，分别是，的中点，
，
故答案为：．
根据勾股定理得出，再根据证明与相似，进而利用相似三角形的性质解答即可；
过作于，利用面积公式得出，进而利用勾股定理得出，，的长，进而利用三角形中位线定理解答即可．
此题是四边形综合题，考查正方形的性质，勾股定理以及相似三角形的判定和性质，关键是利用勾股定理得出，，的长解答．
 

15.【答案】解：原式

． 

【解析】，，，代入原式中计算，再去括号，合并同类二次根式即可求解．
本题主要考查二次根式的混合运算．二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
 

16.【答案】解：该三角形是以为斜边的直角三角形，
，
． 

【解析】根据勾股定理求解即可．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

17.【答案】解：，，
，，



． 

【解析】由题意可得：，，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可．
本题主要考查二次根式的化简求值，分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

18.【答案】解：如图，四边形为所作；

过点作于点，如图，
，
，
，
，
直线与直线之间的距离为． 

【解析】过，则，然后在上截取，则可判断四边形为平行四边形；
过点作于点，如图，则为等腰直角三角形，所以，然后根据平行线之间的距离的定义求解．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定与性质．
 

19.【答案】证明：，点，分别是，上的点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】由，，证明四边形是平行四边形，则，，由，，得，即可证明≌，得，即可推导出，则四边形是平行四边形．
此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等式的性质等知识，证明≌是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：第个等式为：，
故答案为：；
第个等式为：．
理由：



，
．
第个等式为：．
利用三个等式反映的规律解答即可；
利用前面等式的规律写出等式，利用二次根式的性质写出证明即可．
本题主要考查了算术平方根，数字变化的规律，利用已知等式发现数字变化的规律是解题的关键．
 

21.【答案】解：在中，
米，米，
米，
米．
答：处与地面的距离是米；
在中，
米，米，
，
米．
答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 

【解析】先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论；
由勾股定理求出的长，利用即可得出结论．
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
 

22.【答案】证明：在中，平分交于点，且，
是等腰三角形，
，
点为的中点，
是的中位线，
，
，
四边形是平行四边形；
解：由可知，是等腰三角形，，
设，则，，
，
，
，
在中，，
即，
解得：负值舍去，
，
． 

【解析】根据等腰三角形的性质得出，进而利用三角形中位线定理得出，进而利用平行四边形的判定解答即可；
根据等腰三角形的性质和勾股定理得出，进而解答即可．
此题考查平行四边形的判定和性质，关键是根据平行四边形的判定和性质以及勾股定理解答．
 

23.【答案】证明：如图，过点分别作于点，于点，则，

四边形是正方形，
，平分，
，四边形是矩形，
，
，
，
，
≌，
；
证明：四边形是正方形，
，，
四边形是矩形，且，
四边形是正方形，
，，
，
，
≌，
；
如图，连接，

正方形的边长为，
，
，
，
≌，
，
，
在中，，
，
． 

【解析】过点分别作于点，于点，得四边形是矩形，然后证明≌，即可解决问题；
先证明四边形是正方形，再证明≌，即可解决问题；
连接，根据勾股定理即可解决问题．
本题属于四边形的综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是得到≌．