2023届安徽省合肥市第一中学高三最后一卷数学试题

合肥一中2023届高三最后一卷

数学试题

（考试时间：120分钟满分：150分）

注意事项：

1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名､准考证号和座位号后两位.

2.答题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

3.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整､笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上答题无效.

4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交.

一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.R

2.若复数满足，则的共复数的虚部是（    ）

A.    B.    C.    D.

3.2017年国家提出乡村振兴战略目标：2020年取得重要进展，制度框架和政策体系基本形成：2035年取得决定性进展，农业农村现代化基本实现；2050年乡村全面振兴，农业强､农村美､农民富全面实现.全面推进乡村振兴是继脱贫攻坚取得全面胜利后三农工作重心历史性转移重要时刻.某地为实现乡村振兴，对某农产品加工企业调研得到该企业2014年到2022年盈利情况如下表.

己知由9组数据利用最小二乘法求得的y与x的经验回归方程为=0.15+5.75，现由于工作失误，第五组数据被污损，则被污损的数据为（    ）

A.6.3    B.6.4    C.6.5    D.6.6

4.已知曲线，则下面结论正确的是（    ）

A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度C2

D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

5.设O为坐标原点，F为抛物线C：x2=2py（p>0）的焦点，直线y=1与抛物线C交于A，B两点，若∠AFB=120°，则抛物线C的准线方程为（    ）

A.    B.    C.或    D.或

6.已知A，B，C是三个随机事件，“A，B，C两两独立”是“P（ABC）=P（A）P（B）P（C）”的（    ）条件

A.充分不必要    B.必要不充分

C.充要    D.既不充分也不必要

7.过原点的直线l与曲线交于A，B两点，现以x轴为折痕将上下两个半平面折成60°的二面角，则|AB|的最小值为（    ）

A.2    B.    C.4    D.12

8.已知函数f（x）与g（x）的定义域均为R，f（x+1）为偶函数，且f（3-x）+g（x）=1，f（x）-g（1-x）=1，则下面判断错误的是（    ）

A.f(x)的图象关于点(2,1)中心对称

B.f(x)与g(x)均为周期为4的周期函数

C.

D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，记，则（    ）

A.    B.

C.    D.在方向上的投影向量为

10.已知半径为R的球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为r1和r2，母线长为l，球的表面积与体积分别为S1和V1，圆台的表面积与体积分别为S2和V2.则下列说法正确的是（    ）

A.    B.

C.    D.的最大值为

11.已知正三角形ABC的边长为2，点D为边BC的中点.若∆ABC内一动点M满足MA2+3MD2=3.则下列说法中正确的有（    ）

A.线段BM长度的最大为    B.的最大值为

C.∆ABM面积的最小值为    D.cos∠MBC的最小值为

12.若函数f（x）=2sin2x·log2sinx+2cos2x·log2cosx，则（    ）

A.f(x)的最小正周期为π

B.f(x)的图象关于直线对称

C.f(x)的最小值为-1

D.f(x)的单调递减区间为

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.曲线在点(2,-3)处的切线方程为___________

14.已知，都是锐角，tan（+）=-1，则=___________.

15.定义：公比为q（0<|q|<1）的无穷等比数列{an}所有项的和为，即当n趋向于无穷大时，趋向于.利用此定义可将无限循环小数化成分数形式（a，b∈Z，且b≠0，a，b互质），则的分数形式为___________

16.设点F为双曲线的左焦点，经过原点O且斜率的直线与双曲线C交于A､B两点，AF的中点为P，BF的中点为Q.若OP⊥OQ，则双曲线C的离心率e的取值范围是___________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（10分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

（1）求的值：

（2）若，求C的值.

18.（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，.已知Sn+2+3Sn=4Sn+1-2an，a1=1，a2=3

（1）证明：数列{an+1-2an}是等差数列；

（2）记，Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn.

19.（12分）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点处的小棱锥所得的多面体.现将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点分别作平行于各底面的截面，截去四个顶点处的小棱锥，得到所有棱长均为1的截角四面体，如图所示.

（1）求证：BD⊥EF：

（2）求直线BD与平面ACK所成角的正弦值.

20.（12分）2023年4月23日，是中国海军成立74周年74年向海图强，74年劈波斩浪.74年，人民海军新装备不断增加，新型作战力量加速发展，从“101南昌舰”到“108咸阳舰”，8艘055型驱逐舰列阵.我国自主研制的075型两栖攻击舰“31海南舰”“32广西舰”“33安徽舰”也相继正式入列.从小艇到大舰，从近海防御到挺进深蓝大洋，人民海军步履铿锵，捍卫国家主权，维护世界和平.为了庆祝中国海军成立74周年，某公司设计生产了三款两栖攻击舰模型（分别为“31海南舰”､“32广西舰”“33安徽舰”），并限量发行若该公司每个月发行300件（三款各100件），一共持续12个月，采用摇号的方式进行销售.假设每个月都有3000人参与摇号，摇上号的将等可能获得三款中的一款.小周是个“战舰狂热粉”，听到该公司发行两栖攻击舰模型，欣喜若狂.

（1）若小周连续三个月参与摇号，求他在这三个月集齐三款模型的概率；

（2）若摇上号的人不再参加后面的摇号.已知小周从第一个月开始参与摇号，并且在12个月的限量发行中成功摇到并获得了模型.设他第X个月（X=1，2，…，12）摇到并获得了模型，求X的数学期望.

21.（12分）已知点M(1,1)为椭圆上一点，直线l：x+ty-1=0（t∈R）与椭圆C交于A､B两点.

（1）当t=1时，求ABM的面积；

（2）设直线AM和BM分别与直线x=4交于点P，Q，若ABM与PQM的面积满足，求实数t的值.

22.（12分）已知函数有两个极值点x1，x2，且x1<x2

（1）求f（x1）的取值范围；

（2）若2x1<x2，证明：8x1<x22

合肥一中2023届高三最后一卷

数学参考答案

1.解析：因为所以.故选：.

2.解析：因为，所以，故的虚部是.故选：.

3.解析：，故，经计算可得被污损的数据为6.4，答案选.

4.解析：曲线，

把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得的图象；

再把得到的曲线向左平移个单位长度，可以得到曲线的图象，故选：C.

5.解析：设直线与轴交点为，由对称性，易知为直角三角形，且，，即，去绝对值，解得或抛物线的准线方程为或.故选：C.

6.解析：一方面，考虑含有等可能的样本点，.

则，故两两独立，但，故此时，不成立.

另一方面，考虑含有等可能的样本点，.

则

，故不独立，也即两两独立不成立.

综上，“两两独立”是“”的既不充分也不必要条件.故选D.

7.解析：作垂直下半平面于，作轴于，连接.

设

由题可知，则，

两点间距离公式可得.

，当且仅当时，取最小值2.故选A.

8.解析：因为为偶函数，所以①，所以的图象关于直线轴对称，因为等价于②，又③，②+③得④，即，即，所以，故的周期为4，又，所以的周期也为4，故选项B正确，①代入④得，故的图象关于点中心对称，且，故选项正确，易得，且，故，故，因为与值不确定，故选项错误，因为，所以，所以，故，故，所以选项D正确，故选.

9.解析：A.，故A错误；

B.因为，故B正确；

C.，又，所以，故C正确；

D.在方向上的投影向量为，故错误.故选.

10.解析：由切线长定理易得，A正确.由勾股定理知，解得，B正确...所以正确.，当且仅当时等号成立，这与圆台的定义矛盾，故D错误.

综上，答案为.

11.解析：以为轴，为轴建系，则可以求得动点的轨迹方程：.这是一个圆心在点，半径为的圆不含原点

A项：，所以.故错误

B项：.故B正确

项：易知直线，故.故C错误

项：易知取最小值，当且仅当取最大值，也即与相切时.此时，故.故D正确.故选：BD.

12.解析：由得的定义域为，当时，不在定义域内，故不成立，易知的最小正周期为，故选项错误，又，所以的图象关于直线对称，所以选项正确，因为，设，所以函数转化为，所以得，得，所以在上单调递减，在上单调递增，故，即，故选项正确，因为在上单调递减，在上单调递增，由，令得，又的定义域为，解得，因为在上单调递增，所以的单调递减区间为，同理函数的递增区间为，所以选项D正确，故选BCD.

13.解析：因为，所以曲线在点处的切线斜率为2，所以切线方程为，即，即.

14.解析：

法1：.

.

法2：（特殊值法）令，易得答案.

15.解析：.

16.解析：设双曲线的右焦点为，根据双曲线方程知，.

直线过原点，由对称性，原点平分线段原点，

又原点平分线段四边形为平行四边形.

和中，分别有中位线，，

四边形为矩形，为直角三角形.

不妨设在第一象限，设直线倾斜角为，则，且，

在Rt中可得：，

，易知在上为增函数，

17.解析：（1）因为，

所以

.

（2）因为，即，所以

再由余弦定理知，，即，

也即，解得或.

18.解析：（1）因为，

所以，即

所以

（为常数）

所以数列是等差数列.

（2）由（1）知，即.

也即，

又，

所以..

所以.

数列的前项和

19.（1）补全四面体如图，即证：

取的中点，正四面体中各个面均为正三角形，

故，

又，所以面.

又面，所以.

（2）在的中心建系如图：则

，

，.

设面的法向量为，则，解得，

又，所以.

20.解析：（1）设事件为“小周在这三个月集齐三款模型”，则.

（2），由题意得，

，错位相减求得最后结果为.

21.解析：（1）将代入，可以求得.

联立，得.设，

则，

又易知点到直线的距离为，故的面积..

（2）设，联立得，

则，

，

又

所以等价于，也即

即，也即，也即，

也即，解得.

22.解析：（1）在上有两个变号零点，即有两个不等实根，

设，故在上单调递增，在上单调递减，

所以，且，又，

故，且，

所以，又，

所以，

设，

所以，所以在上单调递减，

所以，所以.

（2）法一：的两个实根，所以，

所以，得：，

设，又，所以，

要证：，即证：，

即证：，即证：，

即证：，即证：，

即证：，即证：，

设，

设，

所以在上单调递增，所以，

所以，所以在上单调递增，所以，

所以，所以成立.

法二：的两个实根，所以，所以，

设，又，所以，.

由可得：，.

要证：，即证：，

即证：，即证：

设，

设，

所以在上单调递增，所以，

所以，所以在上单调递增，所以，

所以，所以成立.

法三：由（1）知：，且，

在上单调递增，在上单调递减，

又，且，所以，

所以，所以，所以，所以，

又，所以，

又，即，所以，

因为，所以，故.