2021-2022学年河南省郑州市高新区枫杨外国语学校八年级（下）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年河南省郑州市高新区枫杨外国语学校八年级（下）期末数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河南省郑州市高新区枫杨外国语学校八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本题10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）2022年6月5日上午，搭载神舟十四号载人飞船的火箭，成功将航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲顺利送入太空，中国航天取得了举世瞩目的成就．下列图标中其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）已知a＜b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．a+3＞b+3 B．a﹣c＜b﹣c C．＞ D．﹣a＜﹣b
3．（3分）下列从左边到右边的变形中，因式分解正确的是（　　）
A．x2+1＝x（x+） B．（x+5）（x﹣5）＝x2﹣25
C．x2+x+1＝x（x+1）+1 D．﹣2x2﹣2xy＝﹣2x（x+y）
4．（3分）2022年北京冬奥会开幕式为世界奉献了一场精彩、简约、唯美、浪漫的中国文化盛宴，其中主火炬台的雪花状创意令人惊叹．如图是一个正六边形雪花状饰品，则它的每一个内角是（　　）

A．60° B．105° C．120° D．135°
5．（3分）下列命题中，它的逆命题是真命题有（　　）
①等边对等角；②如果ab＝0，那么a＝0，b＝0；③线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
6．（3分）定义一种“⊗”运算：a⊗b＝（a≠b），例如：1⊗3＝，则方程2⊗x＝+1的解是（　　）
A．x＝﹣1 B． C． D．x＝2
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AD于点P，则DP的长为（　　）

A． B． C． D．1
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB的边长为2．点A在第二象限内，将△OAB沿射线AO的方向平移后得到△O′A′B′，平移后点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为（　　）

A．（4，﹣2） B．（4，﹣2） C．（4，﹣2） D．（4，﹣2）
9．（3分）若关于x的不等式2x+a≤3只有1个正整数解，则a的取值范围为（　　）
A．﹣1＜a＜1 B．﹣1＜a≤1 C．﹣1≤a＜1 D．﹣1≤a≤1
10．（3分）如图，将平行四边形ABCD绕点A顺时针旋转，其中B、C、D分别落在点E、F、G处，且点B、E、D、F在同一直线上，若∠CBA＝115°，则∠CBD的大小为（　　）

A．65° B．55° C．50° D．40°
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分式有意义的条件 　 　．
12．（3分）把多项式2x3y﹣2xy分解因式的结果为 　 　．
13．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝10，∠A＝130°，∠D＝100°，AD＝CD，若点E，F分别是边AD，CD的中点，则EF的长是 　 　．

14．（3分）如图，直线y＝mx﹣3m与y＝x+n的交点的横坐标为5，则关于x的不等式组的解集是 　 　．

15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4，E为斜边AB的中点，点P是射线BC上的一个动点，连接AP、PE，将△AEP沿着边PE折叠，折叠后得到△EPA′，当折叠后△EPA′与△BEP的重叠部分的面积恰好为△ABP面积的四分之一，则此时BP的长为 　 　．

三、解答题（本大题共7小题，共75分）
16．（8分）解不等式组：，并将其解集表示在如图所示的数轴上．

17．（9分）先化简，再求值：，然后从0，1，2，3四个数中选择一个恰当的数代入求值．
18．（10分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标为（1，1）．
（1）试作出△ABC以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△A1B1C；
（2）以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点B2的坐标 　 　；
（3）请在x轴上找一点D得到▱ACBD，则点D的坐标为 　 　，若直线y＝﹣x+b平分▱ACBD的面积，则b＝　 　．

19．（12分）课堂上同学们用两个含30°角的全等三角尺拼成了一个等边三角形，嘉嘉发现了在直角三角形中，30°所对的直角边与斜边之间的数量关系．
（1）请你补充嘉嘉发现的结论：在直角三角形中，　 　；
（2）嘉嘉已画出图形并写出已知，请你将求证、证明的过程补充完整．
已知：如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°．
求证：　 　．
证明：
（3）请运用以上结论解决下列问题．
如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，若BC＝2，点D是AB边上的动点，则CD+AD的最小值为 　 　．

20．（12分）如图1，在△ABC中，D是AB边上任意一点，E是BC边中点，过点C作AB的平行线，交DE的延长线于点F，连接BF，CD．
（1）求证：四边形CDBF是平行四边形；
（2）如图2，若∠FDB＝30°，∠ABC＝45°，BC＝4，求DF的长．

21．（12分）为提升青少年的身体素质，郑州市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某外国语中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足球，购买篮球的个数比足球的个数少2个，已知足球的单价为篮球单价的．
（1）求篮球、足球的单价分别为多少元？
（2）学校计划购买篮球、足球共80个，如果购买足球m个，总费用为w元，请写出w与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下学校计划总费用不多于7200元，并且要求足球数量不能高于50个，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？
22．（12分）已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＝ON），∠AOB＝∠MON＝90°．
（1）如图1：连AM，BN，求证：AM＝BN；
（2）若将△MON绕点O顺时针旋转，
①如图2，当点N恰好在AB边上时，若AN＝1，ON＝2，请求出线段BN的长；
②当点A，M，N在同一条直线上时，若AB＝5，ON＝2，请直接写出线段BN的长．



2021-2022学年河南省郑州市高新区枫杨外国语学校八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）2022年6月5日上午，搭载神舟十四号载人飞船的火箭，成功将航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲顺利送入太空，中国航天取得了举世瞩目的成就．下列图标中其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）已知a＜b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．a+3＞b+3 B．a﹣c＜b﹣c C．＞ D．﹣a＜﹣b
【分析】根据a＜b，运用不等式的基本性质，逐项判断即可．
【解答】解：A、∵a＜b，
∴a+3＜b+3，原变形错误，故本选项不符合题意；
B、∵a＜b，
∴a﹣c＜b﹣c，原变形正确，故本选项符合题意；
C、∵a＜b，
∴＜，原变形错误，故本选项不符合题意；
D、∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，原变形错误，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
3．（3分）下列从左边到右边的变形中，因式分解正确的是（　　）
A．x2+1＝x（x+） B．（x+5）（x﹣5）＝x2﹣25
C．x2+x+1＝x（x+1）+1 D．﹣2x2﹣2xy＝﹣2x（x+y）
【分析】利用因式分解的定义判断即可．
【解答】解：A、原式不能分解，不符合题意；
B、原式为多项式乘法，不符合题意；
C、原式不能分解，不符合题意；
D、原式＝﹣2x（x+y），符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，以及平方差公式，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．
4．（3分）2022年北京冬奥会开幕式为世界奉献了一场精彩、简约、唯美、浪漫的中国文化盛宴，其中主火炬台的雪花状创意令人惊叹．如图是一个正六边形雪花状饰品，则它的每一个内角是（　　）

A．60° B．105° C．120° D．135°
【分析】根据多边形的内角和公式：多边形的内角和＝180°×（n﹣2），再利用内角和÷6即可得出每个内角的度数．
【解答】解：180°×（6﹣2）
＝180°×4
＝720°，
720°÷6＝120°，
答：一个六边形的每个内角的度数是120°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形内角和公式的灵活运用，关键是熟记公式．
5．（3分）下列命题中，它的逆命题是真命题有（　　）
①等边对等角；②如果ab＝0，那么a＝0，b＝0；③线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可．
【解答】解：①等边对等角的逆命题为等角对等边，正确，是真命题，符合题意；
②如果ab＝0，那么a＝0，b＝0的逆命题为如果a＝0，b＝0，那么ab＝0，正确，是真命题，符合题意；
③线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题为到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题，符合题意，
真命题有3个，
故选：A．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
6．（3分）定义一种“⊗”运算：a⊗b＝（a≠b），例如：1⊗3＝，则方程2⊗x＝+1的解是（　　）
A．x＝﹣1 B． C． D．x＝2
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出解．
【解答】解：根据题中的新定义得：＝+1，
整理得：＝+1，
去分母得：﹣x＝1+x﹣2，
解得：x＝，
检验：把x＝代入得：x﹣2≠0，
∴分式方程的解为x＝．
故选：B．
【点评】此题考查了解分式方程，以及有理数的混合运算，分式方程注意要检验．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AD于点P，则DP的长为（　　）

A． B． C． D．1
【分析】由作法得MN垂直平分AC，关键线段垂直平分线的性质得到PA＝PC，再利用等腰三角形的性质和勾股定理得到BD＝CD＝3，AD＝4，设PD＝x，则PA＝PC＝4﹣x，在Rt△PCD中利用勾股定理得到x2+32＝（4﹣x）2，然后解方程即可．
【解答】解：由作法得MN垂直平分AC，
∴PA＝PC，
∵AB＝AC＝5，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝3，
在Rt△ABD中，AD＝＝＝4，
设PD＝x，则PA＝PC＝4﹣x，
在Rt△PCD中，x2+32＝（4﹣x）2，
解得x＝，
即DP的长为．
故选：C．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB的边长为2．点A在第二象限内，将△OAB沿射线AO的方向平移后得到△O′A′B′，平移后点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为（　　）

A．（4，﹣2） B．（4，﹣2） C．（4，﹣2） D．（4，﹣2）
【分析】根据等边三角形的性质得出A的坐标，进而利用平移规律解答即可．
【解答】解：如图，过点A作AT⊥OB于T，过点A′作A′J⊥AT交AT的延长线于J．
∵等边三角形△OAB的边长为4，AT⊥OB，
∴OT＝BT＝1，AT＝，∠OAT＝∠OAB＝30°，
∴点A坐标为（﹣，1），B（0，2），
∵平移后点A'的横坐标为3，
∴JT＝3
即AJ＝4，
在Rt△AJA′中，JA′＝AJ•tan30°＝8，
∴点A向右平移4个单位，再向下平移8个单位可得点A'，
∴由此可得，点B'的坐标为（4，﹣2），
故选：D．

【点评】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
9．（3分）若关于x的不等式2x+a≤3只有1个正整数解，则a的取值范围为（　　）
A．﹣1＜a＜1 B．﹣1＜a≤1 C．﹣1≤a＜1 D．﹣1≤a≤1
【分析】首先解不等式求得不等式的解集，然后根据不等式只有1个正整数解即可得到一个关于a的不等式，求得a的值．
【解答】解：解不等式2x+a≤3得：x≤，
不等式有1个正整数解，一定是1，
根据题意得：1≤＜2，
解得：﹣1＜a≤1．
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
10．（3分）如图，将平行四边形ABCD绕点A顺时针旋转，其中B、C、D分别落在点E、F、G处，且点B、E、D、F在同一直线上，若∠CBA＝115°，则∠CBD的大小为（　　）

A．65° B．55° C．50° D．40°
【分析】由旋转的性质得出AB＝AE，∠AEF＝∠CBA＝115°，由等腰三角形的性质得出∠AEB＝∠ABE＝65°，即可得出答案．
【解答】解：∵平行四边形ABCD绕点A旋转到平行四边形AEFG的位置，
∴AB＝AE，∠AEF＝∠CBA＝115°，
∴∠AEB＝∠ABE＝65°，
∴∠CBD＝∠CBA﹣∠ABE＝115°﹣65°＝50°；
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质、平行四边形的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握旋转的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分式有意义的条件 　x≠﹣3　．
【分析】根据分式的分母不等于0即可得出答案．
【解答】解：∵x+3≠0，
∴x≠﹣3．
故答案为：x≠﹣3．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于0是解题的关键．
12．（3分）把多项式2x3y﹣2xy分解因式的结果为 　2xy（x+1）（x﹣1）　．
【分析】先提取公因式，再用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：原式＝2xy（x2﹣1）
＝2xy（x+1）（x﹣1）．
故答案为：2xy（x+1）（x﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）是解题的关键．
13．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝10，∠A＝130°，∠D＝100°，AD＝CD，若点E，F分别是边AD，CD的中点，则EF的长是 　4　．

【分析】连接AC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠DAC，进而求出∠BAC＝90°，根据勾股定理求出AC，再根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：连接AC，
∵AD＝CD，∠D＝100°，
∴∠DAC＝∠DCA＝40°，
∵∠BAD＝130°，
∴∠BAC＝130°﹣40°＝90°，
∴AC＝＝＝8，
∵点E，F分别是边AD，CD的中点，
∴EF是△DAC的中位线，
∴EF＝AC＝4，
故答案为：4．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
14．（3分）如图，直线y＝mx﹣3m与y＝x+n的交点的横坐标为5，则关于x的不等式组的解集是 　3＜x＜5　．

【分析】满足关于x的不等式组0＜mx﹣3m＜﹣x+n就是直线y＝mx﹣3m位于直线y＝﹣x+n的下方且位于x轴上方的图象，据此求得自变量的取值范围即可．
【解答】解：把y＝0代入y＝mx﹣3m中，可得：x＝3，
∴关于x的不等式组的解集是3＜x＜5，
故答案为：3＜x＜5．
【点评】本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系，要熟练掌握一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系是解题关键．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4，E为斜边AB的中点，点P是射线BC上的一个动点，连接AP、PE，将△AEP沿着边PE折叠，折叠后得到△EPA′，当折叠后△EPA′与△BEP的重叠部分的面积恰好为△ABP面积的四分之一，则此时BP的长为 　2或6　．

【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AB，即可得到AE的值，然后根据勾股定理求出BC．①若PA′与AB交于点F，连接A′B，如图1，易得S△EFP＝S△BEP＝S△A′EP，即可得到EF＝BE＝BF，PF＝A′P＝A′F．从而可得四边形A′EPB是平行四边形，即可得到BP＝A′E，从而可求出BP；②若EA′与BC交于点G，连接AA′，交EP与H，如图2，同理可得GP＝BG，EG＝EA′＝1，根据三角形中位线定理可得AP＝2＝AC，此时点P与点C重合（BP＝BC），从而可求出BP．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，E为斜边AB的中点，
∴AE＝AB＝2，BC＝6．
①若PA′与AB交于点F，连接A′B，如图．

由折叠可得S△A′EP＝S△AEP，A′E＝AE＝2，
∵点E是AB的中点，
∴S△BEP＝S△AEP＝S△ABP．
由题可得S△EFP＝S△ABP，
∴S△EFP＝S△BEP＝S△AEP＝S△A′EP，
∴EF＝BE＝BF，PF＝A′P＝A′F．
∴四边形A′EPB是平行四边形，
∴BP＝A′E＝2；
②若EA′与BC交于点G，连接AA′，交EP与H，如图．
．
同理可得GP＝BP＝BG，EG＝EA′＝×2＝．
∵BE＝AE，
∴EG＝AP＝，
∴AP＝2＝AC，
∴点P与点C重合，
∴BP＝BC＝6．
故答案为：2或6．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质、30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、平行四边形的判定与性质、等高三角形的面积比等于底的比、三角形中位线定理等知识，运用分类讨论的思想是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共75分）
16．（8分）解不等式组：，并将其解集表示在如图所示的数轴上．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由3x+2＜4（x+1），得：x＞﹣2，
由≥+1，得：x≤3，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤3，
将解集表示在数轴上如下：

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17．（9分）先化简，再求值：，然后从0，1，2，3四个数中选择一个恰当的数代入求值．
【分析】先通分，分解因式，再根据同分母相加减，分母不变分子相加减计算，化简后，再算乘法，进而约分化为最简分式，根据分式的意义确定x的值，代入原式计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣）•
＝•
＝，
∵x≠3，0，2，
∴当x＝1时，原式＝＝﹣．
【点评】此题主要考查分式的化简求值，掌握因式分解、通分、约分在分式化简中的综合应用是解题关键．
18．（10分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标为（1，1）．
（1）试作出△ABC以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△A1B1C；
（2）以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点B2的坐标 　（﹣5，﹣2）　；
（3）请在x轴上找一点D得到▱ACBD，则点D的坐标为 　（3，0）　，若直线y＝﹣x+b平分▱ACBD的面积，则b＝　3　．

【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A1、B1即可；
（2）利用关于原点对称的点的坐标特征得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；
（3）利用点平移的坐标变换规律得到点D的坐标为（3，0），设平行四边形ABCD的对角线的交点为P，利用线段中点坐标公式得到P（3，），再根据平行四边形的性质得到经过P点的直线平分平行四边形ABCD的面积，则把P点坐标代入y＝﹣x+b中可得b的值．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作，点B2的坐标为（﹣5，﹣2）；

故答案为（﹣5，﹣2）；
（3）如图，点D的坐标为（3，0），
设平行四边形ABCD的对角线的交点为P，
∵C（3，3），P点为CD的中点，
∴P（3，），
把P（3，）代入y＝﹣x+b得＝﹣×3+b，
解得b＝3．
故答案为：（3，0），3．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平行四边形的性质．
19．（12分）课堂上同学们用两个含30°角的全等三角尺拼成了一个等边三角形，嘉嘉发现了在直角三角形中，30°所对的直角边与斜边之间的数量关系．
（1）请你补充嘉嘉发现的结论：在直角三角形中，　如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半　；
（2）嘉嘉已画出图形并写出已知，请你将求证、证明的过程补充完整．
已知：如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°．
求证：　BC＝AB　．
证明：
（3）请运用以上结论解决下列问题．
如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，若BC＝2，点D是AB边上的动点，则CD+AD的最小值为 　3　．

【分析】（1）根据题意得出结论；
（2）首先分析命题的条件和结论，然后根据图形，即可写出求证，延长BC到点D，使CD＝BC，连接AD．证明△ABC≌△ADC（SAS）．由全等三角形的性质得出AB＝AD，得出△ABD是等边三角形．则可得出结论；
（3）作射线AG，使得∠BAG＝30°，过D作DE⊥AG于E，过C作CF⊥AG于F，故DE＝AD，故CD+AD＝CD+DE≥CF，求出CF即可．
【解答】解；（1）由题意可得，在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
故答案为：如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

（2）已知：如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°．
求证：BC＝AB．
故答案为：BC＝AB．
证明：延长BC到点D，使CD＝BC，连接AD．
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ACD＝90°，∠B＝60°．
∵BC＝CD，∠ACB＝∠ACD，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC（SAS）．
∴AB＝AD．
∴△ABD是等边三角形．
∴BD＝AB，BC＝BD＝AB．

（3）解：作射线AG，使得∠BAG＝30°，
过D作DE⊥AG于E，过C作CF⊥AG于F，

∴DE＝AD，
∴CD+AD＝CD+DE≥CF，
∵∠CAG＝∠CAB+∠BAG＝60°，BC＝2，
∴AB＝4，
∴AC＝＝＝2，
∴AF＝，
∴CF＝＝＝3，
∴CD+AD的最小值为3．
故答案为：3．

【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
20．（12分）如图1，在△ABC中，D是AB边上任意一点，E是BC边中点，过点C作AB的平行线，交DE的延长线于点F，连接BF，CD．
（1）求证：四边形CDBF是平行四边形；
（2）如图2，若∠FDB＝30°，∠ABC＝45°，BC＝4，求DF的长．

【分析】（1）欲证明四边形CDBF是平行四边形只要证明CF∥DB，CF＝DB即可；
（2）如图，作EM⊥DB于点M，解直角三角形即可．
【解答】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠ECF＝∠EBD．
∵E是BC中点，
∴CE＝BE．
∵∠CEF＝∠BED，
∴△CEF≌△BED(ASA)．
∴CF＝BD．
∴四边形CDBF是平行四边形．

（2）解：如图，作EM⊥DB于点M，

∵四边形CDBF是平行四边形，BC＝4，
∴BE＝BC＝2，DF＝2DE．
在Rt△EMB中，EM＝BE•sin∠ABC＝2，
在Rt△EMD中，∠EDM＝30°，
∴DE＝2EM＝4，
∴DF＝2DE＝8．
【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
21．（12分）为提升青少年的身体素质，郑州市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某外国语中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足球，购买篮球的个数比足球的个数少2个，已知足球的单价为篮球单价的．
（1）求篮球、足球的单价分别为多少元？
（2）学校计划购买篮球、足球共80个，如果购买足球m个，总费用为w元，请写出w与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下学校计划总费用不多于7200元，并且要求足球数量不能高于50个，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？
【分析】（1）设篮球的单价为x元，根据分别用800元购买篮球和足球，购买篮球的个数比足球的个数少2个得：+2＝，解方程并检验，可得篮球的单价为100元，足球的单价为80元；
（2）根据题意得w＝80m+100（80﹣m）＝﹣20m+8000；
（3）由总费用不多于7200元，足球数量不能高于50个，可得得40≤m≤50，由一次函数性质可得购买篮球30个，足球50个，费用最少，最少费用应为7000元．
【解答】解：（1）设篮球的单价为x元，则足球的单价为x元，
根据题意得：+2＝，
解得x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，
∴x＝×100＝80（元），
答：篮球的单价为100元，足球的单价为80元；
（2）根据题意得：w＝80m+100（80﹣m）＝﹣20m+8000，
∴w与m的函数关系式是w＝﹣20m+8000；
（3）∵总费用不多于7200元，足球数量不能高于50个，
∴，
解得40≤m≤50，
在w＝﹣20m+8000中，
∵﹣20＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴m＝50时，w取最小值，最小值为﹣20×50+8000＝7000（元），
此时80﹣m＝80﹣50＝30（个），
答：购买篮球30个，足球50个，费用最少，最少费用应为7000元．
【点评】本题考查分式方程和一次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出方程和函数关系式．
22．（12分）已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＝ON），∠AOB＝∠MON＝90°．
（1）如图1：连AM，BN，求证：AM＝BN；
（2）若将△MON绕点O顺时针旋转，
①如图2，当点N恰好在AB边上时，若AN＝1，ON＝2，请求出线段BN的长；
②当点A，M，N在同一条直线上时，若AB＝5，ON＝2，请直接写出线段BN的长．


【分析】（1）根据SAS证明三角形全等即可．
（2）①连接AM，证明AM＝BN，∠MAN＝90°，利用勾股定理解决问题即可；
②分两种情形分别画出图形求解即可．
【解答】（1）证明：如图1中，

∵∠AOB＝∠MON＝90°，
∴∠AOM＝∠BON，
在△AOM和△BON中
，
∴△AOM≌△BON（SAS）；

（2）解：①如图2中，连接AM．

同法可证△AOM≌△BON（SAS），
∴AM＝BN，∠OAM＝∠B＝45°，
∵∠OAB＝∠B＝45°，
∴∠MAN＝∠OAM+∠OAB＝90°，
∴MN2＝AN2+AM2，
∵△MON是等腰直角三角形，
∴MN2＝2ON2＝2×4＝8，
∵AN＝1，
∴AM2+12＝8，
∴AM＝（负值舍），
∴BN＝AM＝；

②如图3﹣1中，设OA交BN于J，过点O作OH⊥MN于H，

∵△AOM≌△BON，
∴AM＝BN，∠OAM＝∠OBN，
∵∠AJN＝∠BJO，
∴∠ANJ＝∠JOB＝90°，
∵△ABO是等腰直角三角形，且AB＝5，
∴AO＝5，
∵OM＝ON＝2，∠MON＝90°，OH⊥MN，
∴MN＝4，MH＝HN＝OH＝2，
∴AH＝＝＝，
∴BN＝AM＝AH+MH＝+2．
如图3﹣2中，同理可得AM＝BN＝﹣2．

综上，线段BN的长是+2或﹣2．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
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