2021-2022学年河南省郑州市惠济区八年级（下）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年河南省郑州市惠济区八年级（下）期末数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年河南省郑州市惠济区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）习近平主席在2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道．下列有关环保的四个图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）若a＜b，则下列不等式不一定成立的是（　　）
A．ac2＜bc2 B．﹣c+a＜﹣c+b
C．a（﹣c2﹣1）＞b（﹣c2﹣1） D．a+c＜b+c
3．（3分）下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A．如果＞1，则a＞b
B．对顶角相等
C．平行四边形的一组对边相等
D．等边三角形的三个内角都相等
4．（3分）阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad﹣bc，例如＝1×4﹣2×3＝﹣2，如果＞1，则x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣3 B．x＞﹣12 C．x＜﹣12 D．x＜﹣3
5．（3分）如图，AI、BI、CI分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，ID⊥BC，△ABC的周长为18，ID＝3，则△ABC的面积为（　　）

A．18 B．30 C．24 D．27
6．（3分）若一个多边形的外角和是它内角和的，那么这个多边形从一个顶点可以作（　　）条对角线．
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（3分）如图，小明准备设计一个长方形的手工作品，已知长方形的边长为a、b（a＞b），周长为20，面积为16，请计算a2b﹣ab2的值为（　　）

A．96 B．480 C．320 D．160
8．（3分）一副三角板如图放置，等腰直角三角板的斜边与含30°角的直角三角板长直角边重合于AC，∠B＝∠CAD＝90°，∠ACD＝30°，AB＝BC，点N在边CD上运动，点M在边BC上运动，连接MN，AN，分别作出MN和AN边的中点E和F，测得EF的最小值是2cm，则最长的斜边CD的长为（　　）cm

A． B． C． D．
9．（3分）如图所示，一次函数y＝ax+b与y＝cx+d的图象如图所示，下列说法：①对于函数y＝﹣ax，y随x的增大而减小；②函数y＝ax﹣d不经过第四象限；③不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②
10．（3分）如图1，已知在平行四边形ABCD中，AD＝DC，若点P从顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，△PBC的面y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（　　）

A．5 B． C． D．
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）请写出一个符合条件的含有字母x的分式：　 　．（条件：不论x取何值时，该分式都有意义）
12．（3分）请写出一个多项式，并把它进行因式分解．（要求第一步先提公因式，第二步能运用公式分解因式）
请写出该多项式及分解的结果：　 　．
13．（3分）已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°．下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾；
②因此假设不成立，所以∠B＜90°；
③假设在△ABC中，∠B≥90°；
④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．
这四个步骤正确的顺序应是 　 　．（填序号）
14．（3分）如图是y关于x的完整函数图象，请你根据所学函数知识，观察函数图象，直接写出当y＜0时，自变量x的取值范围是 　 　．

15．（3分）如图，∠AOB＝60°，点C，D在射线OA上，且OC＝6，CD＝2，P是射线OB上的动点，Q是线段DP的中点，则线段CQ长的最小值为 　 　．

三、解答题（共7小题，满分75分）
16．（8分）（1）请用简便方法计算：20222﹣4044×2021+20212．
（2）先化简，再求值：（1+）÷，其中x＝+1．
17．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，0）B（﹣4，1），C（﹣2，2）．
（1）直接写出点B关于原点对称的点B'的坐标：　 　．
（2）直接写出△ABC的面积：S△ABC＝　 　．
（3）平移△ABC，使平移后点A的对应点A1的坐标为（2，1），请画出平移后的△A1B1C1．
（4）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2．

18．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB＝54°，请根据要求完成以下任务：
（1）利用直尺与圆规，作线段BC的垂直平分线DE交AB、BC于点D、E，连接CD；
（2）利用直尺与圆规，作∠ABC的角平分线BF交CD于点F；
（3）若BD＝AC，求∠DFB的度数．

19．（12分）如图，将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D的落点记为点D'，折痕为EF，连接CF．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若∠B＝45°，∠FCE＝60°，AB＝6，求线段D'F的长．

20．（12分）为做好新冠肺炎的防控工作，某中学决定购买A，B两种防疫物资．已知防疫物资A比防疫物资B每件多25元，预算资金为1700元，其中800元购买物资A，其余资金全部用于购买物资B，且购买物资B的数量是物资A数量的3倍．
（1）求A，B两种防疫物资的单价是多少元；
（2）学校去购买防疫物资时，为协助学校更好地做好防疫工作，防疫部门决定对A，B两种防疫物资均按原价八折销售给学校，若学校决定购买A，B两种防疫物资共100件，在不超过预算资金的情况下，求最多可以购买A种防疫物资的数量是多少．
21．（12分）已知m＞n＞0．如果将分式的分子、分母都加上同一个不为0的数后，所得分式的值比是增大了还是减小了？请按照以下要求尝试做探究．
（1）举例：比较大小：　 　；
（2）当所加的这个数为1时，请通过计算说明你的结论；
（3）当所加的这个数为a＞0时，你能得到什么结论？请说明理由．
22．（12分）平移、旋转与翻折是几何变换中的三种基本变换，也是初中课程中十分重要的学习内容，平移、旋转与翻折只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，因此我们又称这三种变换为全等变换．小明发现，在解决一些数学问题时，可以利用这三种变换使得问题简单化．
（1）对称变换：如图1，已知正方形ABCD的边长为4．点E、H在对角线AC上，点F、I在BC边上，点G、J在CD边上，且EG∥HJ∥AD，EF∥HI∥AB，求阴影部分的面积；
小明将正方形沿AC翻折，得到如图2所示的△ABC，他发现图1中阴影部分的面积就等于图2中△ABC的面积，所以图1中阴影部分的面积为 　 　；
平移变换：如图3，已知长方形ABCD中，AB＝10，BC＝12，点E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD上，且FH∥BC，EG∥AB，EG与FH交于点I，求阴影部分的周长；小明将FI平移到BG，IG平移到FB……，快速地求出了阴影部分的周长为 　 　；

（2）如图4，四边形ABCD中，AB＝AD，∠A＝120°，∠C＝105°，BC＝6，CD＝2，求四边形ABCD的面积；
（3）如图5，△BAC≌△FCD，且B、C、D在一条直线上，BA＝BC＝2，设∠ACB＝α，直线BC上方有一点E满足CA＝CE且∠ACE＝90°+2α，连接AE，当α＝　 　°时，AE取得最大值，AE的最大值为 　 　．（注：点 A、E、F均在直线BC上方）



2021-2022学年河南省郑州市惠济区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）习近平主席在2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道．下列有关环保的四个图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．（3分）若a＜b，则下列不等式不一定成立的是（　　）
A．ac2＜bc2 B．﹣c+a＜﹣c+b
C．a（﹣c2﹣1）＞b（﹣c2﹣1） D．a+c＜b+c
【分析】根据不等式的性质，可得答案．
【解答】解：A、当c＝0时，不正确，故此选项符合题意；
B、不等式两边同时加﹣c，不等号方向不变，正确，故此选项不符合题意；
C、因为﹣c2﹣1＜0，所以原变形正确，故此选项不符合题意；
D、不等式两边同时加c，不等号方向不变，正确，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．（3分）下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A．如果＞1，则a＞b
B．对顶角相等
C．平行四边形的一组对边相等
D．等边三角形的三个内角都相等
【分析】先写出逆命题，再根据对顶角的性质、等边三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性质，不等式的基本性质等知识逐项判定即可．
【解答】解：A、逆命题为：如果a＞b，则＞1，为假命题，例如当a＝1，b＝0时就不成立，不符合题意；
B、逆命题为：相等的角为对顶角，为假命题，不符合题意；
C、逆命题为：一组对边相等的四边形是平行四边形，错误，为假命题，不符合题意；
D、逆命题为：三个角相等的三角形为等边三角形，为真命题，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握对顶角的性质、等边三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性质，不等式的基本性质等知识是解答此题的关键．
4．（3分）阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad﹣bc，例如＝1×4﹣2×3＝﹣2，如果＞1，则x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣3 B．x＞﹣12 C．x＜﹣12 D．x＜﹣3
【分析】根据题意可得2x﹣（x+2）＞1，即可求解．
【解答】解：根据题意可得：
2x﹣（x+2）＞1，
解得：x＜﹣12，
故选：C．
【点评】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是理解题意，得出不等式2x﹣（x+2）＞1．
5．（3分）如图，AI、BI、CI分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，ID⊥BC，△ABC的周长为18，ID＝3，则△ABC的面积为（　　）

A．18 B．30 C．24 D．27
【分析】过点I作IE⊥AB于E，IF⊥AC于F，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得ID＝IE＝IF，再根据三角形面积计算即可得解．
【解答】解：如图，过点I作IE⊥AB于E，IF⊥AC于F，

∵BI、CI分别∠ABC、∠ACB的平分线，ID⊥BC，
∴ID＝IE，ID＝IE，
∴ID＝IE＝IF＝3，
∵△ABC的周长为18，
∴△ABC的面积＝（AB+BC+AC）×3＝×18×3＝27．
故选：D．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键．
6．（3分）若一个多边形的外角和是它内角和的，那么这个多边形从一个顶点可以作（　　）条对角线．
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】首先设这个多边形有n条边，由题意得方程（n﹣2）×180＝360，再解方程可得到n的值，然后根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线可得答案．
【解答】解：设这个多边形有n条边，由题意得：
（n﹣2）×180＝360，
解得：n＝5，
从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数
是5﹣3＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了多边形的内角和外角，多边形的对角线，解题的关键是掌握多边形的内角和公式．
7．（3分）如图，小明准备设计一个长方形的手工作品，已知长方形的边长为a、b（a＞b），周长为20，面积为16，请计算a2b﹣ab2的值为（　　）

A．96 B．480 C．320 D．160
【分析】根据长方形的周长和面积求出a+b和ab的值，根据完全平方公式的变形得到a﹣b的值，对多项式进行因式分解，整体代入求值即可．
【解答】解：∵长方形的边长为a、b（a＞b），周长为20，面积为16，
∴2（a+b）＝20，ab＝16，
∴a+b＝10，
∴（a﹣b）2
＝（a+b）2﹣4ab
＝102﹣4×16
＝100﹣64
＝36，
∵a＞b，
∴a﹣b＝6，
∴原式＝ab（a﹣b）
＝16×6
＝96．
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，掌握（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab是解题的关键．
8．（3分）一副三角板如图放置，等腰直角三角板的斜边与含30°角的直角三角板长直角边重合于AC，∠B＝∠CAD＝90°，∠ACD＝30°，AB＝BC，点N在边CD上运动，点M在边BC上运动，连接MN，AN，分别作出MN和AN边的中点E和F，测得EF的最小值是2cm，则最长的斜边CD的长为（　　）cm

A． B． C． D．
【分析】连接AM，根据三角形中位线定理求出AM，根据题意求出AB，解直角三角形得到答案．
【解答】解：连接AM，
∵点E和F分别为MN和AN边的中点，
∴AM＝2EF，
∵EF的最小值是2cm，
∴AM的最小值是4cm，
由题意可知，当点M与点B重合时，AM最小，
∴AB＝4cm，
∴AC＝AB＝4cm，
在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，
则CD＝＝＝．
故选：B．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、解直角三角形，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
9．（3分）如图所示，一次函数y＝ax+b与y＝cx+d的图象如图所示，下列说法：①对于函数y＝﹣ax，y随x的增大而减小；②函数y＝ax﹣d不经过第四象限；③不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②
【分析】根据函数图象和一次函数的性质，可以得到a、b、c、d的正负情况，然后再根据一次函数的性质可以判断出各个小题中的结论是否正确．
【解答】解：由图象可得，
a＞0，b＜0，c＜0，d＞0，
∴对于函数y＝﹣ax，y随x的增大而减小，故①正确；
函数y＝ax﹣d经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故②不正确；
不等式ax+b≥cx+d的解集是x≥4，即不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4，故③正确；
故选：B．
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．（3分）如图1，已知在平行四边形ABCD中，AD＝DC，若点P从顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，△PBC的面y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（　　）

A．5 B． C． D．
【分析】过点D作DE⊥BC，根据图象的三角形的面积可得菱形的边长为5，再利用菱形的性质和勾股定理列方程可求a．
【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，AD＝DC，
∴平行四边形ABCD是菱形，
过点D作DE⊥BC，

∵菱形ABCD中，AD∥BC，
∴当点P在边AD上运动时，y的值不变，
∴AD＝a，即菱形的边长是a，
∴AD•DE＝2a，
∴DE＝4．
当点P在DB上运动时，y逐渐减小，
∴DB＝5，
∴BE＝＝＝3．
在Rt△DCE中，DC＝a，CE＝a﹣3，DE＝4，
∴a2＝42+（a﹣3）2，
解得a＝．
故选：C．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，菱形的性质，根据图象分析得出a的值是解题关键．
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）请写出一个符合条件的含有字母x的分式：　（答案不唯一）　．（条件：不论x取何值时，该分式都有意义）
【分析】分式有意义，分母不为0，若不论x取任何实数，该分式都有意义，则分母不论x取任何实数，分母都不为0，据此写出满足条件的分式．
【解答】解：要使分式有意义，分母不为0．若不论x取任何实数，该分式都有意义，则不论x取什么值，分母都不为0，
例如（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查分式有意义的条件的知识点，注意分式有意义，分母不为0．
12．（3分）请写出一个多项式，并把它进行因式分解．（要求第一步先提公因式，第二步能运用公式分解因式）
请写出该多项式及分解的结果：　a3﹣4a＝a（a+2）（a﹣2）（答案不唯一）　．
【分析】根据提公因式法和平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）即可得出答案．
【解答】解：能用平方差公式分解因式的多项式可以是a2﹣4＝（a+2）（a﹣2），
能提取公因式可以是a3﹣4a＝a（a+2）（a﹣2），
故答案为：a3﹣4a＝a（a+2）（a﹣2）（答案不唯一）．
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法和运用公式法，掌握平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）是解题的关键．
13．（3分）已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°．下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾；
②因此假设不成立，所以∠B＜90°；
③假设在△ABC中，∠B≥90°；
④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．
这四个步骤正确的顺序应是 　③④①②　．（填序号）
【分析】根据反证法的一般步骤判断即可．
【解答】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：1、假设在△ABC中，∠B≥90°，
2、由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，
3、∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，
4、因此假设不成立．∴∠B＜90°，
故答案为：③④①②．
【点评】本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
14．（3分）如图是y关于x的完整函数图象，请你根据所学函数知识，观察函数图象，直接写出当y＜0时，自变量x的取值范围是 　﹣1＜x＜1或x＞2　．

【分析】根据函数图象位于x轴下方部分可确定此题结果．
【解答】解：由题意得，此函数图象位于x轴下方部分时﹣1＜x＜1或x＞2，
故答案为：﹣1＜x＜1或x＞2．
【点评】此题考查了从函数图象中获取相关信息的能力，关键是能理解相关知识，并能准确读图．
15．（3分）如图，∠AOB＝60°，点C，D在射线OA上，且OC＝6，CD＝2，P是射线OB上的动点，Q是线段DP的中点，则线段CQ长的最小值为 　　．

【分析】取OD的中点E，连接EQ，依据三角形中位线定理即可得到EQ∥OP，进而得出∠CEQ＝∠AOB＝60°，即点Q在过点E且平行于OB的直线上运动；再根据当∠CQE＝90°时，CQ⊥EQ，可得CQ最短；最后根据CE的长即可得到CQ的长．
【解答】解：如图所示，取OD的中点E，连接EQ，
又∵Q是DP的中点，
∴EQ是△DOP的中位线，
∴EQ∥OP，
∴∠CEQ＝∠AOB＝60°，即点Q在过点E且平行于OB的直线上运动，
如图，当∠CQE＝90°时，CQ⊥EQ，依据垂线段最短可知，此时CQ最短，
∵OC＝6，CD＝2，E是OD的中点，
∴CE＝OC﹣OE＝6﹣OD＝6﹣4＝2，
∴Rt△CEQ中，CQ＝CE×sin∠CEQ＝2×＝，
故答案为：．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理以及垂线段最短的运用，解题时注意：三角形的中位线平行于第三边．取OD的中点E，构造中位线EQ，得到点Q在过点E且平行于OB的直线上运动是解题的关键．
三、解答题（共7小题，满分75分）
16．（8分）（1）请用简便方法计算：20222﹣4044×2021+20212．
（2）先化简，再求值：（1+）÷，其中x＝+1．
【分析】（1）直接利用完全平方公式计算，进而得出答案；
（2）直接将括号里面通分运算，再利用分式的除法运算法则化简，进而代入已知数据求出答案．
【解答】解：（1）20222﹣4044×2021+20212
＝（2022﹣2021）2
＝1；

（2）原式＝•
＝•
＝，
当x＝+1时，
原式＝
＝1+．
【点评】此题主要考查了实数的运算以及分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
17．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，0）B（﹣4，1），C（﹣2，2）．
（1）直接写出点B关于原点对称的点B'的坐标：　（4，﹣1）　．
（2）直接写出△ABC的面积：S△ABC＝　　．
（3）平移△ABC，使平移后点A的对应点A1的坐标为（2，1），请画出平移后的△A1B1C1．
（4）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2．

【分析】（1）根据中心对称的性质可得答案；
（2）利用△ABC所在的矩形面积减去周围三个三角形面积即可；
（3）利用平移的性质可得图形；
（4）根据旋转的性质可得图形．
【解答】解：（1）由题意知，点B关于原点对称的点B'（4，﹣1），
故答案为：（4，﹣1）；
（2）S△ABC＝3×2﹣＝，
故答案为：；
（3）如图，△A1B1C1即为所求；

（4）如图，△A2B2C2即为所求．
【点评】本题主要考查了作图﹣平移变换，旋转变换，三角形的面积等知识，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键．
18．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB＝54°，请根据要求完成以下任务：
（1）利用直尺与圆规，作线段BC的垂直平分线DE交AB、BC于点D、E，连接CD；
（2）利用直尺与圆规，作∠ABC的角平分线BF交CD于点F；
（3）若BD＝AC，求∠DFB的度数．

【分析】（1）（2）根据要求作出图形即可；
（3）证明CA＝CD，设∠DBC＝∠DCB＝x，则∠A＝∠ADC＝2x，可得3x+54°＝180°，解得x＝42°，求出∠FBC，∠FCB，可得结论．
【解答】解：（1）如图，直线DE，线段CD即为所求；
（2）如图，射线BF即为所求．

（3）∵DE垂直平分线段BC，
∴DB＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB，
∵AC＝DB，
∴CA＝CD，
∴∠A＝∠CDA，
∵∠ADC＝∠DBC+∠DCB，
设∠DBC＝∠DCB＝x，则∠A＝∠ADC＝2x，
∴3x+54°＝180°，
∴x＝42°，
∴∠ABC＝∠DCB＝42°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠FBC＝∠DBC＝21°，
∴∠DFB＝∠FBC+∠DCB＝21°+42°＝63°．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
19．（12分）如图，将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D的落点记为点D'，折痕为EF，连接CF．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若∠B＝45°，∠FCE＝60°，AB＝6，求线段D'F的长．

【分析】（1）结合平行四边形的性质可证明AF＝EC，再由AF∥EC可证明四边形AFCE是平行四边形；
（2）作AG⊥BE于点G，因为D′F＝DF，又易证DF＝BE，用勾股定理分别计算BG、EB即可．
【解答】（1）证明：如图1，∵点C与点A重合，折痕为EF，
∴∠1＝∠2，AE＝EC．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠3＝∠2．
∴∠1＝∠3．
∴AE＝AF．
∴AF＝EC．
又∵AF∥EC，
∴四边形AFCE是平行四边形．
（2）解：如图2，作AG⊥BE于点G，则∠AGB＝∠AGE＝90°，

∵点D的落点为点D′，折痕为EF，
∴D'F＝DF．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，
又∵AF＝EC，
∴AD﹣AF＝BC﹣EC，即DF＝BE．
在Rt△AGB中，∠AGB＝90°，∠B＝45°，AB＝，
∴AG＝GB＝6．
∵四边形AFCE为平行四边形，
∴AE∥FC．
∴∠4＝∠5＝60°．
在Rt△AGE中，∠AGE＝90°，∠4＝60°，
∴GE＝．
∴BE＝BG+GE＝6+．
∴D'F＝6+．

【点评】本题主要考查了折叠的性质、菱形的性质与判定、勾股定理的综合运用，运用折叠的性质和平行四边形的性质发现D′F＝BE是解决第2小题的关键．
20．（12分）为做好新冠肺炎的防控工作，某中学决定购买A，B两种防疫物资．已知防疫物资A比防疫物资B每件多25元，预算资金为1700元，其中800元购买物资A，其余资金全部用于购买物资B，且购买物资B的数量是物资A数量的3倍．
（1）求A，B两种防疫物资的单价是多少元；
（2）学校去购买防疫物资时，为协助学校更好地做好防疫工作，防疫部门决定对A，B两种防疫物资均按原价八折销售给学校，若学校决定购买A，B两种防疫物资共100件，在不超过预算资金的情况下，求最多可以购买A种防疫物资的数量是多少．
【分析】（1）设A防疫物资的单价为x元，则B防疫物资的单价为（x﹣25）元，由题意：预算资金为1700元，其中800元购买A防疫物资，其余资金购买B防疫物资，且购买B防疫物资的数量是A防疫物资的3倍．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买A种防疫物资的数量为m件，则购买B种防疫物资的数量为（100﹣m）件，由题意：不超过预算资金列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设A防疫物资的单价为x元，则B防疫物资的单价为（x﹣25）元，
由题意得：×3＝，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，
则x﹣25＝15，
答：A防疫物资的单价为40元，则B防疫物资的单价为15元；
（2）设购买A种防疫物资的数量为m件，则购买B种防疫物资的数量为（100﹣m）件，
由题意得：40×0.8m+15×0.8（100﹣m）≤1700，
解得：m≤25，
∵m为正整数，
∴m的最大值为25，
∴最多可以购买A种防疫物资的数量是25件．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用等知识，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出分式方程；（2）找出不等关系，列出一元一次不等式组．
21．（12分）已知m＞n＞0．如果将分式的分子、分母都加上同一个不为0的数后，所得分式的值比是增大了还是减小了？请按照以下要求尝试做探究．
（1）举例：比较大小：　＜　；
（2）当所加的这个数为1时，请通过计算说明你的结论；
（3）当所加的这个数为a＞0时，你能得到什么结论？请说明理由．
【分析】三个小题都是利用作差法比较代数式的大小．
【解答】解：（1）∵﹣＝﹣＜0，
∴＜，
故答案为：＜．
（2）增大了，
理由：∵﹣＝＜0，
∴＜；
（3）当所加的这个数为a＞0时，仍是增大了．
理由：∵﹣＝＜0，
∴＜，
【点评】本题考查了运算，利用作差法，得出分式的减法是解题的关键．
22．（12分）平移、旋转与翻折是几何变换中的三种基本变换，也是初中课程中十分重要的学习内容，平移、旋转与翻折只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，因此我们又称这三种变换为全等变换．小明发现，在解决一些数学问题时，可以利用这三种变换使得问题简单化．
（1）对称变换：如图1，已知正方形ABCD的边长为4．点E、H在对角线AC上，点F、I在BC边上，点G、J在CD边上，且EG∥HJ∥AD，EF∥HI∥AB，求阴影部分的面积；
小明将正方形沿AC翻折，得到如图2所示的△ABC，他发现图1中阴影部分的面积就等于图2中△ABC的面积，所以图1中阴影部分的面积为 　8　；
平移变换：如图3，已知长方形ABCD中，AB＝10，BC＝12，点E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD上，且FH∥BC，EG∥AB，EG与FH交于点I，求阴影部分的周长；小明将FI平移到BG，IG平移到FB……，快速地求出了阴影部分的周长为 　44　；

（2）如图4，四边形ABCD中，AB＝AD，∠A＝120°，∠C＝105°，BC＝6，CD＝2，求四边形ABCD的面积；
（3）如图5，△BAC≌△FCD，且B、C、D在一条直线上，BA＝BC＝2，设∠ACB＝α，直线BC上方有一点E满足CA＝CE且∠ACE＝90°+2α，连接AE，当α＝　22.5　°时，AE取得最大值，AE的最大值为 　4+2　．（注：点 A、E、F均在直线BC上方）


【分析】（1）根据翻折的性质，直接求△ABC的面积；根据平移的性质，求矩形ABCD的周长即可；
（2）将△ABC绕点A逆时针旋转120°得△ADE，连接CE，过点E作EH⊥CD，交CD的延长线于H，由∠B+∠ADC＝135°，得∠EDH＝45°，得出△CDE的面积，在Rt△ECH中，由勾股定理得CE＝10，过A作AF⊥CE于F，再求出△ACE的面积即可；
（3）将△ABC沿AC翻折得△AMC，△CFD绕点C逆时针旋转，使CD与CE重合，点F的对应点为N，连接MN，可得∠MCN＝90°，MN＝2，由AE≤AM+MN+NE，即AE最大值为4+2，此时点A、M、N、E四点共线．
【解答】解：（1）∵正方形ABCD的边长为4，
∴S阴影＝S△ABC＝×4×4＝8，
故答案为：8；
由平移的性质知，C阴影＝C矩形ABCD＝2×（12+10）＝44，
故答案为：44；
（2）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转120°得△ADE，连接CE，过点E作EH⊥CD，交CD的延长线于H，

∴DE＝BC＝6，∠B＝∠ADE，
∵∠BAD＝120°，∠BCD＝105°，
∴∠B+∠ADC＝135°，
∴∠CDE＝135°，
∴∠EDH＝45°，
∴EH＝6，
S△CDE＝×＝6，
在Rt△ECH中，由勾股定理得CE＝＝10，
过A作AF⊥CE于F，
∴CF＝CE＝5，
∴AF＝CF＝，
∴S△ACE＝＝＝，
∴S四边形ABCD＝S△ACD+S△ADE＝6+；
（3）将△ABC沿AC翻折得△AMC，△CFD绕点C逆时针旋转，使CD与CE重合，点F的对应点为N，连接MN，

∴CM＝CB，CN＝CF，
∵∠ACB＝α，∠ACE＝90°+2α，
∴∠MCN＝90°，
∵BA＝BC＝2，
∴MN＝2，
∴AE≤AM+MN+NE，
即AE最大值为4+2，此时点A、M、N、E四点共线，
∴4α＝90°，
∴α＝22.5°，
故答案为：22.5，4+2．
【点评】本题是几何变换的综合题，主要考查了翻折、平移、旋转三大全等变换，勾股定理，直角三角形的性质，根据已知条件能够熟练选择某个全等变换进行解决问题是解题的关键．
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