2023年河北省承德市八校联考中考一模数学试题（含解析）

2023年河北省承德市八校联考中考一模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．在-(-5)，-|3|， 4，-4这4个数中，最小的有理数是(     )

A．-(-5) B．-|3| C．4 D．-4

2．x的3倍与x的5倍的和是（　　）

A．2x B．3x C．5x D．8x

3．下列说法正确的是（   ）

A．若两个三角形全等，则它们必关于某条直线成轴对称

B．直角三角形是关于斜边上的中线成轴对称

C．如果两个三角形关于某条直线成轴对称的图形，那么它们是全等三角形

D．线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形

4．下列几何体的主视图和俯视图完全相同的是（    ）

A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．正方体

5．如图，圆周角，弦，则圆O的直径是（　　）

A．3 B． C．6 D．

6．下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

7．在同一平面直角坐标系中，函数y=x﹣1与函数的图象可能是

A． B． C． D．

8．如图，圆O的弦GH，EF，CD，AB中最短的是（　　）

A．GH B．EF C．CD D．AB

9．已知，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①abc0；②a+b+c=2；③b2-4ac＞0；④a＜；⑤b＞1，其中正确结论有（  ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

10．如图，对角线AC将正方形ABCD分成两个等腰三角形，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝15，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝5的点P的个数是（　　）

A．0 B．4 C．8 D．16

二、填空题

11．4的算术平方根是_____，的立方根是_____．

12．七位女生的体重(单位：kg)分别为36、42、38、42、35、45、40，则这七位女生的体重的中位数为_______kg．

13．已知 ， 为一元二次方程 的两根，那么 的值为________.

14．已知点 P（m，1）与点 P′（5，n）关于点 A（﹣2，3）对称，则 m﹣n＝______．

15．如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上，若矩形ABCD的面积为16，则k的值为_____．

16．如图，在正方形中，E是的中点，F是上的一点，且，则下面结论：①；②；③；④中，正确的是______．（填入正确的序号）

三、解答题

17．先化简，再求值：，其中x是方程的解．

18．在甲口袋中有三个球分别标有数码1，-2，3；在乙口袋中也有三个球分别标有数码4，-5，6；已知口袋均不透明，六个球除标码不同外其他均相同，小明从甲口袋中任取一个球，并记下数码，小林从乙口袋中任取一个球，并记下数码．

（1）用树状图或列表法表示所有可能的结果；

（2）求所抽取的两个球数码的乘积为负数的概率．

19．如图，在平行四边形ABCD中，AB≠BC，连接AC，AE是∠BAD的平分线，交边DC的延长线于点F．

(1)证明：CE=CF；

(2)如图（2），连接BF，若∠ABC=60°，BC=2AB，试判断四边形ABFC的形状，并说明理由．

20．比萨斜塔是意大利有名的建筑，资料显示：斜塔的倾斜角度为4°，观测者在距离塔底部100米处，测得塔顶部的仰角为30°，你能帮他计算出斜塔顶端离地面的距离吗？(结果精确到，参考数据：，，，)

21．一名跳水运动员从高的跳台上跳下，设他在起跳后第离水面，y与x具有如下关系：．求运动员从起跳到入水的时间．

22．如图，已知在中，弦垂直平分半径的延长线交于P，连接，过点A，B的切线相交于点M．

(1)求证：是等边三角形；

(2)若的半径为2，求的长．

23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点．

(1)根据图象，分别写出点A、B的坐标；

(2)求出这两个函数的解析式．

24．在平面直角坐标系中，点B从原点出发以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动．是等腰直角三角形，其中，，点C在第一象限，过C作轴，垂足为D，连接交于E，设运动时间为秒．

(1)证明：≌；

(2)当与相似时，求t的值；

(3)在（2）条件下，抛物线m经过A，B，D三点，请问在抛物线m上否存在点P，使得面积与的面积相等？若存在，请求出．

参考答案：

1．D

【分析】比较两个负数的大小：绝对值大的反而小.

【详解】∵在-(-5)，-|3|，4，-4这4个数中, -|3|，-4为负数，

∴-|3|，-4较小，

∵|-|3||=3，|-4|=4，3＜4，

∴-|3|＞-4，

∴最小的数为-4．

故选D．

【点睛】本题考查了负数大小的比较，两个负数绝对值大的反而小.

2．D

【分析】直接根据题意列出代数式得出答案

【详解】由题意可得：3x+5x＝8x

故选D

【点睛】此题主要考查了列代数式，正确把握表示出各数是解题关键

3．C

【分析】A、因为关于某条直线成轴对称的三角形对折后能重合，所以两个三角形全等不能达到这一要求，所以此选项不正确；

B、等腰直角三角形有一条对称轴，斜边上的中线是它的对称轴，故错误；

C、这是成轴对称图形的性质：如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形；

D、线段是成轴对称的图形，它的对称轴是这条线段的中垂线．

【详解】A、如果两个三角形全等，则它们不一定是关于某条直线成轴对称的图形，所以选项A不正确；

B、三角形的中线是线段，而对称轴是直线，应该说等腰直角三角形是关于斜边上的中线所在直线成轴对称的图形，所以选项B不正确；

C、如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形，所以选项C正确；

D、一条线段是关于经过该线段中垂线成轴对称的图形，所以选项D不正确；

故选：C．

【点睛】此题考查轴对称和轴对称图形的性质，解题关键在于熟练掌握：①如果两个图形成轴对称，那么这两个图形全等；②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③线段、等腰三角形、等边三角形等都是轴对称图形．

4．D

【分析】依题意，主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形．

【详解】A、圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是圆，故A选项不合题意；

B、圆柱主视图是矩形，俯视图是圆，故B选项不合题意；

C、三棱柱主视图是一行两个矩形，俯视图是三角形，故C选项不合题意；

D、正方体主视图和俯视图都为正方形，故D选项符合题意；

故选：D．

【点睛】本题主要考查三视图的性质，关键在熟练掌握三视图定义；

5．C

【分析】首先根据圆周角定理得到，然后得到是等边三角形，然后求出，进而可求出直径．

【详解】连接，由圆周角定理知，

∵，

∴，

，

等腰是等边三角形，

，

直径等于6．

故选：C．

【点睛】此题考查了圆周角定理，等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握以上知识点．

6．C

【分析】根据实数运算法则、积的乘方运算法则与幂的乘法逐一计算判断即可.

【详解】A：，故选项错误；

B：，故选项错误；

C：，故选项正确；

D：，故选项正确.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了实数运算与幂的运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键.

错因分析 容易题.失分原因是：①对于选项B中二次根式的性质掌握不熟练；②对于选项C中积的乘方的法则与幂的乘法混淆..

7．C

【详解】∵函数y=x﹣1的，，

∴它的图象经过第一、三、四象限．

根据反比例函数的性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限．

∵反比例函数的系数，

∴图象两个分支分别位于第一、三象限．

综上所述，符合上述条件的选项是C．

故选C．

8．A

【详解】分析:根据垂径定理可知，圆心到弦的距离是最长的，弦的长度反而是最短的.

详解：根据垂径定理可知，圆心到弦的距离是最长的，弦的长度反而是最短的.

故选A.

点睛：考查垂径定理，熟记垂径定理是解题的关键.

9．B

【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，由对称轴及抛物线上过点（1，2），从而对所得结论进行判断．

【详解】∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向上可得a＞0，交y轴于负半轴可得c＜0，由-＜0，可得b＞0，

∴abc＜0，故①错误，

∵当x=1时，y=2，

∴a+b+c=2；故②正确，

∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b2-4ac＞0；故③正确，

∵由图可知，当x=-1时，对应的点在第三象限，将x=-1代入y=ax2+bx+c，得a-b+c＜0

∴将a-b+c＜0与a+b+c=2相减，得-2b＜-2，即b＞1，故⑤正确，

∵对称轴x=-＞-1，解得：a＞，

又∵b＞1，

∴a＞，故④错误．

∴说法正确的有：②③⑤，共计3个；

故选：B．

【点睛】考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置； ③常数项c决定抛物线与y轴交点；④抛物线与x轴交点个数，由△的大小决定．

10．B

【分析】作点F关于BC的对称点M，连接CM，连接EM交BC于点P，可得点P到点E和点F的距离之和最小=EM，由勾股定理求出，即可得解．

【详解】解：作点F关于BC的对称点M，连接CM，连接EM交BC于点P，如图所示：

则PE+PF的值最小＝EM；

∵点E，F将对角线AC三等分，且AC＝15，

∴EC＝10，FC＝5＝AE，

∵点M与点F关于BC对称，

∴CF＝CM＝5，∠ACB＝∠BCM＝45°，

∴∠ACM＝90°，

∴，

同理：在线段AB，AD，CD上都存在1个点P，使；

∴满足的点P的个数是4个；

故选：B．

【点睛】本题考查了正方形的性质，最短路径问题，在BC上找到点P，使点P到点E和点F的距离之和最小是本题的关键．

11．     2    

【分析】根据算术平方根和立方根的定义求出即可．

【详解】解：4的算术平方根是，的立方根是，

故答案为：2；．

【点睛】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根和立方根定义，准确计算．

12．40

【详解】题目中数据共有7个，中位数是按从小到大排列后第4个数作为中位数，故这组数据的中位数是40．

13．11

【分析】根据a与b为方程的两根，把x=a代入方程，并利用根与系数的关系求出所求即可．

【详解】解：∵ ， 为一元二次方程 的两根

∴a+b=-2， ，即

∴ ．

故答案为：11．

【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．

14．－14

【分析】由点P（m，1）与点P′（5，n）关于点A（-2，3）对称，可得点A是线段PP′的中点，根据中点坐标公式求出m、n的值，再代入m-n计算即可.

【详解】解：∵点P（m，1）与点P′（5，n）关于点A（-2，3）对称，

∴=-2，=3，

∴m=-9，n=5，

则m-n=-9-5=-14．

故答案为-14.

【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，得出m、n的值是解题关键.

15．8

【分析】设A点的坐标为（m，n）则根据矩形的性质得出矩形中心的纵坐标为，根据中心在反比例函数y＝上，求出中心的横坐标为，进而可得出BC的长度，根据矩形ABCD的面积即可求得．

【详解】解：如图，延长DA交y轴于点E，

∵四边形ABCD是矩形，

设A点的坐标为（m，n）则根据矩形的性质得出矩形中心的纵坐标为，

∵矩形ABCD的中心都在反比例函数y＝上，

∴x＝，

∴矩形ABCD中心的坐标为（，）

∴BC＝2（﹣m）＝﹣2m，

∵S矩形ABCD＝16，

∴（﹣2m）•n＝16．

4k﹣2mn＝16，

∵点A（m，n）在y＝上，

∴mn＝k，

∴4k﹣2k＝16，

解得：k＝8

故答案为8．

【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k=xy为定值是解答此题的关键．

16．①③④

【分析】设正方形的边长为2，为x，则，由E是的中点及，可用含x的式子表示出，然后分别利用勾股定理和含角的直角三角形的性质对各个结论进行分析判断即可．

【详解】解：设正方形的边长为2，为x，则，

是的中点，

．

，

．

在中，，

，

，

，

，正确；

在中，，，

，错误；

在中，，，

，同理可得，

，正确；

在中，，，

．

，

，正确．

综上，正确的有．

故答案为：．

【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理及其逆定理和含角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．

17．，

【分析】分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．

【详解】解：原式

，

解方程得

或舍去，

当时，

原式．

【点睛】本题考查了分式的化简，熟练分解因式是解题的关键．

18．（1）详见解析；（2）

【分析】利用列表法展示所有可能的结果，再找出两次摸出的小球数字之积是负数的结果数，然后根据概率公式求解．

【详解】解（1）列表法如下表示：

（2）由（1）可知，共有9种可能的乘积，其中乘积为负数的有4个，则抽取的两个球数码的乘积为负数的概率.

【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．

19．（1）见解析（2）矩形，理由见解析

【分析】（1）利用角平分线的性质结合平行四边形的性质得出∠BAF＝∠F，∠DAF＝∠CEF，进而得出答案；

（2）利用等边三角形的判定方法得出△ABE是等边三角形，进而得出△ABE≌△FCE（ASA），即可得出AB＝FC，进而结合矩形的判定方法求出即可．

【详解】（1）∵AE是∠BAD的平分线，

∴∠BAF＝∠DAF，

∵在平行四边形ABCD中，

∴AB∥DF，AD∥BC，

∴∠BAF＝∠F，∠DAF＝∠CEF，

∴∠F＝∠DAF＝∠CEF，

∴CE＝FC；

（2）解：四边形ABFC是矩形，

理由：如图（2），∵∠ABC=60°，AD∥BC，

∴∠BAD＝120°，

∵∠BAF＝∠DAF，

∴∠BAF＝60°，

则△ABE是等边三角形，

可得AB＝BE＝AE，∠BEA＝∠AFC＝60°，

∵BC＝2AB，

∴AE＝BE＝EC，

∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，

在△ABE和△FCE中

∵，

∴△ABE≌△FCE（ASA），

∴AB＝FC，

又∵AB∥FC，

∴四边形ABFC是平行四边形，

再由∠BAC＝90°，

故四边形ABFC是矩形．

【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，得出AB＝FC是得出四边形ABFC是平行四边形的关键．

20．斜塔顶端离地面的距离约为.

【分析】作于点D，构成两个直角三角形．运用三角函数定义分别求出AG和BG，即可解答．

【详解】如图，过点作于点.

根据题意得，，，设，

在中，，

∴.

在中，，

∴.

∵，

∴，

∴

答：斜塔顶端离地面的距离约为.

【点睛】此题主要考查了仰角与俯角问题，根据已知构造直角三角形求出BDt和CD的长是解题关键．

21．运动员从起跳到入水的时间为

【分析】根据条件当时代入解析式求出x的值就是运动员从起跳到入水的时间．

【详解】解：由题意，得

，

解得：舍去，．

答：运动员从起跳到入水的时间为

【点睛】本题考查了二次函数的解析式的运用，一元二次方程与二次函数的关系的运用，解答时根据求出x的值即可．

22．(1)见解析

(2)

【分析】（1）连接，利用圆的切线性质得到，根据直角三角形的性质得到，根据等边三角形的判定即可证明；

（2）先根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算，得到答案．

【详解】（1）证明：连接，设与的交点为D，

，分别切于A，B，

，，

弦垂直平分半径，

，

，

，

又，

是等边三角形；

（2）解：由题意得，，由（1）可知，

，，

在中，．

【点睛】本题考查的是切线的性质、等边三角形的判定、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．

23．(1)B的坐标为；点A的坐标为

(2)一次函数解析式为；反比例函数解析式为

【分析】（1）观察图象即可得出点的坐标，观察图象易得点A的坐标为，点B的坐标为；

（2）根据点在函数图象上，利用待定系数法求函数解析式．

【详解】（1）解：观察图象得点A的坐标为，点B的坐标为；

（2）解：∵A、B两点在一次函数图象上，

∴把A、B两点的坐标代入得：

，

解得：，

∴一次函数解析式为：；

∵点A和点B都在反比例函数的图象上，

∴将其中一个点的坐标代入函数解析式得：，

∴反比例函数解析式为．

【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，准确计算．

24．(1)见解析

(2)t的值为2

(3)存在，点P坐标为或

【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质及同角的余角相等可证明，，再加上，利用全等三角形的判定方法证明即可；

（2）与有一组对顶角相等，分和，分别把这两种相似作为已知条件，求出t的值，其中一种不合题意，需舍去；求解即可；

（3）将A，B，D的坐标分别代入二次函数解析式，先求出抛物线解析式，再求出直线的解析式，过点B作直线的平行线，构造与同底等高的三角形，平行线与抛物线的交点为P，求出该直线与抛物线的交点即可．

【详解】（1）解：是等腰直角三角形，

，

，

，

由题意知，，

，

，

在和中，

，

；

（2）解：，

当时，

，

，

与为等腰直角三角形，

由（1）知，，

，

的值为2；

当时，

，

为等腰直角三角形，

，

由（1）知，，∴，

故不合题意，舍去，

综上所述，t的值为2；

（3）解：由知，，，

将，，分别代入，

得，，

解得：，，，

，

将点代入，

得，，

，

如右图，当点P在直线下方的抛物线上时，

过点B作的平行线，交抛物线于点P，交y轴于点M，连接，

此时与同底等高，面积相等，

将点代入，

得，，

，

联立与，

得，，

解得，，

与点重合，舍去；

当点P在上方的抛物线上时，

直线是直线向下平移1个单位得到的，

将直线向上平移1个单位得到直线，

可得到与同底等高，面积相等，

联立与，

得，

解得，，，

点P坐标为或

【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、一次函数图象的平移及平行线的性质、等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，面积法、解一元二次方程等知识，解题的关键是要能够熟练运用相似的判定与性质，借助图象平移国，利用等面积法解决问题．