2023年辽宁省沈阳市皇姑区辽宁省实验学校中考一模数学试题（含解析）

这是一份2023年辽宁省沈阳市皇姑区辽宁省实验学校中考一模数学试题（含解析），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年辽宁省沈阳市皇姑区辽宁省实验学校中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．的绝对值为（　　）
A．21 B． C． D．
2．2022年6月5日上午10时44分07秒，熊熊的火焰托举着近500000千克的火箭和飞船冲上云霄，这是我国长征2F运载火箭将“神舟十四号”载人飞船送入太空的壮观情景，其中，数据500000用科学记数法可以表示为（    ）
A． B． C． D．
3．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（    ）

A． B． C． D．
4．已知点在反比例函数图像上，则下列各点中在此反比例函数图像上的是（    ）
A． B． C． D．
5．若单项式与是同类项，则的值为（    ）
A． B． C． D．
6．若二次函数的图象只经过第一、二、三象限，则m满足的条件一定是（    ）
A． B． C．或 D．
7．如图，在中，点分别在上，连接，，，，，则的长为（　　）

A．1.5 B． C． D．2
8．如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（    ）
A． B．
C． D．
9．如图，边长为2的正方形ABCD，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿A-D-C的路径向点C运动，同时点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿B-C-D-A的路径向点A运动，当Q到达终点时，P停止移动，设PQC的面积为S，运动时间为t秒，则能大致反映S与t的函数关系的图象是(　　)

A． B．
C． D．
10．如图，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画圆O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为（　）

A． B． C． D．

二、填空题
11．分解因式：_______．
12．不等式组的解集是 ___________．
13．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是_________．
14．如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的度数是 _______度．

15．如图，在扇形中，，过OB的中点C作交于点D，以C为圆心，长为半径作弧交的延长线于E，则图中阴影部分的面积为 ____________________．

16．如图，在正方形中，点是边上的一点，点在边的延长线上，且，连接交边于点．过点作，垂足为点，交边于点．若，，则线段的长为_________________．


三、解答题
17．计算：．
18．小聪和小明周末相约到泰兴银杏公园晨练，这个公园有，，三个入口，她们可随机选择一个入口进入公园，假设选择每个入口的可能性相同．
(1)小聪进入泰兴银杏公园时，从入口处进入的概率为______；
(2)用树状图或列表法，求她们两人选择不同入口进入泰兴银杏公园的概率．
19．如图，AE//BF，AC平分∠BAE，交BF于点C，BD平分∠ABF交AE于点D，连接CD，求证：四边形ABCD是菱形．

20．九年三班的小雨同学想了解本校九年级学生对哪门课程感兴趣，随机抽取了部分九年级学生进行调查（每名学生必只能选择一门课程）．将获得的数据整理绘制如下两幅不完整的统计图．

据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中一共抽取了　 　名学生，m的值是　 　．
（2）请根据据以上信息直在答题卡上补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是　 　度；
（4）若该校九年级共有1000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级学生中有多少名学生对数学感兴趣．
21．为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了3600元，购买“文学类”图书花费了2700元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本．
（1）求这两种图书的单价分别是多少元？
（2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购买“科普类”图书多少本？
22．如图，为的直径，半径，的切线交的延长线于点，的弦与相交于点．

(1)求证：；
(2)若，且为的中点，求的半径长．
23．如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点O是坐标原点，点A的坐标为（﹣30，0），点B的坐标为（﹣30，30），△CDE是位于y轴的左侧且边长为8的等边三角形，边DE垂直于x轴，△CDE从点C与点O重合的位置开始，以每秒2个单位长的速度先沿点O到点A的方向向左平移，当DE边与直线AB重合时，继续以同样的速度沿点A到点B的方向向上平移，当点D与点B重合时，△CDE停止移动．
（1）求直线OB的函数表达式；
（2）当△CDE移动3秒时，请直接写出此时点C的坐标为　　；
（3）在△CDE的平移过程中，连接AE，AC，当△ACE的面积为36时，请直接写出此时点E的坐标为　　．

24．【问题提出】
如图（1），在和中，，，，点在内部，直线与交于点，线段之间存在怎样的数量关系？
  
（1）【问题探究】
如图（2），当点重合时，
①与的数量关系是 ．
② ．
（2）如图（1），当点不重合时，求．
（3）【问题拓展】
如图（3），在和中，，，（是常数），点在内部，直线与交于点，求出线段之间的数量关系（用一个含有的等式表示）．
25．如图，抛物线与轴交于原点和点，且其顶点关于轴的对称点坐标为．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)抛物线的对称轴上存在定点，使得抛物线上的任意一点到定点的距离与点到直线的距离总相等．
①证明上述结论并求出点的坐标；
②过点的直线与抛物线交于两点．证明：当直线绕点旋转时，是定值，并求出该定值；
(3)点是该抛物线上的一点，在轴，轴上分别找点，使四边形周长最小，直接写出的坐标．

参考答案：
1．A
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案．
【详解】解：的绝对值为21，
故选：A．
【点睛】本题考查绝对值，解题的关键是掌握正数的绝对值等于本身，0的绝对值为0，负数的绝对值等于它的相反数．
2．D
【分析】根据科学记数法的表示方法，进行表示即可．
【详解】解：；
故选D．
【点睛】本题考查科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示方法：，为整数，是解题的关键．
3．B
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：从左边看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：B．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
4．A
【分析】先将P点坐标代入解析式中，求出k的值，然后分别将各选项中点的横坐标代入解析式中，求出函数值并判断是否等于该点纵坐标即可．
【详解】解:把点代入中，．
A.将x=﹣3代入中，解得y=﹣2，故在此反比例函数图像上，故A符合题意；
B.将x=3代入中，解得y=2，故不在此反比例函数图像上，故B不符合题意；
C.将x=﹣2代入中，解得y=﹣3，故不在此反比例函数图像上，故C不符合题意；
D.将x=2代入中，解得y=3，故不在此反比例函数图像上，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查的是求反比例函数解析式和判断一个点是否在函数图像上，掌握用待定系数法求反比函数的解析式是解决此题的关键．
5．A
【分析】先根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）求出m，n的值，再代入代数式计算即可．
【详解】解：∵与是同类项，
∴m=3，n=2，
∴mn=32=9．
故选：A．
【点睛】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．
6．D
【分析】根据抛物线只经过第一、二、三象限，可得抛物线与轴有两个交点，且与轴的交点的纵坐标大于等于0，进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴抛物线的开口向上，当时，，
∵抛物线的图象只经过第一、二、三象限，
∴抛物线与轴有两个交点，，
∴，，
∴；
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的图象与性质，是解题的关键．
7．A
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【详解】解：，
，
，，
，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
8．B
【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．
【详解】A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故选项错误；
B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0．故选项正确；
C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误；
D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．故选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
9．C
【分析】分三种情况求出解析式，即可求解．
【详解】解：当0≤t≤1时，，
∴该图象y随x的增大而减小，
当1＜t≤2时，，
∴该图象开口向下，
当2＜t≤3，，
∴该图象开口向下，
故选：C．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，求出分段函数解析式是本题的关键．
10．B
【分析】由垂线段的性质和圆周角定理以及解直角三角形解答即可．
【详解】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，
则EH=FH，
∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=4，
∴AD=BD=AB=4，即此时圆的直径为4，
∴OE=2，
由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，
∴在Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=2×＝，
由垂径定理可知EF=2EH=2．
故选B．
【点睛】此题考查垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的综合运用．解题关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆，再解直角三角形．
11．．
【分析】先提取公因式4后继续应用完全平方公式分解即可．
【详解】解： ．
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解，要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．
12．
【分析】先分别解出两个不等式方程的解集，求得解集的公共部分即可得出这个不等式组的解集．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．
13．且/k≠-2且k≥-3
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：Δ=4+4（k+2）≥0，
∴解得：k≥-3，
∵k+2≠0，
∴k≥-3且k≠-2，
故答案为：且．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
14．49
【分析】根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角是旋转角，解答即可．
【详解】解：由旋转的性质，，，
，
，
，
故答案为：49．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，熟知旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角是旋转角，是解题的关键．
15．
【分析】连接、，易证得，即可得到，求得，然后根据求得即可．
【详解】解：连接、，
过的中点作交于点，

，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查扇形面积的计算，等边三角形的判断和性质，特殊角的三角函数，掌握特殊锐角三角函数值和扇形面积公式是解题关键．
16．20
【分析】连接，由正方形的性质可得，，可证得，可得，从而可得，根据等腰三角形三线合一可得点为的中点，由，可证得，可得，设，则，由勾股定理解得，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，

四边形为正方形，
，，
在和中，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
设，
，
，
，
在中，由勾股定理可得：
，
即，
解得：，
，
，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，构建全等三角形解决问题．
17．5
【分析】先根据负整数指数幂，二次根式的性质，特殊角锐角三角函数值，绝对值的性质化简，再计算，即可求解．
【详解】解：原式

．
【点睛】本题主要考查了负整数指数幂，二次根式的加减混合运算，特殊角锐角三角函数值，绝对值的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．(1)
(2)

【分析】（1）根据概率计算公式进行求解即可；
（2）先列出表格得到所有的等可能性的结果数，然后找到她们两人选择不同入口进入泰兴银杏公园的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵一共有A、B、C三个入口，进入每个入口的概率相同，
∴小聪进入泰兴银杏公园时，从入口处进入的概率为，
故答案为：；
（2）解：列表如下：
















由表格可得一共有种等可能性的结果数，其中她们两人选择不同入口进入泰兴银杏公园的结果数有种，
∴她们两人选择不同入口进入泰兴银杏公园的概率．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，灵活运用所学知识是解题的关键．
19．证明见解析．
【分析】由平行线的性质和角平分线定义得出∠BAC＝∠ACB，证出AB=BC，同理：AB=AD，得出AD=BC，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得四边形ABCD是平行四边形，再由邻边相等的平行四边形是菱形即可得出结论；
【详解】证明：∵AC平分∠BAE，
∴∠EAC＝∠BAC，
∵AE//BF，
∴∠EAC＝∠ACB，
∴∠BAC＝∠ACB，
∴BA＝BC，
同理得AB＝AD，
∴AD//BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、平行四边形的判定等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解决问题的关键．
20．（1）50，18；（2）补全的条形统计图见解析；（3）108；（4）该校九年级学生中有300名学生对数学感兴趣．
【详解】【分析】（1）根据统计图化学对应的数据和百分比可以求得这次调查的学生数，进而求得m的值；
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据可以求得选择数学的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据可以求得“数学”所对应的圆心角度数；
（4）根据统计图中的数据，可以求得该校九年级学生中有多少名学生对数学感兴趣．
【详解】（1）在这次调查中一共抽取了：10÷20%=50（名）学生，
m%=9÷50×100%=18%，
故答案为50，18；
（2）选择数学的有；50﹣9﹣5﹣8﹣10﹣3=15（名），
补全的条形统计图如图所示；

（3）扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是：360°×=108°，
故答案为108；
（4）1000×=300（名），
答：该校九年级学生中有300名学生对数学感兴趣．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是读懂统计图，从不同的统计图中找到必要的信息，利用数形结合的思想解答．
21．（1）“文学类”图书的单价为15元，则“科普类”图书的单价为18元；（2）最多能购买“科普类”图书33本．
【分析】（1）设“文学类”图书的单价为x元，则“科普类”图书的单价为1.2x元，根据数量＝总价÷单价，结合购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设能购买“科普类”图书m本，根据总价＝单价×数量，列出不等式，即可求解．
【详解】解：（1）设“文学类”图书的单价为x元，则“科普类”图书的单价为1.2x元，
依题意，得： ，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是所列分式方程的解，且符合题意，
∴1.2x＝18．
答：“文学类”图书的单价为15元，则“科普类”图书的单价为18元；
（2）设能购买“科普类”图书m本，
根据题意得：18m+15(100-m)≤1600，
解得：，
∵m为整数，
∴最多能购买“科普类”图书33本．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及不等式的应用，找准数量关系，正确列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)6

【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，求得，得到，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）设的半径为，则，求得，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
，
的切线交的延长线于点，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：设的半径为，
则，
，为的中点，
，，
在中，，
，
解得：或（舍去），
的半径长为6．
【点睛】本题主要考查了切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
23．（1）；（2）；（3）或．
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得；
（2）如图（见解析），先根据等边三角形的性质求出的长，再求出当边与直线重合时，移动的时间，然后判断点的位置，求出点的运动路程即可得；
（3）分向左平移和向上平移两种情况，再分别利用等边三角形的性质、三角形的面积公式求出，的长，由此即可得出答案．
【详解】（1）由题意，设直线的函数表达式为，
将点代入得：，解得，
则直线的函数表达式为；
（2）如图，设与轴的交点为点，

是边长为的等边三角形，且轴，
，，
，即，
，
当边与直线重合时，移动的时间为（秒），
当移动3秒时，点的运动路程为个单位长度，且点在轴的负半轴上，
此时点的坐标为；
（3）由题意得： 分以下两种情况：
①当向左平移时，
如图，设与轴的交点为点，

是边长为的等边三角形，且轴，
，，
的面积为，
，即，
解得，
，
；
②当向上平移时，
如图，过点作于点，

是边长为的等边三角形，
，，
的面积为，
，即，
解得，
点位于第二象限，
；
综上，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数的几何应用、等边三角形的性质，平移的性质、勾股定理等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键．
24．问题提出：；问题探究：（1）①；②；（2）；问题拓展：（3）
【分析】问题提出：证明，得到，过作交于，再证，得到，则是等腰直角三角形，得到，即可解决问题；
问题探究：（1）①证明，得，即可得出结论；②由等腰直角三角形的性质得到，则，再由①可知，，然后由，即可得出结论；
（2）由“问题提出”可知，，即可得出结论；
（3）证，得到，过作交于，再证，得，则，即可解决问题．
【详解】解：问题提出
，
理由如下：
，
，
即，
，
，
，
如图（1），过作交于，
  ，
则，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
；
问题探究
（1）①，
，
即，
，
，
，
点重合，
，
故答案为：；
②，
是等腰直角三角形，
，
点重合，
，
由①可知，，
，
，
，
故答案为：；
（2）由“问题提出”可知，，
；
（3），
理由如下：
由（2）可知，，
，
，
，
，
如图（3），过作交于，
  ，
由（2）可知，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
25．(1)
(2)①证明见解析，；②证明见解析
(3)

【分析】（1）求出，，将点、点、点代入抛物线，即可求解析式；
（2）①设，，由已知得，整理得到，因为抛物线上的任意一点到定点的距离与点到直线的距离总相等，所以，即可求的坐标；②设过点的直线解析式为，，联立，整理得：，则有，，，，由①可得；
（3）作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点、轴分别于点，四边形周长，求出的坐标，可得到直线的解析式，则可求的坐标．
【详解】（1）解：顶点关于轴的对称点坐标为，
，
，
将点、点、点代入抛物线，
得到：，
解得：，
；
（2）解：①设，，
点到直线的距离为，
，
，
，
到直线的距离与点和点的距离相等，
抛物线上的任意一点到定点的距离与点到直线的距离总相等，
到定点的距离与点到直线的距离相等，
，
整理得，，
距离总相等，
，
；
②设过点的直线解析式为，，
联立，
整理得：，
，，
，，
到点与点到的距离相等，到点与点到的距离相等，
，
是定值；
（3）解：作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点、轴分别于点，
，
，
四边形周长，
点是该抛物线上的一点，
，
，
，，
直线的解析为，
，．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，本题需要正确理解任意的含义，利用对称性求周长的最小值是常用方法，需要熟练掌握，求时，将点与点的距离转化为点与线的距离，熟练应用韦达定理是求解的关键．