初中数学同步 9年级上册 第10课 二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c（教师版含解析） 试卷

这是一份初中数学同步 9年级上册 第10课 二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c（教师版含解析），共34页。
第10课 二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c(a≠0)

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课程标准
1．理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式；
2．会用描点法画出二次函数y=ax2(a≠0) 与的图象，并结合图象理解抛物线、对称轴、顶点、开口方向等概念；
3. 掌握二次函数y=ax2(a≠0) 与的图象的性质，掌握二次函数与之间的关系；(上加下减).

知识精讲

知识点01 二次函数的概念
一般地，形如 (a≠0，a, b, c为常数)的函数是二次函数.
若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2.
以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c(a≠0)是二次函数的一般式.
二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①(a≠0)；②(a≠0)；③(a≠0)；④(a≠0)，其中；⑤(a≠0).
要点诠释：
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的 .

2.二次函数解析式的表示方法
1. 一般式： (，，为常数，)；
2. 顶点式： (，，为常数，)；
3. 交点式： (，，是抛物线与轴两交点的横坐标)(或称交点式).

要点诠释：
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化。
知识点02 二次函数y=ax2(a≠0)的图象及性质
1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象
用描点法画出二次函数y=ax2(a≠0)的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做 .
因为抛物线y=x2关于 对称，所以 是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的 ，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最 点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最 值，它的最小值就是最低点的 .

2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法
用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.
要点诠释：
二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象．
画草图时应抓住以下几点： .
3.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质
二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质，见下表：
函数

图象
开口
方向
顶点坐标
对称轴
函数变化
最大(小)值
y=ax2
a>0




x>0时，
y随x增大而 ；
x0

向上
(0，0)
y轴
x>0时，
y随x增大而增大；
x0时，y随x的增大而增大；当x0，所以y有最小值，当x=0时，y的最小值是－3.
故答案是：上， (0，-3) ，y轴， 增大，减小，小，0， 小，-3.


题组C 培优拔尖练
1．已知 是二次函数，且函数图象有最高点．
(1)求k的值；
(2)求顶点坐标和对称轴，并说明当x为何值时，y随x的增大而减少．
【答案】(1)k=﹣3；(2)当k=﹣3时，y=﹣x2顶点坐标(0，0)，对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而减少．
【解析】
试题分析：(1)根据二次函数的定义得出k2+k﹣4=2，再利用函数图象有最高点，得出k+2＜0，即可得出k的值；
(2)利用(1)中k的值得出二次函数的解析式，利用形如y=ax2(a≠0)的二次函数顶点坐标为(0，0)，对称轴是y轴即可得出答案．
试题解析：解：(1)∵是二次函数，∴k2+k﹣4=2且k+2≠0，解得k=﹣3或k=2．∵函数有最高点，∴抛物线的开口向下，∴k+2＜0，解得k＜﹣2，∴k=﹣3；
(2)当k=﹣3时，二次函数为y=﹣x2，顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而减少．
2．已知函数是关于x的二次函数，求：
(1)满足条件m的值．
(2)m为何值时，抛物线有最底点?求出这个最底点的坐标，这时为何值时y随的增大而增大?
(3)m为何值时，抛物线有最大值?最大值是多少?这时为何值时，y随的增大而减小．
【答案】(1) (2)m=2,(0,0) (3)见解析
【解析】
试题分析：
(1) 对照题目中所给出的二次函数解析式与二次函数的一般形式容易得到m的取值需要满足的条件. 综合考虑能够同时满足这些条件的m的取值即可.
(2) 根据二次函数的图象与性质易知，当抛物线开口向上时有最低点，且抛物线的开口方向由(m+2)的符号确定. 利用这一规律可以得到满足题意的m的取值范围，再结合第(1)小题的结论即可确定m的取值. 利用m的取值可以得到二次函数的具体解析式，不难得到抛物线最低点的坐标. 根据二次函数的图象与性质易知，抛物线开口向上时，在对称轴右侧y随x的增大而增大.
(3) 根据二次函数的图象与性质易知，当抛物线开口向下时有最大值. 仿照第(2)小题的思路即可得解.
试题解析：
(1) 对照该函数解析式与二次函数的一般形式y=ax2+bx+c (a≠0)可知，m的取值应该同时满足下列两个条件：
，
解上述不等式，得 m≠-2，
解上述一元二次方程，得 m1=2，m2=-3，
因此，满足条件的m值为2或-3.
(2) 由二次函数的图象与性质可知：当m+2>0时，抛物线开口向上，有最低点.
故m的取值应该满足：m+2>0，即m>-2，
结合第(1)小题的结论得，当m=2时，抛物线有最低点.
当m=2时，二次函数的解析式为：y=4x2，故该抛物线最低点的坐标为(0, 0).
由于二次函数y=4x2图象的对称轴为y轴，即直线x=0，且抛物线开口向上，故当x>0时y随x的增大而增大.
综上所述，当m=2时，抛物线有最低点，最低点的坐标为(0, 0)；当x>0时，y随x的增大而增大.
(3) 由二次函数的图象与性质可知：当m+20，1−m≤0两种情况讨论，把点M的变换点坐标代入解析式可求点M坐标；
(3)①求出x≥0，x0
∴(1,2)的变换点为(−1,−2)
∵−1