【全套精品专题】初中数学同步 9年级上册 第24课 弧、弦、圆心角、圆周角（教师版含解析）

这是一份【全套精品专题】初中数学同步 9年级上册 第24课 弧、弦、圆心角、圆周角（教师版含解析），共37页。
第24课 弧、弦、圆心角、圆周角

目标导航


课程标准
1.了解圆心角、圆周角的概念；
2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；
3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用．

知识精讲


知识点01 弧、弦、圆心角的关系
1.圆心角定义
　　如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样 叫做圆心角．

2.定理：
　　在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 也相等．
3.推论：
　　在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 相等，所对的 也相等．
　　在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的 相等，所对的 也相等．
要点诠释：
　　(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征.
　　(2)注意定理中不能忽视“ ”这一前提.

知识点02 圆周角
1.圆周角定义：
　　像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在 ，并且两边都与圆 的角叫做圆周角．

2.圆周角定理：
　　在同圆或等圆中， 所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的 ．
3.圆周角定理的推论：
　　半圆(或直径)所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦是 ．
要点诠释：
　　(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
　　(2)圆周角定理成立的前提条件是在 中.
4.圆内接四边形：
(1)定义: 圆内接四边形： ，叫圆内接四边形．
(2)性质：圆内接四边形 ，外角等于 (即它的一个外角等于它相邻内角的对角)．
5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：
在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).
*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.

能力拓展


考法01 圆心角、弧、弦之间的关系及应用
【典例1】已知：如图所示，⊙O中弦AB＝CD．求证：AD＝BC．


【即学即练1】如图所示，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB．
求证：．

考法02 圆周角定理及应用
【典例2】如图，OA、OB是⊙O的半径且OA⊥OB，作OA的垂直平分线交⊙O于点C、D，连接CB、AB．求证：∠ABC=2∠CBO．


【即学即练2】如图，AB是⊙O的弦，∠AOB＝80°则弦AB所对的圆周角是 .

【典例3】如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1+∠2=___________.


【即学即练3】如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC、BO，已知∠CAB=36°，∠ABO=30°，则∠D=　 ．


【典例4】已知，如图，⊙O上三点A、B、C，∠ACB=60°，AB=m，试求⊙O的直径长.

【即学即练4】如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，则⊙O的半径为( )．
A． B．4 C． D．5









分层提分


题组A 基础过关练
1．如图，AC是⊙O的直径，弦AB//CD，若∠BAC=32°，则∠AOD等于( )

A．64° B．48° C．32° D．76°
2．如图，弦AB，CD相交于E点，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，则∠AOD等于( )

A．37° B．74° C．54° D．64°
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于( )

A．69° B．42° C．48° D．38°
4．如图，△ABC内接于圆O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是圆O的直径，BD交AC于点E，连接DC，则∠AEB等于( )

A．70° B．110° C．90° D．120°
5．如图所示，∠1，∠2，∠3的大小关系是(　　)

A．∠1＞∠2＞∠3 B．∠3＞∠1＞∠2   C．∠2＞∠1＞∠3 D．∠3＞∠2＞∠1
6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC、BD，若∠AOC=110°，则∠BCD的度数是(　　)

A．35° B．46° C．55° D．70°
7．在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为3：4：6，则∠D= 度．

题组B 能力提升练
1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为_____．

2．如图所示，在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在PM以及⊙O的半径OM，OP上，并且∠POM＝45°，则AB的长为_______．

3．如图,已知A、B、C、D、E均在⊙O上,且AC为⊙O的直径,则∠A+∠B+∠C=________度.

4．如图所示，C，D是半圆O上的两点，AB是圆O的直径，且OD∥BC，OD与AC交于点E．AB=，BC=，求AD的长．

5．如图，MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为_________．

6．如图，半圆O的直径AB＝10，有一条定长为6的动弦CD在弧AB上滑动(点C、点D分别不与点A、点B重合)，点E、F在AB上，EC⊥CD，FD⊥CD．

(1)求证：EO＝OF；
(2)联结OC，如果△ECO中有一个内角等于45°，求线段EF的长；
(3)当动弦CD在弧AB上滑动时，设变量CE＝x，四边形CDFE面积为S，周长为l，问：S与l是否分别随着x的变化而变化？试用所学的函数知识直接写出它们的函数解析式及函数定义域，以说明你的结论．



题组C 培优拔尖练
1．如图，等腰△ABC中，AC=BC，⊙O为△ABC的外接圆，D为上一点，CE⊥AD于E，求证：AE=BD+DE．

2．如图所示，AB是⊙O的直径，C为的中点，CD⊥AB于点D，交AE于点F，连接AC，求证：AF＝CF．

3．如图，AB是⊙O的直径，弦BC长为，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AB和AD的长．


4．在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连结FG．
①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，则线段DG的长为 　 　；
②如图2，点E不与点A，B重合，GF延长线交BC边于点H，连接EH，则＝　 　．

5．问题背景：如图①在四边形中，探究线段、、之间的数量关系．
小杨同学探究此问题的思路是：将绕点逆时针旋转到处点、分别落在点、处(如图②)，，易证点，、、在同一条直线上，并且是等腰直角三角形，所以，从而得出结论

简单应用：
(1)在图①中，直接利用小杨得出的结论，若，，则______．
(2)利用小杨同学探究图②问题提供的思路，解决③图中的问题．如图③，已知是的直径点、在上，求证：．
拓展延伸：
(3)如图④，，，是四边形的外接圆，若，，求的长(用含,的代数式表示)


















第24课 弧、弦、圆心角、圆周角

目标导航


课程标准
1.了解圆心角、圆周角的概念；
2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；
3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用．

知识精讲


知识点01 弧、弦、圆心角的关系
1.圆心角定义
　　如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．

2.定理：
　　在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3.推论：
　　在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．
　　在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
要点诠释：
　　(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征.
　　(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.

知识点02 圆周角
1.圆周角定义：
　　像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

2.圆周角定理：
　　在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3.圆周角定理的推论：
　　半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
要点诠释：
　　(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
　　(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
4.圆内接四边形：
(1)定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．
(2)性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角(即它的一个外角等于它相邻内角的对角)．
5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：
在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).
*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.

能力拓展


考法01 圆心角、弧、弦之间的关系及应用
【典例1】已知：如图所示，⊙O中弦AB＝CD．求证：AD＝BC．

【答案与解析】
证法一：如图①，∵ AB＝CD，∴ ．
∴ ，即，
∴ AD＝BC．
证法二：如图②，连OA、OB、OC、OD，

∵ AB＝CD，∴ ∠AOB＝∠COD．
∴ ∠AOB－∠DOB＝∠COD－∠DOB，
即∠AOD＝∠BOC，∴ AD＝BC．
【点评】在同圆或等圆中，证两弦相等时常用的方法是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等，而图中没有已知的等弧和等圆心角，必须借助已知的等弦进行推理．本题主要是考查弧、弦、圆心角之间的关系，要证AD＝BC，只需证或证∠AOD＝∠BOC即可．

【即学即练1】如图所示，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB．
求证：．

【答案】
证法一：如上图所示，连OC、OD，则OC＝OD，

∵ OA＝OB，且，，
∴ OM＝ON，而CM⊥AB，DN⊥AB，
∴ Rt△COM≌Rt△DON，
∴ ∠COM＝∠DON，
∴ ．
证法二：如下图，连AC、BD、OC、OD．

∵ M是AO的中点，且CM⊥AB，
∴ AC＝OC，
同理BD＝OD，又OC＝OD．
∴ AC＝BD，
∴ ．
考法02 圆周角定理及应用
【典例2】如图，OA、OB是⊙O的半径且OA⊥OB，作OA的垂直平分线交⊙O于点C、D，连接CB、AB．求证：∠ABC=2∠CBO．

【答案与解析】
证明：连接OC、AC，如图，

∵CD垂直平分OA，
∴OC=AC．
∴OC=AC=OA，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∴∠ABC=∠AOC=30°，
在△BOC中，∠BOC=∠AOC+∠AOB=150°，
∵OB=OC，
∴∠CBO=15°，
∴∠ABC=2∠CBO．
【总结升华】本题考查了圆周角定理以及线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质，熟练的掌握所学知识点是解题的关键.

【即学即练2】如图，AB是⊙O的弦，∠AOB＝80°则弦AB所对的圆周角是 .

【答案】40°或140°.
【典例3】如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1+∠2=___________.

【答案】90°.
【解析】如图，连接OE，则


【点评】把圆周角转化到圆心角.

【即学即练3】如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC、BO，已知∠CAB=36°，∠ABO=30°，则∠D=　 ．

【答案】96°；
提示：解：连结OC，如图，

∠BOC=2∠CAB=2×36°=72°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OBC=(180°﹣∠BOC)=(180°﹣72°)=54°，
∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=30°+54°=84°，
∵∠D+∠ABC=180°，
∴∠D=180°﹣84°=96°．
故答案为96．

【典例4】已知，如图，⊙O上三点A、B、C，∠ACB=60°，AB=m，试求⊙O的直径长.

【答案与解析】
如图所示，作⊙O的直径AC′，连结C′B，
　
则∠AC′B=∠C=60°
　 又∵AC′是⊙O的直径，
　 ∴∠ABC′=90°
　
　
　
　　即⊙O的直径为.
【点评】作出⊙O的直径，将60°、直径与m都转到一个直角三角形中求解.

【即学即练4】如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，则⊙O的半径为( )．
A． B．4 C． D．5

【答案】A.

分层提分


题组A 基础过关练
1．如图，AC是⊙O的直径，弦AB//CD，若∠BAC=32°，则∠AOD等于( )

A．64° B．48° C．32° D．76°
【答案】A
【分析】
由AB//CD，∠BAC＝32°，根据平行线的性质，即可求得∠ACD的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠AOD的度数．
【详解】
解：∵弦AB//CD，∠BAC=32°，
∴∠ACD＝∠BAD＝32°，
∴ ∠AOD=2∠ACD＝2×32°＝64°.
故选：A
【点睛】
此题考查了圆周角定理与平行线的性质．解题的关键是注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
2．如图，弦AB，CD相交于E点，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，则∠AOD等于( )

A．37° B．74° C．54° D．64°
【答案】B
【分析】
由∠BAC=27°，∠BEC=64°，根据三角形外角的性质，即可求得∠C的度数，又由圆周角定理，即可求得∠AOD的度数．
【详解】
解：∵∠BEC是△AEC的外角，
∴∠BEC=∠C+∠BAC，
∵∠BAC=27°，∠BEC=64°，
∴∠C=∠BEC-∠BAC=64°-27°=37°，
∴∠AOD=2∠C=2×37°=74°．
故选：B．
【点睛】
此题考查了圆周角定理与三角形外角的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于( )

A．69° B．42° C．48° D．38°
【答案】A
【分析】
先根据圆周角定理得出∠BAD的大小，然后利用圆的内接四边形对角互补的性质，得出∠BCD的大小，从而得出∠DCE的大小．
【详解】
∵∠BOD=138°，
∴，
∴∠BCD=180°﹣∠A=111°，
∴∠DCE=180°﹣∠BCD=69°．
故选A．
【点睛】
本题考查圆内接四边形对角互补的性质和圆周角定理，解题关键是得出∠BCD的大小．
4．如图，△ABC内接于圆O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是圆O的直径，BD交AC于点E，连接DC，则∠AEB等于( )

A．70° B．110° C．90° D．120°
【答案】B．
【解析】
试题分析：∵∠A=50°，∠ABC=60°
∴∠ACB=70°
∵BD是圆O的直径
∴∠BCD=90°
∴∠ACD=20°
∴∠ABD=∠ACD=20°
∴∠AEB=180°﹣(∠BAE+∠ABE)=180°﹣(50°+20°)=110°．
故选B．
考点：1．圆周角定理；2．三角形内角和定理．
5．如图所示，∠1，∠2，∠3的大小关系是(　　)

A．∠1＞∠2＞∠3 B．∠3＞∠1＞∠2   C．∠2＞∠1＞∠3 D．∠3＞∠2＞∠1
【答案】D
【分析】
作出如图所示辅助线，再根据“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”和“三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角”，此题可解．
【详解】
如图，BD交圆于点G，连接CG，延长BE交圆于点F，连接CF，


则由圆周角定理知，∠A=∠BGC=∠F，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和知，∠BGC=∠2=∠D+∠GCD=∠1+∠GCD，∠3=∠F+∠FCE=∠2+∠FCE，
∴
故选D.
【点睛】
考查圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理以及三角形外角的性质，作出辅助线是解题的关键.
6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC、BD，若∠AOC=110°，则∠BCD的度数是(　　)

A．35° B．46° C．55° D．70°
【答案】A
【分析】
连接BC，根据圆周角定理求得∠ABC的度数，然后根据直角三角形的锐角互余即可求解．
【详解】
连接BC，

∵∠AOC=110°，
∴∠ABC=∠AOC═55°，
∵CD⊥AB，
∴∠BEC=90°，
∴∠BCD=90°-55°=35°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了垂径定理以及圆周角定理，根据圆周角定理把求∠ABD的问题转化成求等腰三角形的底角的问题．
7．在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为3：4：6，则∠D= 度．
【答案】100．
【解析】
【分析】
根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠D=∠A+∠C=180°，再根据∠A、∠B、∠C的度数之比为3：4：6分别计算出∠A、∠B、∠C的度数，进而可得∠D的度数．
【详解】
解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，

∴∠B+∠D=∠A+∠C=180°，
∵∠A、∠B、∠C的度数之比为3：4：6，
∴∠A=180°×=60°，∠C=180°×=120°，
∠B=180°×=80°，
∴∠D=180°﹣80°=100°，
故答案为100．

题组B 能力提升练
1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为_____．

【答案】4．
【分析】
连接，根据等腰三角形的性质得到，根据圆内接四边形的性质得到，求得，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：连接，

，，
，
，
，
是直径，
，
∴∠CAD=30°，
又∵AD=8，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
2．如图所示，在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在PM以及⊙O的半径OM，OP上，并且∠POM＝45°，则AB的长为_______．

【答案】
【详解】
连结AO.

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCO=90°.
∵∠POM=45°，
∴∠CDO=45°，
∴CD=CO，
∴BO=BC+CO=BC+CD，
∴BO=2AB.
∵MN=10，
∴AO=5.
在Rt△ABO中，AB2+BO2=AO2，即AB2+(2AB)2=52，
∴AB=.
3．如图,已知A、B、C、D、E均在⊙O上,且AC为⊙O的直径,则∠A+∠B+∠C=________度.
​
【答案】90
【详解】
解：如图∠A，∠B，∠C可分别看成是的圆周角，
而，
所以∠A＋∠B＋∠C=90°
考点：圆周角与圆心角的关系
点评：本题考察圆周角与圆心角的关系，本题看出这三个角的圆心角是一个平角是解本题的关键
4．如图所示，C，D是半圆O上的两点，AB是圆O的直径，且OD∥BC，OD与AC交于点E．AB=，BC=，求AD的长．

【答案】D=5．
【解析】
【分析】
根据题意可得△ACB为直角三角形，再根据勾股定理求出AC，再根据中位线的性质求出OE,DE，运用勾股定理即可得出结论.
【详解】
解:∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，由勾股定理可得AC=，
∵OD∥BC，
∴OD⊥AC，
∴AE=EC=4，
∵O是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE=CB=，
∴DE=OD﹣OE=﹣=3，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD=5．
【点睛】
本题考查了中位线的性质与勾股定理，解题的关键是熟练的掌握中位线的性质与勾股定理.
5．如图，MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为_________．

【答案】
【解析】
试题分析：连接AN，根据勾股定理可得MN=4，将点B作关于MN的对称点B′，连接AB′就是PA+PB的最小值，从而得出答案.
考点：轴对称问题
6．如图，半圆O的直径AB＝10，有一条定长为6的动弦CD在弧AB上滑动(点C、点D分别不与点A、点B重合)，点E、F在AB上，EC⊥CD，FD⊥CD．

(1)求证：EO＝OF；
(2)联结OC，如果△ECO中有一个内角等于45°，求线段EF的长；
(3)当动弦CD在弧AB上滑动时，设变量CE＝x，四边形CDFE面积为S，周长为l，问：S与l是否分别随着x的变化而变化？试用所学的函数知识直接写出它们的函数解析式及函数定义域，以说明你的结论．
【答案】(1)详见解析；(2)线段EF的长等于或；(3)．
【分析】
(1)过点O作OH⊥CD于H，由垂径定理得出CH＝DH，证得EC∥OH∥FD，即可得出结论；
(2)由勾股定理求出，由平行线的性质得出∠ECO＝∠COH≠45°；分两种情况讨论：
①当∠EOC＝45°时，过点E作EM⊥OC于M，则△OEM是等腰直角三角形，得出EM＝OM，证明△ECM∽△COH，得出EM：CM＝CH：OH＝3：4．设EM＝3m，CM＝4m．则OM＝3m，EO＝OM＝m，由CM+OM＝OC，得出方程4m+3m＝5，解方程得出，即可得出，EF＝．
②当∠CEO＝45°时，过点O作ON⊥EC于N；．在Rt△CON中，ON＝CH＝3，CN＝OH＝4．在Rt△EON中，．得出即可．
(3)证明OH是梯形EFDC的中位线，由梯形中位线定理得出EC+FD＝2OH＝8，由梯形面积公式得出S＝(EC+FD)•CD＝OH•CD＝244×6＝24(0＜x＜8)；作FG⊥EC于G，则GC＝FD＝8﹣x，GF＝CD＝6，求出EG＝EC﹣GC＝2x﹣8，由勾股定理得 ，得出四边形CDFE周长l＝EF+EC+CD+FD＝．
【详解】
(1)证明：过点O作OH⊥CD于H，如图所示：
则CH＝DH，
∵EC⊥CD，FD⊥CD，OH⊥CD，
∴EC∥OH∥FD，
∵CH＝DH，
∴EO＝FO；
(2)解：∵OH⊥CD，，
∴，
∴，
∵EC∥OH，
∴∠ECO＝∠COH≠45°；
①当∠EOC＝45°时，过点E作EM⊥OC于M，
则△OEM是等腰直角三角形，
∴EM＝OM，
∵∠ECM＝∠COH，∠CME＝∠OHC＝90°，
∴△ECM∽△COH，
∴EM：CM＝CH：OH＝3：4．
在Rt△ECM中，设EM＝3m，CM＝4m．则OM＝3m， ，
∵CM+OM＝OC，
∴4m+3m＝5，
解得： ，
∴，
．
②当∠CEO＝45°时，过点O作ON⊥EC于N；．
在Rt△CON中，ON＝CH＝3，CN＝OH＝4．
在Rt△EON中，．
∴．
综上所述，线段EF的长等于或．
(3)解：四边形CDFE的面积S不随变量x的变化而变化，是一个不变量；
四边形CDFE的周长l随变量x的变化而变化．理由如下：
由①得：EO＝FO，CH＝DH，
∴OH是梯形EFDC的中位线，
∴EC+FD＝2OH＝8，
∴四边形CDFE面积为(是一个常值函数)；
作FG⊥EC于G，则GC＝FD＝8﹣x，GF＝CD＝6，
∴EG＝EC﹣GC＝x﹣(8﹣x)＝2x﹣8，
∴，
∴四边形CDFE周长
，
即．



【点睛】
本题是圆的综合题目，考查了垂径定理、勾股定理、平行线的性质、梯形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、梯形面积的计算，解题关键在于作辅助线和灵活运用各性质定义，本题综合性强，有一定难度．

题组C 培优拔尖练
1．如图，等腰△ABC中，AC=BC，⊙O为△ABC的外接圆，D为上一点，CE⊥AD于E，求证：AE=BD+DE．

【答案】证明详见解析．
【详解】
试题分析：如图，在AE上截取AF=BD，连接CF，由圆周角定理得，∠CBD=∠CAF，根据SAS可以利用已知条件证明△ACF≌△BCD⇒CF=CD，由于CE⊥AD，根据等腰三角形的性质：底边上的高与底边上的中线重合知，EF=DE，则AE=AF+EF=BD+DE．
试题解析：证明：如图，在AE上截取AF=BD，连接CF，CD；在△ACF和△BCD中，
，
∴△ACF≌△BCD，
∴CF=CD，
∵CE⊥AD于E，
∴EF=DE，
∴AE=AF+EF=BD+DE．

考点：圆周角定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
2．如图所示，AB是⊙O的直径，C为的中点，CD⊥AB于点D，交AE于点F，连接AC，求证：AF＝CF．

【答案】讲明见解析
【分析】
连接BC，可得∠ACB＝90°，再根据∠ACF+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，可得∠ACF＝∠B，因为C为的中点，可得，可得∠B＝∠CAE，∠ACF＝∠CAE，即可得出结论.
【详解】
证明：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
即∠ACF+∠BCD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACF＝∠B，
∵C为的中点，
∴，
∴∠B＝∠CAE，
∴∠ACF＝∠CAE，
∴AF＝CF．
【点睛】
本题考查圆周角相关的定理，在题中看到直径就可以想到，直径所对的圆周角是90°，题中有90°比较多的话，那么角之间的等量代换就可以用等角的余角相等，进行角之间的等量代换，虽然题中求证的是边相等，但是可以利用角相等进行转换.
3．如图，AB是⊙O的直径，弦BC长为，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AB和AD的长．


【答案】6；．
【解析】
试题分析：①首先根据圆周角定理的推论得到△ACB是直角三角形，再利用勾股定理求出AB的长；
②首先根据圆周角定理得出：∠ABD=∠ACD，∠BCD=∠BAD，再根据角平分线的性质得到：∠ACD=∠BCD=45°，即可得到∠DAB=∠DBA，进而得到AD=DB，再利用勾股定理求出AD的长．
试题解析：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵BC=，AC=2，
∴AB=；
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∵∠ABD=∠ACD，
∠BCD=∠BAD，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
∴AD=DB，
∵AD2+BD2=AB2，
∴AD=DB=．
考点：1．圆周角定理；2．勾股定理．
4．在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连结FG．
①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，则线段DG的长为 　 　；
②如图2，点E不与点A，B重合，GF延长线交BC边于点H，连接EH，则＝　 　．

【答案】①；②
【分析】
①过作于，先证明是等边三角形，求出长度，再证明，从而在中，求出，即得，在中，求出和，可得，中，即可得到；
②过作交于，过作交于，连接，作中点，连接，由，得、、、共圆，可得，从而可证，由、、、共圆可得，故，，可得，，在中，，中，，即可得到，进而可得结论．
【详解】
解：①过作于，如图：

线段绕点逆时针旋转得到线段，点与点重合，且的延长线过点，
，，
是等边三角形，
，，
等边，，，
，，，
，
，
，
，
中，，，
，
，
中，，
，
，
，
中，；
故答案为：；
②过作交于，过作交于，连接，作中点，连接，如图：

绕点逆时针旋转得到线段，
是等边三角形，
，，，
是等边三角形，
，
，
、、、共圆，
，
而是等边三角形，，
，即，
，
，
①，
，，
，，
，
、、、共圆，
，
，，
，
②，
而③，
由①②③得，
，
，中点，，
，
，
，
中，，
，
，即，
中，，
中，，
，
，
则．
故答案为：．
【点睛】
本题属于三角形综合题，是中考题的压轴题，考查等边三角形性质及应用，涉及旋转变换、含30度角的直角三角形、三角形全等的判定及性质、矩形的判定及性质等知识，难度较大，解题的关键是构造辅助线．
5．问题背景：如图①在四边形中，探究线段、、之间的数量关系．
小杨同学探究此问题的思路是：将绕点逆时针旋转到处点、分别落在点、处(如图②)，，易证点，、、在同一条直线上，并且是等腰直角三角形，所以，从而得出结论

简单应用：
(1)在图①中，直接利用小杨得出的结论，若，，则______．
(2)利用小杨同学探究图②问题提供的思路，解决③图中的问题．如图③，已知是的直径点、在上，求证：．
拓展延伸：
(3)如图④，，，是四边形的外接圆，若，，求的长(用含,的代数式表示)
【答案】(1)；(2)见解析；(3)CD=．
【分析】
(1)代入结论：AC+BC=CD，直接计算即可；
(2)连接BD、AD即可将问题转化为小杨同学的问题，利用题目所给出的证明思路即可证明；
(3)以AB为直径作⊙O，连接OD并延长交⊙O于点D1，由(2)问题可知：AC+BC=CD1；又因为CD1=D1D，所以利用勾股定理即可求出CD的长度．
【详解】
(1)解：∵∠ACB=90°，AB=25，AC=24，
∴BC=，
由小杨得出的结论，得CD=；
(2)∵，AB是⊙O的直径，
∴AD=BD，∠ADB=90°，
将△DAC绕点D，逆时针旋转90°到△DBE处，如图，

∴∠DBE=∠DAC，
∵∠DAC+∠DBC=180°，
∴∠DBE +∠DBC =180°，
∴E、B、C三点共线，
∴∠CBE为平角，
由旋转知，DE=DC，BE=AC，∠CDE=90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CE=CD，
∵CE=BE+BC=BC+AC，
∴AC+BC=CD；
(3)解：连接CO并延长交⊙O于点C1，
连接C1A，C1B，C1D，如图，

由(2)的证明过程可知：AD+BD=C1D，
∵AD=a，BD=b，
∴C1D=，
又∵C1C是⊙O的直径，
∴∠CDC1=90°，
∵AD=a，BD=b，
∴由勾股定理可求得：AB2=a2+b2，
∴C1C2=AB2=a2+b2，
∵C1D2+CD2=C1C2，
∴CD2= a2+b2-=，
∵b＜a，
∴CD=．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的判断和性质，圆周角定理，旋转的性质等知识点，解本题的关键是就利用得出的结论来进行解决问题．