上海市嘉定区第二中学2023届高三三模数学试题及答案

嘉定二中2022学年第二学期高三数学考试卷

一､填空题：（本大题共有12题，满分54分，其中第1题至第6题每题填对得4分，否则一律得零分；第7题至第12题每题填对得5分，否则一律得零分.）

1.设集合，则__________.

2.若复数是的一个根，则__________.

3.二项式的展开式中的系数等于__________.

4.一般的数学建模包含如下活动过程：①建立模型；②实际情境；③提出问题：④求解模型；⑤实际结果；⑥检验结果.请写出正确的序号顺序__________.

5.在中，已知，则角的大小为__________.

6.某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布.质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到，则需调整生产工艺，使得至多为__________.（若，则）

7.已知与垂直，，且与的夹角是钝角，则在方向上的投影为__________.

8.若关于的方程在上有实数解，则实数的取值范围是__________.

9.甲､乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和.若，则__________.

10.已知是等差数列，若，且它的前项和有最大值，则当__________时，取得最小正值.

11.若分别是抛物线与圆上的点，则的最小值为__________.

12.下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算.图中的都是以为圆心的圆弧，是为计算所做的矩形，其中分别在线段上，.记，给出四个关系式，其中成立的等式的序号有__________.

①

②；

③；

④.

二､选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13题第14题每题4分，第15题第16题每题5分）

13，下列关于统计概率知识的判断，正确的是（    ）

A.将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和，且已知，则总体方差

B.在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1

C.某医院住院的8位新冠患者的潜伏天数分别为，则该样本数据的第50百分位数为4

D.若，则事件相互独立

14.已知函数与它的导函数的定义域均为，则“在上严格增”是“在上严格增”的（    ）

A.充分非必要条件    B.必要非充分条件

C.充要条件    D.非充分非必要条件

15.已知双曲线的离心率为，点的坐标为，若上的任意一点都满足，则（    ）

A.    B.

C.    D.

16.已知函数，若满足（互不相等），则的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分.

如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面分别为棱的中点，.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分

已知数列的前项和为，对任意的正整数，点均在函数图像上.

（1）证明：数列是等比数列；

（2）问中是否存在不同的三项能构成等差数列？说明理由.

19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分7分，第2题满分7分

烧烤是某地的特色美食，今年春季一场始于烟火､归于真诚的邂逅，让无数人前往“赶烤”.当地某烧烤店推出150元的烧烤套餐，调研发现，烧烤店成本y（单位：千元，包含人工成本､原料成本､场地成本､设备损耗等各类成本）与每天卖出套餐数x（单位：份）的关系如下：

与可用回归方程（其中为常数）进行模拟.

参考数据与公式：设，则

线性回归直线中，.

（1）填写表格中的三个数据，并预测该烧烤店一天卖出100份的利润是多少元.（利润=售价-成本，结果精确到1元）

（2）据统计，由于烧烤的火爆，饮料需求也激增.4月份的连续16天中某品牌饮料每天为该地配送的箱数的频率分布直方图如图，用这16天的情况来估计相应的概率.供货商拟购置n辆小货车专门运输该品牌饮料，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该饮料，满载发车，否则不发车.若发车，则每辆车每趟可获利500元；若未发车，则每辆车每天平均亏损200元.若n=3或4，请从每天的利润期望角度给出你的建议.

20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分8分.

已知椭圆的左､右焦点分别为和的下顶点为，直线，点在上.

（1）若，线段的中点在轴上，求的坐标；

（2）若直线与轴交于，直线经过右焦点，在中有一个内角的余弦值为，求；

（3）在椭圆上存在一个点到的距离为，使，当变化时，求的最小值.

21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1题满分5分，第2题满分6分，第3题满分7分.

已知函数，其导函数为，

（1）若函数有三个零点，且，试比较与的大小.

（2）若，试判断在区间上是否存在极值点，并说明理由.

（3）在（1）的条件下，对任意的，总存在使得成立，求实数的最大值.

嘉定二中2022学年第二学期高三数学考试卷-答案

一､填空题：（本大题共有12题，满分54分，其中第1题至第6题每题填对得4分，否则一律得零分；第7题至第12题每题填对得5分，否则一律得零分.）

1.    2.    3.5    4.②③①④⑥⑤    5.    6.

7.    8.    9.    10.    11.    12.①③④

二､选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13题第14题每题4分，第15题第16题每题5分）

13.D    14.D    15.C    16.D

三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

17.解：（1）取的中点，连接，

因为是的中点，所以，且，

又因为底面是正方形，是的中点，

所以，且，

所以，且，所以四边形是平行四边形.所以.

由于平面平面，

所以平面.

（2）以点为坐标原点，分别为轴，如图建立空间直角坐标系，

则，，

，

设平面的法向量为，

则，即，令，则，

所以，

设直线与平面所成角为，

所以.

所以直线与平面所成角的正弦值为.

18.解：（1）

所以是首项为2，公比为2的等比数列，

（2）不存在.因为

反证法：因为，且从第二项起严格增，假设存在使得成等差数列，则，

左边偶数，右边偶数，故假设不成立.

19.解：（1）

根据题意，，

所以

所以，

又，所以，

所以时，（千元），

即卖出100份的成本为11764元，

故利润（元）.

（2）根据频率分布直方图，可知送货箱数的概率分布表为：

设该运输户购3辆车和购4辆车时每天的利润分别为元，

则的可能取值为，其分布列为：

故，

的可能取值为，其分布列为：

故，

即购置3辆小货车的利润更高，建议购买3辆车.

20.解：（1）由题意可得，

的中点在轴上，的纵坐标为，代入得.

（2）由直线方程可知，

①若，则，即，

.

②若，则，

，

.

即，

综上或.

（3）设，则，

显然椭圆在直线的左下方，则，

即，

，

据此可得，

整理可得，即1，

从而.即的最小值为.

21.解：（1），所以，

所以是方程的两根，由韦达定理得

所以

，所以.

（2），

，

①当时，根据零点存在定理可知，存在使得，且时，时，，所以在区间上存在极大值点

②当时，，根据零点存在定理可知，存在使得，

且时，时，，所以在区间上存在极小值点

（3）对任意的，总存在使得成立，

设的最大值为，则

即①，②，③，

由①+③得④，

由②得⑤，

④+⑤得，即，

当且仅当即时取等，所以的最大值为2.