江苏省扬州中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题及答案

江苏省扬州中学2022-2023学年度第二学期月考试题

 高一数学                      2023.05

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）

1．若复数(为虚数单位)，则（    ）

A．1 B．2 C． D．

2．设，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，，则

C．若，，则 D．若，，，则

3．在中，若，，，则此三角形解的情况是（    ）

A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定

4．设平面向量，满足，，，则在上投影向量的模为（    ）

A． B． C．3 D．6

5．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.即界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（    ）

A．16 B． C． D．21

6．已知，则（    ）

A．         B．           C．            D．

7．已知四边形中，，点在四边形的边上运动，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．-1

8．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.若恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9．下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（    ）

A．的虚部为                              B．在复平面内对应的点在第二象限

C．的共轭复数为                        D．若，则的最大值是

10．关于函数,下列说法正确的有（    ）

A．的最大值为，最小值为

B．的单调递增区间为

C．的最小正周期为

D．的对称中心为

11．如图，已知的内接四边形中，，，，下列说法正确的是（    ）

A．四边形的面积为 

B．该外接圆的半径为

C． 

D．过作交于点，则

12．如图1，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，沿AE､AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使得B､C､D三点重合于点S，得到四面体（如图2）.下列结论正确的是（    ）

A．平面平面SAF                       B．四面体的体积为

C．二面角正切值为               D．顶点S在底面AEF上的射影为的垂心

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为__________．

14．已知，则的值为__________．

15．已知函数，且关于的方程有且仅有一个实数根，则实数的取值范围是__________．

16．已知锐角的内角所对的边分别，．若是的平分线，交于点，且，则的最小值为________；若的外接圆的圆心是，半径是1，则的取值范围是__________．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17．已知复数，，，i为虚数单位．

(1)若是纯虚数，求实数m的值；

(2)若，求的值．

18．如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为

AC，的中点，，．

(1)求证：平面；

(2)求点D到平面ABE的距离．

19．在中，，，，为的三等分点（靠近点）．

(1)求的值；

(2)若点满足，求的最小值，并求此时实数的值．

20．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

(1)若，求C；

(2)求的取值范围.

21．如图所示，在平行四边形ABCD中，，，E为边AB的中点，将沿直线DE翻折为，若F为线段的中点．在翻折过程中，

(1)求证：平面；

(2)若二面角的大小为，求与面所成角的正弦值.

22．已知向量，，若函数 的最小正周期为.

(1)求的单调递增区间；

(2)若函数在有零点，求实数的取值范围.

5月考答案

1-5     DCBAD  

6.A【详解】因为，

所以，

所以，所以，

7.C【详解】

如图所示，因为，且，所以垂直且平分，则为等腰三角形，又，所以为等边三角形,则四边形关于直线对称，故点E在四边形上运动时，只需考虑点E在边上的运动情况即可，因为，，知，即，则，

①当点E在边上运动时，设，则，则,当时，最小值为；

②当点E在边上运动时，

设,则,则

，当时，的最小值为；综上，的最小值为；

8.C【详解】由可得，

结合,

可得，即，

由于在锐角中，，

故，则,

则,

又，所以恒成立，即恒成立，

即恒成立，

因为，故，令，

则函数在内单调递增，故，

即，故，

9.   CD  10.ABD  

11.BCD【详解】对于A，连接，在中，，，

由于，所以，故，解得，

所以，，所以，

故，

，

故四边形的面积为，故A错误；

对于B，设外接圆半径为，则，

故该外接圆的直径为，半径为，故B正确；

对于C，连接，过点O作OG⊥CD于点F，过点B作BE⊥CD于点E，则由垂径定理得：，

由于，所以，即，

解得，所以，所以，且，

所以，即在向量上的投影长为1，且与反向，

故，故C正确；

对于D，由C选项可知：，故，且，

因为，由对称性可知：DO为∠ADC的平分线，故，

由A选项可知：，显然为锐角，

故，，

所以

，

所以，故D正确.

12.BD  【详解】如图，作EF的中点M，连结AM、SM，过S作AM的垂线交AM于点O，连结SO，过O作AF的垂线交AF于点N，连结SN

由题知AE=AF=，所以AM，SE=SF=1，所以，

为平面SEF与平面AEF的二面角的平面角

又 平面ASM，平面ASM，SO，

作法知， ，平面AEF，

所以SO为锥体的高．所以O为S在平面AEF上的射影.

平面AEF，所以 ，由作法知，

平面SON，平面SON，

为平面SAF与平面AEF的二面角的平面角，显然为锐角，故A错．

由题知 ， ，

又AS＝２， ，SE＝１，

，四面体S−AEF的体积为 ，故B正确．

在直角三角形ASM中： 故C不正确．

因为 ， ，

所以 ，

，由对称性知 ，又AM故D正确．

13.     14.5  

15.【详解】作出的图象，如下图所示：

∵关于的方程有且仅有一个实数根，∴函数的图象与有且只有一个交点，

由图可知，则实数的取值范围是.

16.        .

【详解】(1)由是的平分线，得，又，

即，化简得，

，

当且仅当，即，时，取等号．

(2)，

=

，是锐角三角形，，

，．

17.（1），，

所以，因为是纯虚数，所以，得.

（2）由（1）知，，因为，所以，得，

所以，，所以.

18.（1）证明：∵，D，E分别为AC，的中点，

∴，且，又平面，∴平面，

又平面，∴，

又，且，平面，

∴平面．

（2）∵，，，∴，

∴，，．

在中，，，∴边上的高为．

∴．设点D到平面ABE的距离为d，

根据，得，解得，

所以点D到平面ABE的距离为．

19.【详解】（1）因为为的三等分点（靠近点），所以，

所以，

所以

.

（2）因为，所以，

因为，

所以

，

所以当时，取得最小值.

20.【详解】（1）由，

可得，则

整理得，解之得或

又，则，则，则

（2）A ，B为的内角，则

则由，可得，则均为锐角

又，则，

则，则

则

令，则

又在单调递增，，

可得，则的取值范围为，

则的取值范围为

21.（1）证明：取的中点，连接，

为线段的中点，，平面，平面，平面，又，，四边形为平行四边形，则平面，平面，可得平面，又，，平面，可得平面平面，平面，则面.

（2）取中点，中点，连接，，，由，，为边的中点，得，所以为等边三角形，从而，，又，为的中点所以，又是等边三角形，所以，所以为二面角的平面角，所以，过点作，过作交于，连接，是等边三角形，所以可求得，，所以，，，，，，所以，，又，，面，所以面，又，所以面，平面，所以面面，由，在中易求得，又,所以，，面面，面，所以面，所以为与平面所成的角，在中可求得，所以，与面所成角的正弦值为

22.（1）解：因为，，

，

因为且函数的最小正周期为，则，解得，

所以，，

由可得，

所以，函数的单调递增区间为.

（2）解：，

，

，

方程，

即方程，

因为，则，

设，

，，

原方程化为，整理，

方程等价于在在有解，设，

当时，方程为得，故；

当时，在上有解在上有解，

问题转化为求函数上的值域，

设，则，，，

设，任取、且，

则

，

当时，，，则，

当时，，，则，

所以，函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，的取值范围是，

在上有实数解或.