【全套精品专题】初中数学同步 9年级下册 第1课 反比例函数（教师版含解析）

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第1课 反比例函数

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课程标准
1. 理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．
2. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．
3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．
4. 会解决一次函数和反比例函数有关的问题．

知识精讲


知识点01 反比例函数的定义
一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.
要点诠释：
(1)在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是 ，函数的取值范围是.故函数图象与 无交点.
(2) ()可以写成 ()的形式，自变量的指数是 ，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数 这一条件.
(3) ()也可以写成 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式.
知识点02 确定反比例函数的关系式
确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道 或 ，即可求出的值，从而确定其解析式.
　　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
　 (1)设所求的反比例函数为： ()；
(2)把已知条件(自变量与函数的对应值)代入关系式，得到关于待定系数的方程；
(3)解方程求出待定系数的值；
(4)把求得的值代回所设的函数关系式 中.
知识点03 反比例函数的图象和性质

　　1、 反比例函数的图象特征：
反比例函数的图象是双曲线，它有 个分支，这两个分支分别位于第 象限或第 象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴.
要点诠释：
(1)若点()在反比例函数的图象上，则点( )也在此图象上，所以反比例函数的图象关于 对称；
(2)在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴．
2、画反比例函数的图象的基本步骤：
(1)列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对(或三对以上)互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；
(2)描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；
(3)连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；
(4)反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．
3、反比例函数的性质
(1)如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第 象限，在每个象限内，值随值的增大而 ；
　 (2)如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第 象限，在每个象限内，值随值的增大而 ；
要点诠释：
反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号.
知识点04 比例系数K的几何意义

过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为 .
过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为 .
要点诠释：
只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.

能力拓展


考法01 反比例函数定义
【典例1】当为何值时是反比例函数？

考法02 确定反比例函数解析式
【典例2】正比例函数y=2x与双曲线的一个交点坐标为A(2，m)．
(1)求出点A的坐标；
(2)求反比例函数关系式．


【即学即练1】
已知，与成正比例，与成反比例，且当＝1时，＝7；当＝2时，＝8．
(1) 与之间的函数关系式；
(2)自变量的取值范围；
(3)当＝4时，的值．
考法03 反比例函数的图象和性质
【典例3】正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，x的取值范围是(　　)

A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2

【即学即练2】
已知四个函数y=﹣x+1，y=2x﹣1，y=﹣，y=，其中y随x的增大而减小的有(　　)个．
A.4 B. 3 C. 2 D. 1

考法04 反比例函数综合

如图所示，反比例函数的图象与一次函数的图象交于M(2，)，N(－1，－4)两点.
(1)求反比例函数和一次函数的关系式；
(2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数值的的取值范围．


【即学即练3】如图所示，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点A(3，2)．

(1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式．
(2)根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？
(3)M()是反比例函数图象上的一动点，其中0＜＜3，过点M作直线MB ∥轴，交轴于点B；过点A作直线AC∥轴交轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．

分层提分


题组A 基础过关练
1. 在反比例函数的图象上有两点A，B，当时，有，则的取值范围是( )
A． B． C． D．

2. 如图所示的图象上的函数关系式只能是( ) ．
A. B. C. D.

3. 已知，点P()在反比例函数的图像上，则直线不经过的象限是( ).
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 在函数(为常数)的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是( ).
A．