2022-2023学年华东师大版数学九年级上册期末综合素质评价

期末综合素质评价

一、选择题(每题3分，共30分)

1．下列各式中，与是同类二次根式的是(　　)

A．     B．     C．     D．

2．如果2是方程x2－x＋c＝0的一个根，则常数c的值是(　　)

A．1      B．2      C．－1     D．－2

3．某随机事件A发生的概率P(A)的值不可能是(　　)

A．0.0 001    B．0.5     C．0.99     D．1

4．已知y＝＋＋x＋3，则的值为(　　)

A．3      B．9      C．±3     D．

5．受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势，某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升，设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是(　　)

A．6.2(1＋x)2＝8.9       B．8.9(1＋x)2＝6.2

C．6.2(1＋x2)＝8.9       D．6.2(1＋x)＋6.2(1＋x)2＝8.9

6．当1＜x＜4时，化简－的结果是(　　)

A．－3     B．3      C．2x－5     D．5

7．如图，平行于正多边形一边的直线，将正多边形分割成两部分，则阴影多边形与原正多边形相似的是(　　)

8．用一个2倍放大镜照菱形ABCD，下面说法中，错误的是(　　)

A．放大后，边长是原来的2倍    

B．放大后，∠B的大小是原来的2倍

C．放大后，周长是原来的2倍    

D．放大后，面积是原来的4倍

9．如图，直线l1∥l2∥l3，若AB＝2，BC＝3，DE＝1，则EF的长为(　　)

A．      B．

C．6      D．

10．如图，梯子(长度不变)跟地面所成的锐角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是(　　)

A．sin A的值越大，梯子越陡 

B．cos A的值越大，梯子越陡

C．tan A的值越小，梯子越陡 

D．陡缓程度与∠A的三角函数值无关

二、填空题(每题3分，共24分)

11．计算：·－3＝________．

12．在100张奖券中，其中5张有奖，某人从中任抽一张，则他中奖的概率是________．

13．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sin B＝________．

14．如图，河堤横断面的坡比是1∶，AC＝12 m，则坡面AB的长度是________m.

15．如果α、β是一元二次方程x2＋3x－2＝0的两个根，则α2＋4α＋β＋2 024的值是________．

16．大约在两千四五百年前，如图①，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图②所示的小孔成像实验中，若物距为10 cm，像距为15 cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6 cm，则蜡烛火焰的高度是________cm.

17．我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“等分线”，“等分线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“等分线段”(例如圆的直径就是圆的“等分线段”)．已知等边三角形的边长为4，则它的“等分线段”的长度x的取值范围是________．

18．如图，正方形ABCD中，E为BC的中点，CG⊥DE于点G，连结BG并延长交CD于点F，延长CG交BD于点H，交AB于点N.下列结论：①DE＝CN；②＝；③S△DEC＝3S△BNH；④∠BGN＝60°；⑤GN＋EG＝BG.其中正确结论的个数有________个．

三、解答题(20题12分，24题14分，其余每题10分，共66分)

19．(1)计算：＋－4cos 45°·sin 30°＋；

(2)先化简，再求值：÷，其中a＝－，b＝    ＋4.

20．解一元二次方程：(1)x2－2x＝0；

(2)x2＋4x－1＝0；

(3)(x－2)2－3(x－2)＝0.

21．如图，甲、乙两人玩游戏，他们准备了一个可以自由转动的转盘和一个不透明的袋子，转盘分成面积相等的3个扇形，并在每一个扇形内分别标上数－1，－2，－3；袋子中装有除数字以外其他均相同的三个乒乓球，球上标有数字1，2，3.游戏规则：转动转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字与随机从袋子中摸出乒乓球的数字之和为0时，甲获胜；其他情况乙获胜(如果指针恰好指在分界线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止)．

(1)用画树状图或列表法求甲获胜的概率；

(2)这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请说明理由．

22．如图，在正方形ABCD中，E是边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3DF，∠BEF＝90°.

(1)求证：△ABE∽△DEF；

(2)若AB＝6，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．

23．空中缆车是旅游时上、下山和进行空中参观的交通工具．如图，小明一家去某著名风景区旅游，准备先从山脚A走台阶步行到B，再换乘缆车到山顶C.从A到B的路线可看作是坡角为30°的斜坡，长度为1 200米；从B到C的缆车路线可看作是直线，其与水平线的夹角为45°，且缆车从B到C的平均速度为6米/秒，运行时间为10分钟，求山顶C到AD的距离(结果保留根号)．

24．请阅读下列材料，并完成相应的任务：

阿尔·花拉子米(约780～约850)，著名数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”．他利用正方形图形巧妙解出了一元二次方程x2＋2x－35＝0的一个正根．将边长为x的正方形和边长为1的正方形，外加两个长方形，长为x，宽为1，拼合在一起面积就是x2＋2x×1＋12，即        x2＋2x＋1，而由原方程x2＋2x－35＝0变形得x2＋2x＋1＝35＋1，即边长为      x＋1的正方形面积为36.所以(x＋1)2＝36，则x＝5.

任务：

(1)上述求解过程中所用的方法与下列哪种方法是一致的(　　)

A．直接开平方法     B．公式法

C．配方法       D．因式分解法

(2)所用的数学思想方法是(　　)

A．分类讨论思想     B．数形结合思想

C．建模思想      D．整体思想

(3)运用上述方法构造出符合方程x2＋6x－7＝0的一个正根的正方形(画出拼接的正方形并求出正根)．

答案

一、1．C

2．D　【点拨】∵2是方程x2－x＋c＝0的一个根，

∴22－2＋c＝0，∴c＝－2.

3．D　【点拨】随机事件A发生的概率P(A)的取值范围是0<P(A)<1.观察选项，只有选项D符合题意．

4．A　【点拨】∵y＝＋＋x＋3有意义，

∴ ∴x＝3，

∴y＝＋＋3＋3＝6，

∴＝＝3，

故选A.

5．A

6．C　【点拨】当1＜x＜4时，

－

＝|1－x|－|x－4|

＝ x－1＋(x－4)

＝x－1＋x－4

＝2x－5，

故选C.

7．A　【点拨】A．阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，符合题意；

B．阴影矩形与原正方形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；

C．阴影五边形与原正五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；

D．阴影六边形与原正六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意．

故选A.

8．B

9．B　【点拨】∵直线l1∥l2∥l3，∴＝.

∵AB＝2，BC＝3，DE＝1，∴＝，

∴EF＝，故选B.

10．A

二、11．2　12．　13．　14．24

15．2 023　【点拨】∵α、β是一元二次方程x2＋3x－2＝0的两个根，∴α2＋3α－2＝0，α＋β＝－3，

∴α2＋3α＝2，

∴α2＋4α＋β＋2 024＝α2＋3α＋＋2 024

＝2－3＋2 024

＝2 023.

16．4　【点拨】易知蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为x cm，则＝，x＝4，即蜡烛火焰的高度为4 cm.

17．2≤x≤2　【点拨】如图，当等分线段EF∥BC时，EF为最短的“等分线段”，

∴△AEF∽△ABC，

∴＝＝，即＝，

解得EF＝2.

如图，等边三角形的高AD是最长的“等分线段”，

则BD＝CD＝2，

∴AD＝＝2，

∴它的“等分线段”的长度x的取值范围是2≤x≤2.

18．3　【点拨】∵在正方形ABCD中，∠NBC＝∠ECD＝90°，BC＝CD，

∴∠NCB＋∠GCD＝90°.

∵CG⊥DE，

∴∠EDC＋∠GCD＝90°，

∴∠NCB＝∠EDC.

在△NBC和△ECD中，

∴△NBC≌△ECD，

∴DE＝CN，NB＝CE，则结论①正确．

∵E为BC的中点，BC＝CD，

∴BE＝CE＝BC＝CD，∴NB＝CD.

∵在正方形ABCD中，AB∥CD，

∴△NBH∽△CDH，

∴＝＝，则结论②正确．

如图①，过H点作IJ∥BC，分别交AB，CD于点I，J，则IJ＝BC＝CD，

由上已证：△NBH∽△CDH，

∴＝＝，即HI＝HJ，

∴HI＝IJ＝CD，

∴S△BNH＝BN·HI＝CE×CD＝×＝S△DEC，

即S△DEC＝3S△BNH，结论③正确．

如图②，过B作BP⊥CN于P，BQ⊥DE，交DE的延长线于Q，

∴∠BPC＝∠Q＝∠PGQ＝90°，

∴四边形PBQG是矩形，

∴∠PBQ＝90°.

∵∠ABC＝90°，

∴∠ABC－∠PBC＝∠PBQ－∠PBC，即∠NBP＝∠EBQ.

又∵BE＝CE，NB＝CE，

∴NB＝BE.

在△BPN和△BQE中，

∴△BPN≌△BQE，

∴BP＝BQ，

∴四边形PBQG是正方形，

∴∠BGN＝45°，则结论④错误．

如图③，连结NE，

设BN＝x(x>0)，则BE＝CE＝x，∴BC＝2x.

∵∠NBC＝90°，

∴CN＝＝x，EN＝＝x.

由△ECN的面积可得：CN·EG＝CE·BN，即x·EG＝x·x，解得EG＝x，

∴GN＝＝x，

∴GC＝CN－GN＝x.

∵AB∥CD，

∴△NGB∽△CGF，

∴＝＝＝＝，

∴FC＝BN＝x，BG＝FG，

∴BG＝BF.

在Rt△BCF中，BF＝＝x，

∴BG＝×x＝x，

∴＝＝，

即GN＋EG＝BG，结论⑤错误．

综上，正确结论的个数有3个．

三、19．解：(1)(1－)0＋－4cos45°·sin30°＋

＝1＋－4××＋4

＝1＋－＋4

＝5.

(2)原式＝[＋]· ＝·＝.

当a＝－，b＝＋4时，

原式＝＝ .

20．解：(1)x2－2x＝0，

∴x(x－2)＝0.

∴x1＝0，x2＝2.

(2)x2＋4x－1＝0，

移项，得x2＋4x＝1，

配方，得x2＋4x＋4＝1＋4，即(x＋2)2＝5，

∴x＋2＝±，

∴x1＝－2＋，x2＝－2－.

(3)(x－2)2－3(x－2)＝0，

∴(x－2)(x－2－3)＝0，

∴x－2＝0或x－5＝0，

∴x1＝2，x2＝5.

21．解：(1)方法一：列表如下：

由表可知：会产生9种结果，它们出现的机会相等，其中和为0的有3种结果．

∴P(甲获胜)＝＝.

方法二：画树状图如图．

由图可知：会产生9种结果，它们出现的机会相等，其中和为0的有3种结果．

∴P(甲获胜)＝＝.

(2)不公平．理由：

∵P(甲获胜)＝，P(乙获胜)＝＝，

∴P(甲获胜)≠P(乙获胜)，

∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平．

22．(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴∠A＝∠D＝90°.

又∵∠BEF＝90°，

∴∠ABE＋∠AEB＝∠AEB＋∠DEF＝90°，

∴∠ABE＝∠DEF，

∴△ABE∽△DEF.

(2)解：∵四边形ABCD为正方形，

∴AB＝AD＝CD＝6，AD∥BG.

∵CF＝3FD，

∴DF＝1.5.

设DE＝x，

∵△ABE∽△DEF，∴＝，

即＝，解得x1＝x2＝3，经检验，符合题意．∴DE＝3.

∵AD∥BG，

∴△CGF∽△DEF，

∴＝.

又∵CF＝3FD，∴＝，∴CG＝9，

∴BG＝BC＋CG＝15.

23．解：如图，过C点作CG⊥AD于G，过B点作BF⊥AD于F，BE⊥CG于E，则四边形BEGF是矩形．

在Rt△ABF中，∠A＝30°，

∴BF＝AB·sin30°＝1 200×＝600(米)，

∴EG＝BF＝600米．

由题意，可得BC＝6×10×60＝3 600(米)，

在Rt△CBE中，∠CBE＝45°，

∴CE＝CB·sin 45°＝3 600×＝1 800(米)，

∴CG＝EG＋CE＝600＋1 800＝600(1＋3)米，

即山顶C到AD的距离是600(1＋3)米．

24．解：(1)C

(2)B

(3)如图，将边长为x的正方形和边长为3的正方形，外加两个长方形，长为3，宽为x，拼合在一起面积就是x2＋2×3x＋3×3，即x2＋6x＋9，

而由原方程x2＋6x－7＝0变形得x2＋6x＋9＝16，

即边长为x＋3的正方形面积为16.

所以(x＋3)2＝16，则x＋3＝4，

所以x＝1.