湖南省永州市2021届中考试卷(样卷)数学试卷(含解析)

这是一份湖南省永州市2021届中考试卷(样卷)数学试卷(含解析)，共27页。

2021年湖南省永州市中考数学试卷
一、选择题〔本大题共10个小题，每题只有一个正确选项，请将正确选项填涂到答题卡上．每题4分，共40分〕
1．﹣2021的相反数为〔　　〕
A．2021 B．﹣2017 C．2021 D．﹣2021
2．以下图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是〔　　〕
A． B． C． D．
3．以下说法错误的选项是〔　　〕
A．“翻开电视，正在播放新闻节目〞是随机事件
B．为了解某种节能灯的使用寿命，选择全面调查
C．频数折线图能清楚的反映事物的变化情况，显示数据变化趋势
D．2021年我市有5.6万名初中毕业生参加升学考试，为了了解这5.6万名考生的数学成绩，从中抽取200名考生的数学成绩进展统计，在这个问题中样本是这200名考生的数学成绩
4．以下计算正确的选项是〔　　〕
A．×= B．x8÷x2=x4 C．〔2a〕3=6a3 D．〔〕﹣1=﹣
5．以下几何体中，有一个几何体的主视图与俯视图的形状不一样，这个几何体是〔　　〕
A．正方体 B．圆柱
C．圆椎 D．球
6．以下命题为真命题的是〔　　〕
A．两点之间线段最短
B．三角形的内心是这个三角形三边垂直平分线的交点
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．五边形的外角和为540度
7．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运发动最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：

甲
乙
丙
丁
平均数〔cm〕
185
180
185
180
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运发动参加比赛，应该选择〔　　〕
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．以下函数在每一个象限内y随x的增大而增大的是〔　　〕
A．y=﹣x+1 B．y=x2﹣1 C．y= D．y=2x
9．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，那么点P有〔　　〕

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．阳明山万寿寺前有11级台阶，小敏一步只能上1级台阶或2级台阶，那么：1级台阶只有1种走法：记为〔1〕；2级台阶有两种走法：记为〔1、1〕、〔2〕；3级台阶有3种走法：记为〔1、1、1〕、〔1、2〕、〔2、1〕；4级台阶有5种走法：记为〔1、1、1、1〕；〔1、1、2〕〔1、2、1〕；〔2、1、1〕；〔2、2〕，小敏发现当台阶数分别为1级、2级、3级、4级、5级、6级、…逐渐增加时，上台阶的不同方法的种数依次为1、2、3、5、8、13、…这就是著名的斐波那契数列．那么小敏上这11级台阶共有〔　　〕种不同走法．
A．34 B．89 C．144 D．233
　
二、填空题〔本大题共8个小题，请将答案填在答题卡的答案栏内，每题4分，共32分〕
11．2021年国家历史文化名城“零陵古城〞拟投入170亿元开展全域旅游．请将17000000000用科学记数法表示为　　．
12．在、﹣、π、四个数中，最大的数是　　．
13．今年“五一〞期间，小华和他爸爸两人决定去永州的“国家AAAA级旅游景区〞旅游，小华的理想景点为祁阳县浯溪碑林景区和双牌阳明山国家森林公园，爸爸的理想景点为宁远九嶷山舜帝陵，他们把三个景点写在三张一样的卡片上，采用抽签的方法来确定一个旅游景点，那么，抽到小华的理想景点的概率为　　．
14．关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，那么a的值是　　．
15．使函数y=有意义的自变量x的取值范围是　　．
16．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，那么∠BAE=　　．

17．如图，圆锥的底面⊙O的直径BC=6，高OA=4，那么该圆锥的侧面展开图的面积为　　．

18．如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M〔0，﹣4〕，N〔0，﹣10〕，函数y=〔x＜0〕的图象过点P，那么k=　　．

　
三、解答题〔本大题共8个小题，共78分，解答题要求写出证明步骤或解答过程〕
19．〔8分〕计算：|﹣2|﹣sin45°+〔π﹣3〕0．
20．〔8分〕先化简，再求值：÷，其中x=﹣2．
21．〔8分〕为确保学生上学平安，某校打算采购一批校车．为此，学校在全校300名走读学生中对购置校车的态度进展了一次抽样调查，并根据抽样调查情况绘制了如下统计图．
被调查的学生对购置校车有四种态度：
A．非常希望，决定以后就坐校车上学
B．希望，以后也可能坐校车上学
C．随便，反正不会坐校车上学
D．反对，因家离学校近不会坐校车上学
〔1〕由图①知A所占的百分比为　　，本次抽样调查共调查了　　名走读学生，并完成图②；
〔2〕请你估计该校走读学生中至少会有多少名学生非常希望乘坐校车上学〔即A态度的学生人数〕．

22．〔10分〕如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
〔1〕求证：BE=CD；
〔2〕连接BF，假设BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．

23．〔10分〕某中学为到达校园足球特色学校的要求，准备一次性购置一批训练用足球和比赛用足球．假设购置3个训练用足球和2个比赛用足球共需500元，购置2个训练用足球和3个比赛用足球共需600元．
〔1〕购置1个训练用足球和1个比赛用足球各需多少元？
〔2〕某中学实际需要一次性购置训练用足球和比赛用足球共96个，要求购置训练用足球和比赛用足球的总费用不超过6000元，问这所中学最多可以购置多少个比赛用足球？
24．〔10分〕如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．
〔1〕求证：AC∥DE；
〔2〕连接CD，假设OA=AE=a，写出求四边形ACDE面积的思路．

25．〔12分〕如下图，二次函数y=ax2+bx﹣1〔a≠0〕的图象过点A〔2，0〕和B〔4，3〕，l为过点〔0，﹣2〕且与x轴平行的直线，P〔m，n〕是该二次函数图象上的任意一点，过P作PH⊥l，H为垂足．
〔1〕求二次函数y=ax2+bx﹣1〔a≠0〕的解析式；
〔2〕请直接写出使y＜0的对应的x的取值范围；
〔3〕对应当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|2和|PH|2的值．由此观察其规律，并猜测一个结论，证明对于任意实数m，此结论成立；
〔4〕试问是否存在实数m可使△POH为正三角形？假设存在，求出m的值；假设不存在，请说明理由．

26．〔12分〕某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点〔点D不与B，C重合〕，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．
〔1〕观察猜测
如图①，当点D在线段BC上时．
①BC与CF的位置关系为：　　；
②BC，CD，CF之间的数量关系为：　　；〔将结论直接写在横线上〕
〔2〕数学思考
如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？假设成立，请给予证明；假设不成立，请你写出正确结论再给予证明；
〔3〕拓展延伸
如图③，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．假设AB=2，CD=BC，请求出GE的长．

　

2021年湖南省永州市中考数学试卷〔样卷〕
参考答案与试题解析
　
一、选择题〔本大题共10个小题，每题只有一个正确选项，请将正确选项填涂到答题卡上．每题4分，共40分〕
1．﹣2021的相反数为〔　　〕
A．2021 B．﹣2017 C．2021 D．﹣2021
【考点】14：相反数．
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣〞号，求解即可．
【解答】解：﹣2021的相反数为2021，
应选：A．
【点评】此题考察了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
　
2．以下图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是〔　　〕
A． B． C． D．
【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义可直接得到答案．
【解答】解：A、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；
C、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误；
D、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误；
应选：B．
【点评】此题主要考察了中心对称图形与轴对称图形的概念：
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两局部沿对称轴折叠后可重合；
中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
　
3．以下说法错误的选项是〔　　〕
A．“翻开电视，正在播放新闻节目〞是随机事件
B．为了解某种节能灯的使用寿命，选择全面调查
C．频数折线图能清楚的反映事物的变化情况，显示数据变化趋势
D．2021年我市有5.6万名初中毕业生参加升学考试，为了了解这5.6万名考生的数学成绩，从中抽取200名考生的数学成绩进展统计，在这个问题中样本是这200名考生的数学成绩
【考点】X1：随机事件；V2：全面调查与抽样调查；V3：总体、个体、样本、样本容量；V9：频数〔率〕分布折线图．
【分析】根据随机事件的定义，样本的意义，必然事件的定义，调查方式的选择即可进展判断．
【解答】解：A、翻开电视，正在播放新闻节目〞是随机事件，正确；
B、为了解某种节能灯的使用寿命，选择抽样调查，错误；
C、频数折线图能清楚的反映事物的变化情况，显示数据变化趋势，正确；
D、2021年我市有5.6万名初中毕业生参加升学考试，为了了解这5.6万名考生的数学成绩，从中抽取200名考生的数学成绩进展统计，在这个问题中样本是这200名考生的数学成绩正确，
应选B．
【点评】此题考察了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
　
4．以下计算正确的选项是〔　　〕
A．×= B．x8÷x2=x4 C．〔2a〕3=6a3 D．〔〕﹣1=﹣
【考点】48：同底数幂的除法；22：算术平方根；47：幂的乘方与积的乘方；6F：负整数指数幂．
【分析】利用同底数幂的除法运算法那么结合积的乘方运算法那么、二次根式乘法运算法那么分别化简求出答案．
【解答】解：A、×=，故此选项正确；
B、x8÷x2=x6，故此选项错误；
C、〔2a〕3=8a3，故此选项错误；
D、〔〕﹣1=2，故此选项错误．
应选：A．
【点评】此题主要考察了同底数幂的除法运算、积的乘方运算、二次根式乘法运算等知识，正确掌握运算法那么是解题关键．
　
5．以下几何体中，有一个几何体的主视图与俯视图的形状不一样，这个几何体是〔　　〕
A．
正方体 B．
圆柱 C．
圆椎 D．
球
【考点】U1：简单几何体的三视图．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：A、主视图、俯视图都是正方形，故A不符合题意；
B、主视图、俯视图都是矩形，故B不符合题意；
C、主视图是三角形、俯视图是圆形，故C符合题意；
D、主视图、俯视图都是圆，故D不符合题意；
应选：C．
【点评】此题考察了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图．
　
6．以下命题为真命题的是〔　　〕
A．两点之间线段最短
B．三角形的内心是这个三角形三边垂直平分线的交点
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．五边形的外角和为540度
【考点】O1：命题与定理．
【分析】根据线段的性质对A进展判断；根据三角形的内心判定方法对B进展判断；根据菱形的判定方法对C进展判断；根据五边形的外角和对D进展判断．
【解答】解：A、两点之间线段最短，所以A选项为真命题；
B、三角形的内心是这个三角形角平分线的交点，所以B选项为假命题；
C、对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，所以C选项为假命题；
D、五边形的外角和为360度，所以D选项为假命题．
应选A．
【点评】此题考察了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两局部组成，题设是事项，结论是由事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…〞形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
　
7．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运发动最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：

甲
乙
丙
丁
平均数〔cm〕
185
180
185
180
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运发动参加比赛，应该选择〔　　〕
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【考点】W7：方差；W1：算术平均数．
【分析】首先比拟平均数，平均数一样时选择方差较小的运发动参加．
【解答】解：∵ =＞=，
∴从甲和丙中选择一人参加比赛，
∵=＜＜，
∴选择甲参赛，
应选：A．
【点评】此题考察了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题关键．
　
8．以下函数在每一个象限内y随x的增大而增大的是〔　　〕
A．y=﹣x+1 B．y=x2﹣1 C．y= D．y=2x
【考点】G4：反比例函数的性质；F5：一次函数的性质；H3：二次函数的性质．
【分析】利用反比例函数的性质、一次函数的性质及二次函数的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、一次函数y=﹣x+1中k=﹣1＜0，y随着x的增大而减小，不符合题意；
B、二次函数y=x2﹣1的对称轴为x=0，开口向上，当x＞0时y随着x的增大而增大，不符合题意；
C、反比例函数中k=1＞0，在每一象限内y随着x的增大而减小，不符合题意；
D、y=2x中k=2＞0，y随着x的增大而增大，符合题意，
应选D．
【点评】此题考察了反比例函数的性质、一次函数的性质及二次函数的性质，了解各自的性质是解答此题的关键，难度不大．
　
9．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，那么点P有〔　　〕

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】KB：全等三角形的判定．
【分析】根据全等三角形的判定得出点P的位置即可．
【解答】解：要使△ABP与△ABC全等，点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离，即3个单位长度，故点P的位置可以是P1，P3，P4三个，
应选C
【点评】此题考察全等三角形的判定，关键是利用全等三角形的判定进展判定点P的位置．
　
10．阳明山万寿寺前有11级台阶，小敏一步只能上1级台阶或2级台阶，那么：1级台阶只有1种走法：记为〔1〕；2级台阶有两种走法：记为〔1、1〕、〔2〕；3级台阶有3种走法：记为〔1、1、1〕、〔1、2〕、〔2、1〕；4级台阶有5种走法：记为〔1、1、1、1〕；〔1、1、2〕〔1、2、1〕；〔2、1、1〕；〔2、2〕，小敏发现当台阶数分别为1级、2级、3级、4级、5级、6级、…逐渐增加时，上台阶的不同方法的种数依次为1、2、3、5、8、13、…这就是著名的斐波那契数列．那么小敏上这11级台阶共有〔　　〕种不同走法．
A．34 B．89 C．144 D．233
【考点】37：规律型：数字的变化类．
【分析】根据斐波那契数列的特点：数列从第三项开场，每一项都等于前两项之和，据此可得答案．
【解答】解：根据题意知第7级的走法由8+13=21种，
第8级的走法由13+21=34种，
第9级的走法由34+21=55种，
第10级的走法由55+34=89种，
第11级的走法由89+55=144种，
应选：C．
【点评】此题主要考察数字的变化类，根据数列得出：从第三项开场，每一项都等于前两项之和是解题的关键．
　
二、填空题〔本大题共8个小题，请将答案填在答题卡的答案栏内，每题4分，共32分〕
11．2021年国家历史文化名城“零陵古城〞拟投入170亿元开展全域旅游．请将17000000000用科学记数法表示为　1.7×1010　．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数一样．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：17000000000=1.7×1010，
故答案为：1.7×1010．
【点评】此题考察科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
　
12．在、﹣、π、四个数中，最大的数是　π　．
【考点】2A：实数大小比拟．
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解： =3，π≈3.14，≈0.33，
∵3.14＞3＞0.33＞﹣，
∴π＞＞＞﹣，
∴在、﹣、π、四个数中，最大的数是π．
故答案为：π．
【点评】此题主要考察了实数大小比拟的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
　
13．今年“五一〞期间，小华和他爸爸两人决定去永州的“国家AAAA级旅游景区〞旅游，小华的理想景点为祁阳县浯溪碑林景区和双牌阳明山国家森林公园，爸爸的理想景点为宁远九嶷山舜帝陵，他们把三个景点写在三张一样的卡片上，采用抽签的方法来确定一个旅游景点，那么，抽到小华的理想景点的概率为　　．
【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】直接利用概率公式计算．
【解答】解：抽到小华的理想景点的概率=．
故答案为．
【点评】此题考察了概率公式：理解概率公式．
　
14．关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，那么a的值是　﹣1　．
【考点】AA：根的判别式．
【分析】根据判别式的意义得到△=22﹣4×〔﹣a〕=0，然后解一次方程即可．
【解答】解：根据题意得△=22﹣4×〔﹣a〕=0，
解得a=﹣1．
故答案为﹣1．
【点评】此题考察了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
　
15．使函数y=有意义的自变量x的取值范围是　x＞1　．
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣1＞0，
解得x＞1．
故答案为：x＞1．
【点评】此题考察了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
〔1〕当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
〔2〕当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
〔3〕当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
　
16．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，那么∠BAE=　40°　．

【考点】KH：等腰三角形的性质；KG：线段垂直平分线的性质．
【分析】首先利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质∠B，利用线段垂直平分线的性质易得AE=BE，∠BAE=∠B．
【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C=〔180°﹣100°〕÷2=40°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠B=40°，
故答案为40°．
【点评】此题主要考察了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等和等边对等角是解答此题的关键．
　
17．如图，圆锥的底面⊙O的直径BC=6，高OA=4，那么该圆锥的侧面展开图的面积为　15π　．

【考点】MP：圆锥的计算．
【分析】根据和勾股定理求出AB的长，根据扇形面积公式求出侧面展开图的面积．
【解答】解：∵OB=BC=3，OA=4，
由勾股定理，AB=5，
侧面展开图的面积为：×6π×5=15π．
故答案为：15π．
【点评】此题考察的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图是扇形，掌握扇形的面积的计算公式是解题的关键．
　
18．如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M〔0，﹣4〕，N〔0，﹣10〕，函数y=〔x＜0〕的图象过点P，那么k=　28　．

【考点】M2：垂径定理；G7：待定系数法求反比例函数解析式．
【分析】先设y=再根据k的几何意义求出k值即可．
【解答】解：连接PM，作PQ⊥MN，
根据勾股定理可求出PQ=4，
根据圆中的垂径定理可知点OQ=|﹣4﹣3|=7，
所以点P的坐标为〔﹣4，﹣7〕，
那么k=28．

【点评】主要考察了圆中有关性质和反比例函数系数k的几何意义．反比例函数系数k的几何意义为：反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值k，同时|k|也是该点到两坐标轴的垂线段与两坐标轴围成的矩形面积．此题综合性强，考察知识面广，能较全面考察学生综合应用知识的能力．
　
三、解答题〔本大题共8个小题，共78分，解答题要求写出证明步骤或解答过程〕
19．计算：|﹣2|﹣sin45°+〔π﹣3〕0．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简，进而求出答案．
【解答】解：原式=2﹣×+1
=1．
【点评】此题主要考察了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
　
20．先化简，再求值：÷，其中x=﹣2．
【考点】6D：分式的化简求值．
【分析】首先化简÷，然后把x=﹣2代入化简后的算式，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：÷
=•
=
当x=﹣2时，
原式==2
【点评】此题主要考察了分式的化简求值问题，要熟练掌握，化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤．
　
21．为确保学生上学平安，某校打算采购一批校车．为此，学校在全校300名走读学生中对购置校车的态度进展了一次抽样调查，并根据抽样调查情况绘制了如下统计图．
被调查的学生对购置校车有四种态度：
A．非常希望，决定以后就坐校车上学
B．希望，以后也可能坐校车上学
C．随便，反正不会坐校车上学
D．反对，因家离学校近不会坐校车上学
〔1〕由图①知A所占的百分比为　40%　，本次抽样调查共调查了　50　名走读学生，并完成图②；
〔2〕请你估计该校走读学生中至少会有多少名学生非常希望乘坐校车上学〔即A态度的学生人数〕．

【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图．
【分析】〔1〕根据扇形统计图中的数据可以求得图①知A所占的百分比，再结合条形统计图，从而可以求得本次抽样调查的学生和B态度的学生，从而可以将条形统计图补充完整；
〔2〕根据统计图中的数据可以估计该校走读学生中至少会有多少名学生非常希望乘坐校车上学．
【解答】解：〔1〕由题意可得，
图①知A所占的百分比为：1﹣30%﹣20%﹣10%=40%，
本次抽样调查的学生有：20÷40%=50〔人〕，
B态度的学生有：50×30%=15〔人〕，
故答案为：40%，50，补全的图②如右图所示；
〔2〕由题意可得，
300×40%=120，
即该校走读学生中至少会有120名学生非常希望乘坐校车上学．

【点评】此题考察条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答此题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
　
22．〔10分〕〔2021•永州〕如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
〔1〕求证：BE=CD；
〔2〕连接BF，假设BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．

【考点】L5：平行四边形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】〔1〕由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠BEA，即可得出AB=BE；
〔2〕先证明△ABE是等边三角形，得出AE=AB=4，AF=EF=2，由勾股定理求出BF，由AAS证明△ADF≌△ECF，得出△ADF的面积=△ECF的面积，因此平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE•BF，即可得出结果．
【解答】〔1〕证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，
∴∠AEB=∠DAE，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴BE=CD；
〔2〕解：∵AB=BE，∠BEA=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=4，
∵BF⊥AE，
∴AF=EF=2，
∴BF===2，
∵AD∥BC，
∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF〔AAS〕，
∴△ADF的面积=△ECF的面积，
∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE•BF=×4×2=4．
【点评】此题考察了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题〔2〕的关键．
　
23．〔10分〕〔2021•永州模拟〕某中学为到达校园足球特色学校的要求，准备一次性购置一批训练用足球和比赛用足球．假设购置3个训练用足球和2个比赛用足球共需500元，购置2个训练用足球和3个比赛用足球共需600元．
〔1〕购置1个训练用足球和1个比赛用足球各需多少元？
〔2〕某中学实际需要一次性购置训练用足球和比赛用足球共96个，要求购置训练用足球和比赛用足球的总费用不超过6000元，问这所中学最多可以购置多少个比赛用足球？
【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用．
【分析】〔1〕设一个足球、一个篮球分别为x、y元，根据：①1个足球费用+2个篮球费用=210元，②2个足球费用+6个篮球费用=580元，据此列方程组求解即可；
〔2〕设可买训练用足球m个，那么比赛用足球〔96﹣m〕个，根据购置训练用足球和比赛用足球的总费用不超过6000元建立不等式求出其解即可．
【解答】解：〔1〕设一个训练用足球x元、一个比赛用足球为y元，根据题意得
，
解得：，
答：一个训练用足球60元、一个比赛用足球为160元；

〔2〕设可买训练用足球m个，那么比赛用足球〔96﹣m〕个，根据题意得：
60m+160〔96﹣m〕≤6000，
解得：m≤93.6，
∵m为整数，
∴m最大取93．
那么96﹣m=3．
答：这所中学最多可以购置3个比赛用足球．
【点评】此题考察了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，解答此题时找到建立方程的等量关系和建立不等式的不等关系是解答此题的关键．
　
24．〔10分〕〔2021•北京〕如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．
〔1〕求证：AC∥DE；
〔2〕连接CD，假设OA=AE=a，写出求四边形ACDE面积的思路．

【考点】MC：切线的性质．
【分析】〔1〕欲证明AC∥DE，只要证明AC⊥OD，ED⊥OD即可．
〔2〕作DM⊥OA于M，连接CD，CO，AD，首先证明四边形ACDE是平行四边形，根据S平行四边形ACDE=AE•DM，只要求出DM即可．
【解答】〔1〕证明：∵ED与⊙O相切于D，
∴OD⊥DE，
∵F为弦AC中点，
∴OD⊥AC，
∴AC∥DE．
〔2〕解：作DM⊥OA于M，连接CD，CO，AD．
首先证明四边形ACDE是平行四边形，根据S平行四边形ACDE=AE•DM，只要求出DM即可．〔方法二：证明△ADE的面积等于四边形ACDE的面积的一半〕
∵AC∥DE，AE=AO，
∴OF=DF，
∵AF⊥DO，
∴AD=AO，
∴AD=AO=OD，
∴△ADO是等边三角形，同理△CDO也是等边三角形，
∴∠CDO=∠DOA=60°，AE=CD=AD=AO=DO=a，
∴AO∥CD，又AE=CD，
∴四边形ACDE是平行四边形，易知DM=a，
∴平行四边形ACDE面积=a2．

【点评】此题考察切线的性质、平行四边形的性质、垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．
　
25．〔12分〕〔2021•永州〕如下图，二次函数y=ax2+bx﹣1〔a≠0〕的图象过点A〔2，0〕和B〔4，3〕，l为过点〔0，﹣2〕且与x轴平行的直线，P〔m，n〕是该二次函数图象上的任意一点，过P作PH⊥l，H为垂足．
〔1〕求二次函数y=ax2+bx﹣1〔a≠0〕的解析式；
〔2〕请直接写出使y＜0的对应的x的取值范围；
〔3〕对应当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|2和|PH|2的值．由此观察其规律，并猜测一个结论，证明对于任意实数m，此结论成立；
〔4〕试问是否存在实数m可使△POH为正三角形？假设存在，求出m的值；假设不存在，请说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】〔1〕根据二次函数y=ax2+bx﹣1〔a≠0〕的图象过点A〔2，0〕和B〔4，3〕，待定系数法求出a和b的值，抛物线的解析式即可求出；
〔2〕令y=ax2+bx﹣1=0，解出x的值，进而求出使y＜0的对应的x的取值范围；
〔3〕分别求出当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|2和|PH|2的值．然后观察其规律，再进展证明；
〔4〕由〔3〕知OP=PH，只要OH=OP成立，△POH为正三角形，求出|OP|、|OH|含有m和n的表达式，令两式相等，求出m和n的值．
【解答】解：〔1〕∵二次函数y=ax2+bx﹣1〔a≠0〕的图象过点A〔2，0〕和B〔4，3〕，
∴，
解得a=，b=0，
∴二次函数的解析式为y=x2﹣1；

〔2〕令y=x2﹣1=0，
解得x=﹣2或x=2，
由图象可知当﹣2＜x＜2时y＜0；

〔3〕当m=0时，|PO|2=1，|PH|2=1；
当m=2时，P点的坐标为〔2，0〕，|PO|2=4，|PH|2=4，
当m=4时，P点的坐标为〔4，3〕，|PO|2=25，|PH|2=25，
由此发现|PO|2=|PH|2，
设P点坐标为〔m，n〕，即n=m2﹣1
|OP|=，
|PH|2=n2+4n+4=n2+m2，
故对于任意实数m，|PO|2=|PH|2；

〔4〕由〔3〕知OP=PH，只要OH=OP成立，△POH为正三角形，
设P点坐标为〔m，n〕，|OP|=，
|OH|=，
|OP|=|OH|，即n2=4，解得n=±2，
当n=﹣2时，n=m2﹣1不符合条件，
故n=2，m=±2时可使△POH为正三角形．

【点评】此题主要考察二次函数的综合题，解答此题的关键是熟练掌握二次函数的图形特征和性质，特别是〔3〕问的解答很关键，是解答〔4〕问的垫脚石，此题难度一般．
　
26．〔12分〕〔2021•永州模拟〕某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点〔点D不与B，C重合〕，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．
〔1〕观察猜测
如图①，当点D在线段BC上时．
①BC与CF的位置关系为：　垂直　；
②BC，CD，CF之间的数量关系为：　BC=CF+CD　；〔将结论直接写在横线上〕
〔2〕数学思考
如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？假设成立，请给予证明；假设不成立，请你写出正确结论再给予证明；
〔3〕拓展延伸
如图③，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．假设AB=2，CD=BC，请求出GE的长．

【考点】LO：四边形综合题．
【分析】〔1〕①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；②由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根据余角的性质即可得到结论；
〔2〕根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论．
〔3〕根据等腰直角三角形的性质得到BC=AB=4，AH=BC=2，求得DH=3，根据正方形的性质得到AD=DE，∠ADE=90°，根据矩形的性质得到NE=CM，EM=CN，由角的性质得到∠ADH=∠DEM，根据全等三角形的性质得到EM=DH=3，DM=AH=2，等量代换得到CN=EM=3，EN=CM=3，根据等腰直角三角形的性质得到CG=BC=4，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：〔1〕①正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB与△FAC中，，
∴△DAB≌△FAC〔SAS〕，
∴∠B=∠ACF，
∴∠ACB+∠ACF=90°，即BC⊥CF；
故答案为：垂直；
②△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，
∵BC=BD+CD，
∴BC=CF+CD；
故答案为：BC=CF+CD；

〔2〕CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC．
∵正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB与△FAC中，，
∴△DAB≌△FAC〔SAS〕，
∴∠ABD=∠ACF，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°．
∴∠ABD=180°﹣45°=135°，
∴∠BCF=∠ACF﹣∠ACB=135°﹣45°=90°，
∴CF⊥BC．
∵CD=DB+BC，DB=CF，
∴CD=CF+BC．

〔3〕解：过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴BC=AB=4，AH=BC=2，
∴CD=BC=1，CH=BC=2，
∴DH=3，
由〔2〕证得BC⊥CF，CF=BD=5，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=DE，∠ADE=90°，
∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，
∴四边形CMEN是矩形，
∴NE=CM，EM=CN，
∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°，
∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°，
∴∠ADH=∠DEM，
在△ADH与△DEM中，，
∴△ADH≌△DEM〔AAS〕，
∴EM=DH=3，DM=AH=2，
∴CN=EM=3，EN=CM=3，
∵∠ABC=45°，
∴∠BGC=45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴CG=BC=4，
∴GN=1，
∴EG==．

【点评】此题考察了四边形综合题，需要掌握全等三角形的判定和性质，正方形的性质，余角的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．