第28讲 统计与概率（讲义）（教师版含解析）中考数学一轮复习讲义+训练

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中考数学一轮复习专题讲义+强化训练(全国通用)
第二十八讲 统计与概率
必备知识点 2
考点一 调查方式 4
考点二 总体、个体、样本和样本容量 4
考点三 统计图的选择 5
考点四 平均数、中位数和众数、极差、方差 7
考点五 概率 9
考点五 概率与统计综合 11















知识导航


必备知识点
一、全面调查与抽样调查
1．有关概念
1)全面调查：为一特定目的而对所有考察对象进行的全面调查叫做全面调查．
2)抽样调查：为一特定目的而对部分考察对象进行的调查叫做抽样调查．
2．调查的选取：当受客观条件限制，无法对所有个体进行全面调查时，往往采用抽样调查．
3．抽样调查样本的选取：1)抽样调查的样本要有代表性；2)抽样调查的样本数目要足够大．
二、总体、个体、样本及样本容量
总体：所要考察对象的全体叫做总体． 个体：总体中的每一个考察对象叫做个体．
样本：从总体中抽取的部分个体叫做样本．样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量．
三、几种常见的统计图表
1．条形统计图：条形统计图就是用长方形的高来表示数据的图形．
特点：(1)能够显示每组中的具体数据；(2)易于比较数据之间的差别．
2．折线统计图：用几条线段连成的折线来表示数据的图形．
特点：易于显示数据的变化趋势．
3．扇形统计图：用一个圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分在总体中所占百分比的大小，这样的统计图叫扇形统计图．
百分比的意义：在扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对扇形的圆心角的度数与360°的比．
扇形的圆心角=360°×百分比．
4．频数分布直方图
1)每个对象出现的次数叫频数．2)每个对象出现的次数与总次数的比(或者百分比)叫频率，频数和频率都能够反映每个对象出现的频繁程度．
3)频数分布表、频数分布直方图和频数折线图都能直观、清楚地反映数据在各个小范围内的分布情况．
4)频数分布直方图的绘制步骤：①计算最大值与最小值的差；②决定组距与组数；③确定分点，常使分点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减小一点；④列频数分布表；⑤画频数分布直方图：用横轴表示各分段数据，纵轴反映各分段数据的频数，小长方形的高表示频数，绘制频数分布直方图．
四、平均数
1)平均数：一般地，如果有n个数，，…，，那么，叫做这n个数的平均数，读作“x拔”．
2)加权平均数：如果n个数中，出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次(这里)，那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中f1，f2，…，fk叫做权．
五、众数、中位数
1．众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．
2．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．
六、方差
在一组数据，，…，中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．通常用“”表示，即．













考点一 调查方式

1．下列调查中，最适合用全面调查(普查)的是(　　)
A．了解某品牌电脑的使用寿命
B．了解全国中小学生的视力情况
C．调查陕西卫视的收视率
D．检测我国研制的C919大飞机的零部件的质量
2．下列调查中，适合采用抽样调查的是(　　)
A．了解全班学生的身高
B．检测“天舟三号”各零部件的质量情况
C．对乘坐高铁的乘客进行安检
D．调查某品牌电视机的使用寿命
3．在下列调查中，适宜采用普查的是(　　)
A．了解我校七(1)班学生校服的尺码情况
B．检测一批电灯泡的使用寿命
C．了解全国中学生的视力情况
D．调查达州新闻《全搜索》栏目的收视率
4．为完成下列任务，采用抽样调查较合适的是(　　)
A．对乘坐飞机的乘客进行安全检查
B．了解七年级(1)班全体学生的身高
C．了解小明同学某周每天参加体育运动的时间
D．调查一批灯泡的使用寿命


考点二 总体、个体、样本和样本容量

5．随着中国经济的高速发展，人们的生活水平发生了巨大改变，目前大部分中小学生的营养问题已经从以前的营养不良变成营养过剩．某中学从该校的4000名学生中随机抽取了400名学生进行体重调查，下列说法错误的是(　　)
A．总体是该校4000名学生的体重
B．个体是每一个学生
C．样本是抽取的400名学生的体重
D．样本容量是400
6．为了解某市参加中考的25000名学生的身高情况，抽查了其中1200名学生的身高进行统计分析．下面叙述正确的是(　　)
A．25000名学生是总体
B．1200名学生的身高是总体的一个样本
C．样本容量是1200名学生
D．以上调查是全面调查
7．在“全国法制宣传日”来临之际，某校为了解全校学生的法律意识，随机测试了该校500名学生，其中有480人的法律意识测试结果为合格及以上．关于以上数据的收集与整理过程，下列说法正确的是(　　)
A．此调查的方式是抽样调查
B．500人的法律意识测试结果是总体
C．样本是500人
D．样本容量是480
8．为了了解某校九年级300名学生的体重情况，从中抽取50名学生的体重进行分析，在这项调查中，样本是指(　　)
A．300名学生
B．300名学生的体重
C．被抽取的50名学生
D．被抽取的50名学生的体重


考点三 统计图的选择

9．某校学生参加体育兴趣小组的情况如图所示，已知参加排球小组的有25人，则参加乒乓球小组的人数为(　　)

A．100人 B．40人 C．35人 D．25人
10．某中学七年级甲、乙两个班进行了一次数学运算能力测试，测试人数每班都为40人，每个班的测试成绩分为A，B，C，D四个等级，绘制的统计图如图．

根据以上统计图提供的信息，下列说法错误的是(　　)
A．甲班D等的人数最多
B．乙班A等的人数最少
C．乙班B等与C等的人数相同
D．C等的人数甲班比乙班多
11．党的十八大以来，党中央把脱贫攻坚摆到更加突出的位置．根据国家统计局发布的数据，2015﹣2019年年末全国农村贫困人口的情况如图所示．根据图中提供的信息，下列说法错误的是(　　)

A．2015年末至2019年末，农村贫困发生率逐年降低
B．2019年末，农村贫困人口比上年末减少551万人
C．2017年末至2018年末，农村贫困人口减少人数最多
D．2015年末至2019年末，连续5年每年农村贫困人口减少1000万人以上
12．温州2021年3月1日～7日的气温折线统计图如图所示，其中实线表示当日最高气温，虚线表示当日最低气温．由图可知，这一周中温差最小的是(　　)

A．3月1日 B．3月4日 C．3月5日 D．3月7日
13．为配合学校文学艺术节活动，校团委对全校学生阅读兴趣调查的数据进行整理，要反映学生感兴趣的各类图书所占百分比，最适合的统计图是(　　)
A．扇形统计图 B．条形统计图
C．折线统计图 D．频数分布直方图


考点四 平均数、中位数和众数、极差、方差

14．某市评选优秀班主任，从“事迹材料”“班会设计”“演讲”“答辩”四个方面考核，各项成绩满分均为100分，所占权重为2：2：3：3，某位候选人的各项得分(单位：分)依次为90，85，92，86，则该候选人的综合得分为(　　)
A．92.6 B．88.4 C．88.6 D．84.8
15．为了丰富学生的课余生活，光明中学举行歌唱比赛，最终入围决赛的三名选手的成绩统计如表：
测试项目
测试成绩
王军
李鹏
张乐
唱功
98
95
80
音乐常识
80
90
100
综合知识
85
90
100
若唱功、音乐常识、综合知识按6：3：1的比例计算总成绩，排出冠军，亚军，季军，则冠军、亚军、季军分别是(　　)
A．王军、张乐、李鹏 B．李鹏、王军、张乐
C．王军、李鹏、张乐 D．李鹏、张乐、王军
16．如表是2021年1月27日徐州市各空气质量监测点空气质量指数的统计结果
监测点
淮塔
农科院
黄河新村
桃园路
新城区
空气质量指数
100
132
113
95
82
等级
良
轻度
轻度
良
良
这一天空气质量指数的中位数是(　　)
A．97.5 B．100 C．104.4 D．113
17．某校组织七年级新生测试，抽查了部分学生每分钟跳绳次数(单位：次)．将所得数据统计如下(每组只含最低值，不含最高值)：
组别
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
70～90
90～110
110～130
130～150
150～170
人数
5
13
17
12
3
该样本的中位数落在(　　)
A．第二组 B．第三组 C．第四组 D．第五组
18．疫情无情人间有情，爱心捐款传真情，新型冠状病毒感染的肺炎疫情期间，某单位职工积极参加献爱心活动，该单位50名职工的捐款统计情况如下表：则他们捐款金额的众数和中位数分别是(　　)
金额
50
100
200
500
1000
人数
13
14
15
5
3
A．100，100 B．100，200 C．200，100 D．200，200
19．一组数据2，3，4，x，7的平均数是4，则这一组数据的众数是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．6
20．要从甲、乙、丙、丁四名射击选手中选择一个成绩优秀且发挥稳定的人参加射击比赛，抽取了四人平时10次的射击测试成绩，发现四人10次射击的平均成绩都是9.4环，方差分别是S甲2＝0.90，S乙2＝1.22，S丙2＝0.43，S丁2＝1.68，则应该选择参加比赛的是(　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
21．某校足球社团有50名成员，下表是社团成员的年龄分布统计表，对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是(　　)
年龄(单位：岁)
13
14
15
16
17
频数(单位：名)
12
15
x
14﹣x
9
A．平均数、中位数 B．平均数、方差
C．众数、中位数 D．众数、方差
22．在学校数学竞赛中，某校10名学生参赛成绩统计如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法中错误的是(　　)

A．众数是90 B．中位数是85 C．平均数是89 D．极差是15


考点五 概率
23．现将背面完全相同，正面分别标有数字0，1，2，5的4张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片正面上的数字记为m，再从剩下的3张卡片中任取一张，将该卡片正面上的数字记为n，则数字m，n之和为奇数的概率为　 　．
24．已知整数a，b满足|ab|＝2，如果任意选择一对有序整数(a，b)，且每一对这样的有序整数被选择的可能性是相等的，那么关于x的方程x2+bx+a＝0有两个相等实数根的概率是　 　．
25．从﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取一个数，作为关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0中k的值，则所得方程中有两个不相等的实数根的概率为　 　．
26．一枚质地均匀的骰子，六个面分别标有1、2、3、4、5、6．连续投掷两次，两次朝上的面上的数字分别记为m，n，使得方程x2+2mx+n＝0无实根的概率　 　．
27．不透明的袋子里装有除标号外完全一样的三个小球，小球上分别标有﹣1，2，3三个数，从袋子中随机抽取一个小球，记标号为k，放回后将袋子摇匀，再随机抽取一个小球，记标号为b．两次抽取完毕后，直线y＝kx与反比例函数y＝的图象经过的象限相同的概率为　 　．
28．小林掷一枚质地均匀的正方体骰子(骰子的每个面上分别标有1、2、3、4、5、6)，他把第一次掷得的点数记为x，第二次掷得的点数记为y，则分别以这两次掷得的点数值为横、纵坐标的点A(x，y)恰好在直线y＝﹣2x+8上的概率是 　 　．
29．有四张完全相同且不透明的的卡片，正面分别标有数字﹣1，﹣2，1，2，将四张卡片背面朝上，任抽一张卡片，卡片上的数字记为a，放回后洗匀，再抽一张，卡片上的数字记为b，则函数y＝ax与函数y＝的交点在第一，三象限的概率是 　 　．
30．现有3张分别标有数字：﹣1、0、2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任抽一张，将该卡片上的数字记为点C的横坐标a，不放回，再抽取一张，将该卡片上的数字记为点C的纵坐标b，则点C落坐标轴上的概率是 　 　．
31．有4张正面分别标有数字﹣2，﹣1，0，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，数记为a，不放回，再从剩余卡片中随机抽取一张，数记为b，则点(a，b)在第二象限的概率为 　 　．
32．四张背面相同的扑克牌，分别为红桃1，2，3，4，背面朝上，先从中抽取一张把抽到的点数记为a，放回后再抽取一张点数记为b，则点(a，b)在直线y＝2x﹣1上的概率为 　 　．
33．现有4张完全相同的卡片分别写着数字﹣2，1，3，4．将卡片的背面朝上并洗匀，从中任意抽取一张，将卡片上的数字记作a．再从余下的卡片中任意抽取一张，将卡片上的数字记作c，则抛物线y＝ax2+4x+c与x轴有交点的概率为　 　．


考点五 概率与统计综合

34．为了了解学生在2020年3月的学习情况，某校九年级1班组织了一次网上全班数学测试，任科老师从本班中抽取了n个学生的成绩(满分100分，且抽取的学生成绩均在[40，100]内)进行统计分析．按照成绩分数段[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分组作出频数分布表和频率分布直方图．
频数分布表
[40，50)
1
[50，60)
2
[60，70)
5
[70，80)
x
[80，90)
4
[90，100]
2
(1)求n，x的值，并补充完整频率分布直方图：
(2)老师对小明说，估计你在这次的测试中成绩中等，请写出小明这次测试成绩在哪个分数段内的可能性最大？
(3)在选取的样本中，从低于60分的学生中随机抽取两名学生，请用列表法或树状图求这两名学生在同一成绩分数段的概率？

35．为了落实“全民阅读活动”，从某学校初一学生中随机抽取了100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
排号
分组
频数
1
0≤x＜2
6
2
2≤x＜4
8
3
4≤x＜6
17
4
6≤x＜8
22
5
8≤x＜10
25
6
10≤x＜12
12
7
12≤x＜14
6
8
14≤x＜16
2
9
16≤x＜18
2
合计
100
(1)求频率分布直方图中的a，b的值；
(2)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；
(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组(只需写出结论)

36．2017年起，重庆市实施行人闯红灯违法处罚，处罚方式分为四类：“罚款20元”、“罚款50元”、“罚款100元”、“穿绿马甲维护交通”．如图是实施首日由某片区的执法结果整理数据后绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)实施首日，该片区行人闯红灯违法受处罚一共　 　人；
(2)据了解，“罚款20元”人数是“罚款50元”人数的2倍，请补全条形统计图；
(3)为让市民了解闯红灯的危害，将从“穿绿马甲维护交通”的受罚者中抽出4名受罚者(2男2女)随机分成两组对过往市民进行宣传，请用树状图或表格法求出恰好每组为一男一女的概率．

37．为了解两种分别含有甲、乙离子的待检药物在实验白鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只白鼠随机分成A、B两组，每组100只，其中A组白鼠给服甲离子溶液，B组白鼠给服乙离子溶液．每只白鼠给服的溶液体积与浓度均相同，经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在白鼠体内离子的百分比．
按离子残留百分比数据分段整理，描述这两组样本原始数据如表：
离子残百分比
分组
2.5～3.5
3.5～4.5
4.5～5.5
5.5～6.5
6.5～7.5
7.5～8.5
给服甲离子白鼠(只数)
1
8
27
30
22
12
给服乙离子白鼠(只数)
5
a
15
b
20
15
(注：表中A1～A2表示实验数据x的范围为A1≤x＜A2)
若记A为事件：“乙离子残留在实验白鼠体内的百分比不低于5.5”，根据实验数据得到P(A)的估计值为0.70．
(1)a＝　 　；b＝　 　．
(2)实验室常用同一组中的数据用该组区间的中点值为代表来估计数据的平均值，如对甲离子残留百分比的平均值估计如下：(3×0.01)+(4×0.08)+(5×0.27)+(6×0.30)+(7×0.22)+(8×0.12)＝6.00，用上述方法估计乙离子残留百分比的平均值；
(3)甲、乙离子如残留体内会对生物体产生一定不良副作用，对原始数据进一步分析得到两组数据的中位数、众数、方差如表所示，请根据数据分析两种待检药物哪种相对更安全？请说明理由．
离子残百分比
分组
中位数
众数
方差
给服甲离子白鼠的实验组
5.9
6.0
1.38
给服乙离子白鼠的实验组
6.3
6.2
1.8
38．本学期某校举行了有关垃圾分类知识测试活动，并从该校七年级和八年级中各随机抽取40名学生的测试成绩，整理如下：
七年级抽样学生的测试成绩统计表
分值
5
6
7
8
9
10
人数
6
6
10
5
6
7
小明将样本中的成绩进行了数据处理，如表为数据处理的一部分：
年级
平均数
众数
中位数
方差
七年级
7.5
a
7
2.8
八年级
b
8
c
2.35
根据图表，解答问题：
(1)填空：表中的a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
(2)若规定6分及6分以上为合格，该校七年级和八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？
(3)为提高全体学生对垃圾分类知识的了解，本次活动哪个年级的学生该目标达成情况较好，说明理由．

39．每年3.12是我国植树节，为了解学生对环保知识的掌握情况，增强学生环保意识，某学校举行了环保知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩(满分10分，8分及8分以上为优秀)进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级20名学生的测试成绩为：7，8，6，10，7，6，5，9，10，9，9，5，8，8，6，7，9，8，8，6．
八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图：

七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数如表所示：
年级
平均数
众数
中位数
七年级
7.55
a
8
八年级
7.55
7
b
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述表中的a，b的值：
(2)根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握环保知识较好？请说明理由(写出一条理由即可)；
(3)该校七、八年级分别有900名、600名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩优秀的学生约有多少名？
40．中考第一站体考已经结束，某校初三年级一共有2000名考生．邓老师为了了解本校学生体考成绩的大致情况，随机抽取了男、女各60名考生的体考成绩，并将数据进行整理分析，给出了下面部分信息：

(1)数据分为A，B，C，D四个等级分别是：
A：48≤x≤50，B：45≤x＜48，C：40≤x＜45，D：0≤x＜40．
(2)60名男生成绩的条形统计图以及60名女生成绩的扇形统计图如图：
(3)男生成绩在B组的前10名考生的分数为：47，47.5，47.5，47，47，47，46，45.5，45，45．
(4)60名男生和60名女生成绩的平均数，中位数，众数如下：
性别
平均数
中位数
众数
男生
47.5
a
47
女生
48.5
47
47.5
根据以上信息，解答下列问题：①填空a＝　 　，b＝　 　，并补全条形统计图；
②根据以上数据，你认为在此次考试中，男生成绩好还是女生成绩好？请说明理由(说明一条理由即可)；
③请估计该年级所有参加体考的考生中，成绩为A等级的考生人数．